2025-2026学年广东广州铁一中学高一(上)期中考数学试题含答案

高中2025-2026学年上学期期中考高一数学命题学校：广州市铁一中学本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若全集，则集合的非空真子集的个数为（）A.7 B.6 C.3 D.22.已知命题，则命题的否定为（）A. B.C. D.3.已知，下列式子正确的是（）A. B.C. D.4.已知幂函数的图象过点，则（）A. B. C. D.5.下列命题错误的是（）A.关于不等式解集为，则B.已知，则是的必要不充分条件C.命题“存在，使得”为真命题一个充分不必要条件是D.将化成有理数指数幂的形式是6.设是定义域的奇函数，是偶函数，且当，.若，则()A. B. C. D.7.已知，，则（）A.4048 B.4044 C.2024 D.20268.设集合为非空实数集，集合且，称集合为集合的积集，则下列结论正确的是（）A.当时，集合的积集B.若是由5个正实数构成的集合，其积集中元素个数最多为8个C.若是由5个正实数构成的集合，其积集中元素个数最少为7个D.存在4个正实数构成的集合，使其积集二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.9.下列命题中真命题的是（）A.函数与图象有两个交点B.函数的值域为C.函数在定义域内单调递增D.函数的定义域为，则函数的定义域为10.已知，，，则下列正确的是（）A. B.的最小值为C.的最小值为 D.的最小值为11.函数的定义域为，若存在区间使在区间上的值域也是，则称区间为函数的“和谐区间”，则下列函数存在“和谐区间”的是（）A. B. C. D.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.老师给出一个函数，四个学生甲、乙、丙、丁各指出函数的一个性质．甲：对于，都有；乙：函数在上是减函数；丙：函数在上是增函数；丁：不是函数的最小值．如果其中恰有三人说的正确，请写出一个这样的函数：______．13.已知常数，函数经过点、．若，则______．14.已知函数，若关于的方程有5个不同的实数根，则的取值范围为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知集合.（1）当时，求；（2）当，且时，求实数的取值范围．16.已知函数是定义在上的偶函数，且.（1）判断在上的单调性，并用定义证明；（2）若，求的取值范围.17.为了充分挖掘乡村发展优势，某新农村打造“有机水果基地”.经调研发现：某水果树单株产量W（单位：千克）与施用肥料x（单位：千克）满足如下关系：，肥料成本投入为元，其他成本投入为元.已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销售畅通，记该水果单株利润为（单位：元）.（1）求单株利润（单位：元）关于施用肥料（单位：千克）的关系式；（2）当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大?最大利润是多少?18.我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是为奇函数.若定义在上函数的图象关于点对称，且当时，.（1）求的值；（2）设函数.（ⅰ）函数的图像关于点对称，求m的值.（ⅱ）若对任意，总存在，使得成立，求实数a取值范围.19.已知偶函数和奇函数的定义域均为，且．（1）求函数和的解析式；（2）若，不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）若，且在上的最小值为，求的值．

2025-2026学年上学期期中考高一数学命题学校：广州市铁一中学本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若全集，则集合的非空真子集的个数为（）A.7 B.6 C.3 D.2【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，利用补集的定义求出集合，进而求出非空真子集的个数.【详解】集合，而，则，所以集合的非空真子集的个数为.故选：B2.已知命题，则命题的否定为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由全称量词命题的否定可得出结论.【详解】由题意可知，命题为全称量词命题，该命题的否定为：.故选：D.3.已知，下列式子正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据不等式性质逐项判断即可.【详解】已知，所以，所以，所以，A错误；已知，所以，所以，B错误；已知，所以，因为，所以，C错误；已知，所以，因为，所以，D正确.故选：D.4.已知幂函数的图象过点，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数的图象过点求出解析式，再求即可.【详解】设，幂函数的图象过点，所以，解得，所以，则.故选：B.5.下列命题错误的是（）A.关于的不等式解集为，则B.已知，则是的必要不充分条件C.