2024-2025学年广东广州五中九年级(上)期中考数学试题含答案

初中2024-2025学年广东省广州五中九年级（上）期中数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A B.C. D.2.已知关于的一元二次方程的两实数根分别为，则的值为（）A. B.1 C.5 D.3.如图，是直径，，则（）A. B. C. D.4.某树主干长出若干数目支干，每个支干又长出同样数目小分支，主干、支干、和小分支总数共57．若设主干长出x个支干，则可列方程是（）A.（1+x）2=57 B.1+x+x2=57 C.（1+x）x=57 D.1+x+2x=575.如图，切于点A、B，直线切于点E，交于F，交于点G，若，则的周长是（）A. B. C. D.6.小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（）A.① B.② C.③ D.均不可能7.二次函数的顶点坐标为，其部分图象如图所示．以下结论错误的是（）A. B.C. D.关于x的方程无实数根8.往圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽，水的最大深度为16cm，则圆柱形容器的截面直径为（）cm．A.10 B.14 C.26 D.529.为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图所示），对应的两条抛物线关于轴对称，轴，，最低点在轴上，高，，则右轮廓所在抛物线的解析式为（）A. B. C. D.10.如图，在平面直角坐标系中，四边形顶点O在原点上，，，轴，将四边形绕点O逆时针旋转，每次旋转，第2023次旋转后点C的坐标为（）A. B. C. D.二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分.11.在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点为，则_____．12.已知二次函数的图象和x轴有交点，则k的取值范围____．13.用反证法证明“”时，应假设．14.在平面直角坐标系中，将抛物线先向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得的抛物线的解析式是______．15.如图，⊙O是以原点为圆心，2为半径的圆，点P是直线y＝－x＋8上的一点，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为__________．16.如图，设P是等边内的一点，，，，则的度数是___________．三、解答题：本大题共9小题，共72分.17.用适当的方法解下列方程．（1）；（2）．18.如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，使点在的延长线上．求证：．19.如图，在平面直角坐标系中，三个顶点分别是，，．．（1）将向左平移6个单位长度得到，请画出，并写出点，的坐标．（2）请画出关于原点O成中心对称的．20.如图，AB是半圆的直径，是半圆上的两点，为弧的中点，与交于点．（1）证明：；（2）若，求的度数．21.关于的方程有两个不等的实数根．（1）求的取值范围；（2）化简：．22.如图是大广高速路上单向双车道某隧道的横截面，其形状是抛物线型，有关尺寸如图所示，现有一辆车身宽为的货车准备装一批货物途过此隧道前往某地，（根据高速公路管理规定：机动车在通过隧道时只能在一条道上行驶）．（1）建立适当的平面直角坐标系并求出此抛物线的解析式；（2）这辆货车满载货物时限高为多少？23.某公司销售一批产品，经市场调研发现，当销售量在0.4吨至3.5吨之间时，销售额（万元）与销售量x（吨）的函数解析式为；成本（万元）与销售量x（吨）的函数图象是如图所示的抛物线的一部分，其中是其顶点．（1）求出成本关于销售量x的函数解析式；（2）当成本最低时，销售产品所获利润是多少？（3）当销售量是多少吨时，可获得最大利润？最大利润是多少？（注：利润销售额成本）24.如图1所示，等边三角形内接于圆，点是劣弧上任意一点（不与重合），连接、、，求证：．【初步探索】小明同学思考如下：将与点顺时针旋转到，使点与点重合，可得、、三点在同一直线上，进而可以证明为等边三角形，根据提示，解答下列问题：（1）根据小明的思路，请你完成证明．（2）若圆的半径为8，则的最大值为________．【类比迁移】如图2所示，等腰内接于圆，，点是弧上任一点（不与、重合），连接、、，若圆的半径为8，试求周长的最大值．【拓展延伸】如图3所示，等腰，点、在圆上，，圆的半径为8，连接，则的最小值为_________（直接写答案）．25.在平面直角坐标系中，已知抛物线和线段，其中点，点，点C是抛物线L与y轴的交点，点D是抛物线L的顶点.（1）求直线的解析式；（2）点Q在抛物线L上，且与点C关于对称轴对称，连接，，，求证：为等腰直角三角形；（3）在（2）的条件下，射线交x轴于点F，连接，，四边形是否能构成平行四边形？如果能，请求m的值；如果不能，说明理由；（4）若抛物线L与线段只有一个交点，结合函数图象，直接写出m的取值范围为.

2024-2025学年广东省广州五中九年级（上）期中数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，掌握相关定义是解答本题的关键，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．根据轴对称图形和中心对称图形的定义解答即可．【详解】解：A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意.故选：D．2.已知关于的一元二次方程的两实数根分别为，则的值为（）A. B.1 C.5 D.【答案】B【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得，，进一步求解即可．【详解】解∵关于的一元二次方程的两实数根分别为，∴根据根与系数的关系得，，∴，故选：B．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数关系公式是解题的关键．3.如图，是的直径，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据圆周角定理可进行求解．【详解】解：∵是的直径，∴，∵，∴，∵，∴；故选B．【点睛】本题主要考查圆周角的相关性质，熟练掌握直径所对圆周角为直角是解题的关键．4.某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目小分支，主干、支干、和小分支总数共57．若设主干长出x个支干，则可列方程是（）A.（1+x）2=57 B.1+x+x2=57 C.（1+x）x=57 D.1+x+2x=57【答案】B【解析】【分析】关键描述语是“主干、支干、小分支的总数是73”，等量关系为：主干1+支干数目+小分支数目=57，把相关数值代入即可．【详解】解：∵主干为1，每个支干长出x个小分支，每个支干又长出同样数目的小分支，∴小分支的个数为x×x=x2，∴可列方程为1+x+x2=57．故选B．【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程．5.如图，切于点A、B，直线切于点E，交于F，交于点G，若，则的周长是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】此题考查了切线长定理，由于PA、FG、PB都是⊙O的切线，可根据切线长定理，将△ABC的周长转化为切线长求解，掌握切线长定理是解题的关键．【详解】解：根据切线长定理可得：，，，∴的周长，，，，故选：C．6.小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（）A.① B.② C.③ D.均不可能【答案】A【解析】【详解】解：第①块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．故选A．7.二次函数的顶点坐标为，其部分图象如图所示．以下结论错误的是（）A. B.C. D.关于x的方程无实数根【答案】C【解析】【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系，掌握二次函数的性质及二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．根据抛物线开口方向，对称轴的位置以及与y轴的交点可以对A进行判断；根据抛物线与x轴的交点情况可对B进行判断；时，，可对C进行判断；根据抛物线与直线无交点，可对D进行判断．【详解】解：∵抛物线开口向下，∴，∵对称轴为直线，∴，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴，∴，故选项A正确，该选项不符合题意；∵有图可知，抛物线与x轴有两个交点，∴，即，故选项B正确，该选项不符合题意；∵抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点在和之间，∴抛物线与x轴的另一个交点在和之间，∴时，，即，∵，∴，故选项C错误，该选项符合题意；∵抛物线开口向下，顶点为，∴函数有最大值n，∴抛物线与直线无交点，∴一元二次方程无实数根，故选项D正确，该选项不符合题意；．故选：C．8.往圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽，水的最大深度为16cm，则圆柱形容器的截面直径为（）cm．