命题“存在，使得”为真命题的一个充分不必要条件是D.将化成有理数指数幂的形式是【答案】C【解析】【分析】根据不等式的性质、二次函数的性质、指数幂的运算等知识逐项计算求解即可.【详解】对于A：因为关于的不等式解集为，所以且是方程的两个根，则有，所以.所以，A正确；对于B：，，不等式两边平方得，解得；，化简得，解得.由于而推不出，所以是的必要不充分条件，B正确；对于C：因为命题“存在，使得”为真命题，所以当时，，符合题意；当时，抛物线开口向上，始终存在使得不等式成立；当时，则，解得，综上，.所以当时，命题“存在，使得”不一定为真命题，所以不是命题“存在，使得”为真命题的充分条件，所以C错误；对于D：，D正确.故选：C.6.设是定义域的奇函数，是偶函数，且当，.若，则()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先利用函数的奇偶性求出，再利用的对称性和奇函数性质求解即可.【详解】因为是定义域的奇函数，所以，，因为当，，所以，从而，因为是偶函数，即的图像关于轴对称，因为图像是图像向左平移一个单位得到的，所以的图像关于对称，故，因为，所以，因为，，所以.故选：B.7.已知，，则（）A.4048 B.4044 C.2024 D.2026【答案】A【解析】【分析】根据已知条件推出为定值，判断出准确项数，计算即可.【详解】令，，则，所以.令，则.中共有项，所以原式.故选：A8.设集合为非空实数集，集合且，称集合为集合的积集，则下列结论正确的是（）A.当时，集合的积集B.若是由5个正实数构成的集合，其积集中元素个数最多为8个C.若是由5个正实数构成的集合，其积集中元素个数最少为7个D.存在4个正实数构成的集合，使其积集【答案】C【解析】【分析】利用积集的定义可判断A，设，其中，利用积集定义分析积集中元素的大小关系可判断B和C，利用反证法分析集合中四个元素的乘积推出矛盾可判断D.【详解】对于A，因为，故集合中所有可能的元素有，即，故A错误；对于B，设，不妨设，因为，所以中元素个数小于等于10个，如设，则，所以积集中元素个数的最大值为10个，故B错误；对于C，因为，所以中元素个数大于等于7个，如设，此时中元素个数等于7个，所以积集中元素个数的最小值为7，故C正确；对于D，假设存在4个正实数构成的集合，使其积集，不妨设，则集合的积集，则必有，其4个正实数的乘积，又或，其4个正实数的乘积，矛盾；所以假设不成立，故不存在4个正实数构成的集合，使其生成集，故D错误.故选：C.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.9.下列命题中真命题的是（）A.函数与的图象有两个交点B.函数的值域为C.函数在定义域内单调递增D.函数的定义域为，则函数的定义域为【答案】BD【解析】【分析】数形结合可判断A选项；利用换元法结合二次函数的单调性可判断B选项；利用特殊值法可判断C选项；利用抽象函数定义域的求法可判断D选项.【详解】对于A选项，如下图所示，函数与的图象有三个交点，A错；对于B选项，对于函数，令，可得，即，则，因为函数在上为增函数，故，故函数的值域为，B对；对于C选项，函数的定义域为，因为，，故函数在定义域内不单调，C错；对于D选项，因为函数的定义域为，即，所以，则对于函数，有，解得，所以函数的定义域为，D对.故选：BD.10.已知，，，则下列正确的是（）A. B.的最小值为C.的最小值为 D.的最小值为【答案】ABC【解析】【分析】由得出，可判断A选项；由已知等式变形得出，结合基本不等式可判断BCD选项.【详解】因为，，，等式两边同时乘以可得，即，即，即，对于A选项，由得，所以，故，A对；对于C选项，由可得，所以，当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为，C对；对于B选项，，当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为，B对；对于D选项，，当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为，D错.故选：ABC.11.函数的定义域为，若存在区间使在区间上的值域也是，则称区间为函数的“和谐区间”，则下列函数存在“和谐区间”的是（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根据题意，可知若在区间上的值域也是，则存在“和谐区间”，且，则或，再对各个选项进行运算求解，即可判断该函数是否存在“和谐区间”.【详解】解：由题得，若在区间上的值域也是，则存在“和谐区间”，可知，，则或，A：，若，解得：，所以存在“和谐区间”；B：，若存在和谐区间，则，故在为增函数，故，解得：，所以存在“和谐区间”；C：，若存在和谐区间，则，若，则，故在上为增函数，故，得，故无解；若，则，故在上为增函数，同上，无解.所以不存在“和谐区间”；D：，函数在单调递减，则，不妨令，所以存在“和谐区间”；综上得：存在“和谐区间”的是ABD.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题以函数的新定义为载体，考查函数的定义域、值域以及零点等知识，解题的关键是理解“和谐区间”的定义，考查运算能力以及函数与方程的思想.