A.10 B.14 C.26 D.52【答案】D【解析】【分析】如图，记圆柱形容器的截面圆心为O，过O作于D，交圆于C，设圆的半径为r，而再利用勾股定理建立方程即可．【详解】解：如图，记圆柱形容器的截面圆心为O，过O作于D，交圆于C，则设圆的半径为r，而解得：圆柱形容器的截面直径为52cm．故选D【点睛】本题考查的是垂径定理的实际应用，作辅助线构建符合垂径定理的模型是解本题的关键．9.为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图所示），对应的两条抛物线关于轴对称，轴，，最低点在轴上，高，，则右轮廓所在抛物线的解析式为（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了二次函数的应用，先根据B、D关于y轴对称，得出D点坐标为，再求出左边抛物线的顶点C的坐标为，则右边抛物线的顶点F的坐标为，设右边抛物线的解析式为，代入即可得出答案．【详解】解：∵高，，B、D关于y轴对称，∴D点坐标为，∵轴，，最低点C在x轴上，∴关于直线对称，∴左边抛物线的顶点C的坐标为，∴右边抛物线的顶点F的坐标为，设右边抛物线的解析式为，把代入得，解得，故右边抛物线的解析式为，故选：B．10.如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点O在原点上，，，轴，将四边形绕点O逆时针旋转，每次旋转，第2023次旋转后点C的坐标为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】连接，过点C作，垂足为P，通过证得，得出，通过解直角三角形得到点C的坐标为，由每旋转4次为一个循环，即可得出第2023次旋转结束时点C的位置和第3次旋转结束时点C的位置相同，从而得出第2023次旋转结束时，点C的坐标为．【详解】解：连接，过点C作，如图所示，∵，∴，∴，在中，，∴,∴，在中，，∴，∴，∴点C的坐标为，由旋转可知第一次旋转后点C的坐标为，第二次旋转后点C的坐标为，第三次旋转后点C的坐标为，∵每次旋转，，∴每旋转4次为一个循环．∵，∴第2023次旋转结束时点C的位置和第3次旋转结束时点C的位置相同，∴第2023次旋转结束时，点C的坐标为，故选：B．【点睛】本题考查图形的旋转，考查了全等三角形的判定和性质，解直角三角形，通过旋转角度找到旋转规律，从而确定第2023次旋转后C点的位置是解题的关键．二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分.11.在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点为，则_____．【答案】1【解析】【分析】，此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确得出a，b的值是解题关键．直接利用两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，进而得出a，b的值，再利用有理数的乘方运算法则计算得出答案．【详解】解：∵点关于原点对称的点为，∴，则．故答案为：1．12.已知二次函数的图象和x轴有交点，则k的取值范围____．【答案】且【解析】【分析】本题考查了二次函数的定义，二次函数与一元二次方程根与系数的关系，求不等式的解集，掌握二次函数定义，根与系数的关系是解题的关键．根据二次函数的定义可得，根据图象和x轴有交点，可得，再根据不等式求解集即可求解．【详解】解：∵是二次函数，∴，∵图象和x轴有交点，∴，解得，，故答案为：且

．13用反证法证明“”时，应假设．【答案】a≥b【解析】【分析】找出原命题的反面即可得出假设条件.【详解】用反证法证明“”时，应假设a≥b．【点睛】本题考查反证法，找到原命题的反面是关键.14.在平面直角坐标系中，将抛物线先向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得的抛物线的解析式是______．【答案】y＝（x＋1）2＋1【解析】【分析】根据图象的平移规律，可得答案．【详解】解：抛物线可化简为y＝（x−1）2−2，先向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得的抛物线的解析式y＝（x−1＋2）2−2＋3＝（x＋1）2＋1，即y＝（x＋1）2＋1．故答案是：y＝（x＋1）2＋1．