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.老师给出一个函数，四个学生甲、乙、丙、丁各指出函数一个性质．甲：对于，都有；乙：函数在上是减函数；丙：函数在上是增函数；丁：不是函数的最小值．如果其中恰有三人说的正确，请写出一个这样的函数：______．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】分析出若甲的说法正确，则丙的说法错误，乙丁的说法正确，可选择合适的函数；根据乙丙丁的说法正确，甲的说法正确可选择合适的函数.【详解】若甲的说法正确，则函数的图象关于直线对称，则函数在上不单调，即丙的说法错误，乙丁的说法正确，可取；若乙丙丁的说法正确，甲的说法错误，可取.故答案：（答案不唯一）.13.已知常数，函数经过点、．若，则______．【答案】4【解析】【分析】先根据点在函数上化简得出，，再结合已知得出则，最后因为求值即可.【详解】函数经过点、，则，，解得，，，则，因为，解得．故答案为：4.14.已知函数，若关于的方程有5个不同的实数根，则的取值范围为__________.【答案】【解析】【分析】方程等价于或所以方程有5个不同的实数根等价于函数与直线和共有5个交点即可.【详解】当时，；当时，，作出函数图像如下：方程或方程有5个不同的实数根函数与直线和共有5个交点，因为，所以或，解得或，所以的取值范围为：.故答案为：.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知集合.（1）当时，求；（2）当，且时，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先解指数不等式，化简集合；再解一元二次不等式，化简集合，最后求并集即可；（2）先由将中不等式化为，讨论，，三种情况，分别求集合，再由交集为空集，即可求出结果.【小问1详解】由，解得，当时，即为，即为，，．【小问2详解】，当，即时，，符合题意；当，即时，，符合题意；当，即时，则，不合题意；综上所述，实数的取值范围是．16.已知函数是定义在上的偶函数，且.（1）判断在上的单调性，并用定义证明；（2）若，求的取值范围.【答案】（1）减函数，证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）根据给定条件，结合偶函数性质，利用待定系数法求出解析式，再利用单调函数的定义推理得证.（2）利用偶函数、减函数的性质去掉对应法则“f”，再解一元二次不等式即得.【小问1详解】由函数是定义在上的偶函数，得，则，即对任意的恒成立，解得，函数，由，得，解得，函数，函数在上为减函数，证明如下：任取，且，则，则，即，所以函数在上为减函数.【小问2详解】由函数为上的偶函数，且该函数在上为减函数，得，则，即，因此，解得或，所以原不等式的解集为.17.为了充分挖掘乡村发展优势，某新农村打造“有机水果基地”.经调研发现：某水果树的单株产量W（单位：千克）与施用肥料x（单位：千克）满足如下关系：，肥料成本投入为元，其他成本投入为元.已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销售畅通，记该水果单株利润为（单位：元）.（1）求单株利润（单位：元）关于施用肥料（单位：千克）的关系式；（2）当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大?最大利润是多少?【答案】（1）（2）当施用肥料为4千克时，该水果单株利润最大，最大利润是240元【解析】【分析】（1）利用该水果树单株产量乘以市场售价减投入总成本即可得出利润表达式；（2）根据定义域求每段函数的利润最大值比较后可得答案.【小问1详解】由题意可得，即，整理得.【小问2详解】当时，为对称轴开口向上的抛物线，所以当时，，当时，，因为，当且仅当即取等号，所以，即，综上所述，当时，该水果单株利润最大，最大利润是240元．18.我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是为奇函数.若定义在上函数的图象关于点对称，且当时，.（1）求的值；（2）设函数.（ⅰ）函数的图像关于点对称，求m的值.（ⅱ）若对任意，总存在，使得成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）4（2）（ⅰ）（ⅱ）【解析】【分析】（1）根据所给函数的性质，赋值即可得解；（1）（ⅰ）由题意由为奇函数即可得解；（ⅱ）证明的单调性，求出值域，由题意转化为，再由的对称性转化为，分类讨论求的值域，满足上述条件建立不等式求解即可.【小问1详解】因为定义在上函数的图象关于点对称，所以为奇函数，∴，得，则令，得.【小问2详解】（ⅰ）因为函数的图象关于点对称，所以为奇函数，所以为奇函数，所以，解得.（ⅱ）先证明在上单调递增，设任意的，且，则，由可知，，，所以，即在上单调递增；∴在区间上的值域为，记在区间上的值域为，对任意，总存在，使得成立知，由的图象关于点对称，所以只需①当时，在上单调递增，由对称性知，在上单调递增，∴在上单调递增，只需即可，得，∴满足题意；②当，即时，在上单调递减，在上单调递增，由对称性知，在上单调递增，