【点睛】本题主要考查了二次函数与几何变换问题，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．15.如图，⊙O是以原点为圆心，2为半径的圆，点P是直线y＝－x＋8上的一点，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为__________．【答案】【解析】【分析】连接OP、OQ，设P（m，﹣m+8），根据切线性质可得PQ⊥OQ，根据勾股定理列出关于m的函数关系式，根据二次函数求最值的方法求解即可．【详解】解：连接OP、OQ，设P（m，﹣m+8），∵PQ为⊙O的切线，Q为切点，∴PQ⊥OQ，在Rt△OPQ中，由勾股定理得：PQ2=PO2﹣OQ2，即PQ2=m2+(﹣m+8)2﹣（）2=2m2﹣16m+52=2（m﹣4）2+20，∵2＞0，∴当m=4时，PQ2有最小值，最小值为20，则切线长PQ的最小值为，故答案为：．【点睛】本题考查了圆的切线性质、一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理、配方法、二次函数的性质，熟练掌握圆的切线性质和二次函数的性质是解答的关键．16.如图，设P是等边内的一点，，，，则的度数是___________．【答案】##150度【解析】【详解】将绕点B逆时针旋转得，根据旋转的性质得，，，则为等边三角形，得到，，在中，，，，根据勾股定理的逆定理可得到为直角三角形，且，即可得出答案．【解答】解：∵为等边三角形，∴，将绕点B逆时针旋转得，连接，如图，∴，，，∴为等边三角形，∴，，在中，，，，∴，∴为直角三角形，且，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了等边三角形的判定与性质以及勾股定理的逆定理．三、解答题：本大题共9小题，共72分.17.用适当的方法解下列方程．（1）；（2）．【答案】（1），（2），【解析】【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．（1）把方程左边化为完全平方式的形式，再利用直接开方法求解即可；；（2）利用公式法解方程即可解答．【小问1详解】解：∴，∴或，解得：，；【小问2详解】解：方程中，，，∴，∴，∴，．18.如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，使点在的延长线上．求证：．【答案】见解析【解析】【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质，根据旋转得到，即可得到，，根据等边对等角得到是解题的关键．【详解】证明：∵绕点逆时针旋转得到，∴，∴，，∴，∴，∴．19.如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，．．（1）将向左平移6个单位长度得到，请画出，并写出点，的坐标．（2）请画出关于原点O成中心对称的．【答案】（1）图见解析，，（2）见解析【解析】【分析】本题考查了作图旋转变换、平移变换，点的坐标，解决本题的关键是掌握旋转和平移的性质．（1）根据，，．将向左平移6个单位长度得到即可；（2）根据中心对称的性质即可画出关于原点成中心对称的．【小问1详解】解：如图，即为所求，，；【小问2详解】解：如图，即为所求．20.如图，AB是半圆的直径，是半圆上的两点，为弧的中点，与交于点．（1）证明：；（2）若，求的度数．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（）根据圆周角定理和垂径定理的推论证得，即可证得结论；（）连接，根据平行线的性质可得，再根据同弧所对的圆心角相等以及圆周角定理求解即可．【小问1详解】证明：∵AB是半圆的直径，∴，∵为弧的中点，与交于点，∴，即，∴，∴；【小问2详解】解：连接，∵，，∴，∵为弧的中点，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理的推论，同弧所对的圆心角相等，平行线的判定与性质，熟练掌握垂径定理和圆周角定理是解题的关键．21.关于的方程有两个不等的实数根．（1）求的取值范围；（2）化简：．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，分式的混合运算，掌握相应的基础知识是解本题的关键；（1）根据一元二次方程根的判别式建立不等式解题即可；（2）根据（1）的结论化简绝对值，再计算分式的乘除混合运算即可．【小问1详解】解：∵关于的方程有两个不等的实数根．∴，解得：；【小问2详解】解：∵，∴；22.如图是大广高速路上单向双车道某隧道的横截面，其形状是抛物线型，有关尺寸如图所示，现有一辆车身宽为的货车准备装一批货物途过此隧道前往某地，（根据高速公路管理规定：机动车在通过隧道时只能在一条道上行驶）．（1）建立适当的平面直角坐标系并求出此抛物线的解析式；（2）这辆货车满载货物时限高为多少？【答案】（1）图见解析，；（2）．【解析】【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．（1）依据同意，以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为y轴，建立直角坐标系，依据抛物线经过，即可得到该抛物线的解析式；（2）依据题意，由车身宽为，从而可令，则，进而可以判断得解．【小问1详解】解：如图，以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为y轴，建立直角坐标系，则O0,0，，设抛物线的解析式为，∵抛物线经过，∴，∴，∴抛物线的解析式为；【小问2详解】解：由题意，∵车身宽为，∴令，则，∴点到距离为，∴这辆货车满载货物时限高为．23.某公司销售一批产品，经市场调研发现，当销售量在0.4吨至3.5吨之间时，销售额（万元）与销售量x（吨）的函数解析式为；成本（万元）与销售量x（吨）的函数图象是如图所示的抛物线的一部分，其中是其顶点．（1）求出成本关于销售量x的函数解析式；（2）当成本最低时，销售产品所获利润是多少？（3）当销售量是多少吨时，可获得最大利润？最大利润是多少？（注：利润销售额成本）【答案】（1）（2）销售产品所获利润是0.75万元（3）当销售量3吨时，获得最大利润，最大利润为7万元【解析】【分析】本题考查的是二次函数的实际应用：（1）根据题意可设抛物线为：，再把代入，即可求解；（2）根据二次函数的性质可得当时，成本最小值为，此时，即可求解；（3）设销售利润为W万元，根据题意可得W关于x的函数关系式，再根据二次函数的性质，即可求解．【小问1详解】解：根据题意可设抛物线为：，把代入可得：，解得：，∴抛物线的解析式为；【小问2详解】解：∵，∴当时，成本最小值为，此时，∴销售产品所获利润是（万元）；【小问3详解】解：设销售利润为W万元，根据题意得：∴，∵，∴当时，W的值最大，最大值为7，即当销售量3吨时，获得最大利润，最大利润7万元．24.如图1所示，等边三角形内接于圆，点是劣弧上任意一点（不与重合），连接、、，求证：．【初步探索】小明同学思考如下：将与点顺时针旋转到，使点与点重合，可得、、三点在同一直线上，进而可以证明为等边三角形，根据提示，解答下列问题：（1）根据小明的思路，请你完成证明．（2）若圆的半径为8，则的最大值为________．【类比迁移】如图2所示，等腰内接于圆，，点是弧上任一点（不与、重合），连接、、，若圆的半径为8，试求周长的最大值．【拓展延伸】如图3所示，等腰，点、在圆上，，圆的半径为8，连接，则的最小值为_________（直接写答案）．【答案】初步探索：（1）证明见解析；（2）16；类比迁移：；拓展延伸：【解析】【分析】初步探索：（1）由旋转得，，，则，所以、、三点在同一条直线上，再证明是等边三角形，则；（2）当是的直径时，，此时的值最大，所以的最大值是16；类比迁移：先由证明是的直径，且圆心在上，则，，再证明、、三点在同一条直线上，则，当是的直径时，，此时的值最大，则，即可求得周长的最大值是；拓展延伸：连接，将线段绕点逆时针旋转到，连接，先求得，再连接、，证明≌，得，所以，则，所以的最小值为．【详解】解：初步探索：（1）证明：由旋转得，，，，，，、、三点在同一条直线上，，是等边三角形，，，是等边三角形，，；（2）是的弦，且的半径为8，当经过圆心，即是的直径时，此时的值最大，最大值为16，的最大值是16，故答案为：16；类比迁移：如图，，，是直径，且圆心在上，，，将绕点顺时针旋转到，使点与点重合，则，，，，，、、三点在同一条直线上，，，当经过圆心，即是的直径时，此时的值最大，最大值为16，最大值为，的最大值为，周长的最大值是．拓展延伸：如图，连接，将线段绕点逆时针旋转到，连接，∴，，，连接、，，，，，，，，，的最小值为．【点睛】此题重点考查旋转的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、圆周角定理、勾股定理、垂线段最短等知识，此题综合性强，正确地作出所需要的辅助线是解题的关