人教A版必修第二册高一（下）数学6.2.4向量的数量积【课件】

1|向量的夹角知识点必备知识清单破6.2.4向量的数量积已知两个非零向量a,b,O是平面上的任意一点,作

=a,

=b(如图所示),则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角,即<a,b>=θ.

当θ=0时,a与b同向;当θ=π时,a与b反向;当θ=

时,a与b垂直,记作a⊥b.已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,我们把数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积(或

内积),记作a·b,即a·b=|a|·|b|cosθ(结果不再是向量,而是数量;a·b中的“·”表示数量积这种运

算形式,不能省略,也不能用“×”代替).规定:零向量与任一向量的数量积为0.2|向量的数量积知识点3|投影与投影向量知识点1.如图,设a,b是两个非零向量,

=a,

=b,过

的起点A和终点B,分别作

所在直线的垂线,垂足分别为A1,B1,得到

,则称上述变换为向量a向向量b投影,

叫做向量a在向量b上的投影向量.

2.设与b方向相同的单位向量为e,a与b的夹角为θ,则向量a在向量b上的投影向量是|a|cosθe.设a,b是非零向量,它们的夹角是θ,e是与b方向相同的单位向量,则(1)a·e=e·a=|a|cosθ.(2)a⊥b⇔a·b=0.(3)当a与b同向时,a·b=|a||b|;当a与b反向时,a·b=-|a||b|.特别地,a·a=|a|2或|a|=

.(4)|a·b|≤|a||b|.4|向量数量积的性质知识点对于向量a,b,c和实数λ,有(1)a·b=b·a;(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb);(3)(a+b)·c=a·c+b·c.5|向量数量积的运算律知识点1.如果a·b=0,则一定有a=0或b=0吗?知识辨析2.a·a常记作a2,由a2=b2能推出a=b或a=-b吗?3.对于两个非零向量a,b,a·b的符号与其夹角θ有什么关系?4.对于向量a,b,c,等式(a·b)·c=a·(b·c)一定成立吗?一语破的1.不一定.若两个非零向量a,b满足a⊥b,则a·b=0.2.不能.因为a2=|a|2,b2=|b|2,所以由a2=b2能推出|a|=|b|.3.当a·b<0时,θ为钝角或θ=180°;当a·b>0时,θ为锐角或θ=0°;当a·b=0时,θ=90°.4.不一定.因为a·b,b·c是数量积,是实数,不是向量,所以(a·b)·c与向量c共线,a·(b·c)与向量a共线.

因此,(a·b)·c=a·(b·c)在一般情况下不成立.1|向量数量积的运算定点关键能力定点破1.求向量的数量积时,需明确两个关键点:模和夹角,再利用公式a·b=|a||b|cosθ求解.2.若问题中向量的模和夹角不是已知的,则可以借助向量的线性运算,将问题中的向量转化为

已知模及夹角的向量.典例1已知|a|=4,|b|=6,a与b的夹角为60°,则(1)a·b=

;(2)a·(a+b)=

;(3)(2a-b)·(a+3b)=

.解析

(1)a·b=|a||b|cos60°=4×6×

=12.(2)a·(a+b)=a2+a·b=|a|2+a·b=16+12=28.(3)(2a-b)·(a+3b)=2a2-3b2+5a·b=2|a|2-3|b|2+5a·b=2×16-3×36+5×12=-16.12

28-16在等腰直角△ABC中,AB=AC=1,

=3

,2

=

+

,则

·

=

.典例2思路点拨用

,

表示

,

,然后利用运算律求解.解析

∵

=3

,∴

=

=

(

-

),∴

=

+

=

+

.∵2

=

+

,∴

-

=

-

,即

=

,∴

=

=

+

,∴

=

-

=

-

.由题意得

⊥

,|

|=|

|=1,∴

·

=

·

=-

+

=-

+

=

.2|向量数量积的应用定点1.求向量的模求模一般利用公式|a|2=a2,计算时不要忘记开方,即|a|=

.拓展:|a±b|=

=

.在平面图形中求向量的模时,注意利用图形特征对向量的数量积或夹角进行转化.2.求向量的夹角求两个非零向量a,b的夹角θ的关键是计算a·b及|a||b|,利用cosθ=

,结合θ∈[0,π],求出θ的值.3.由夹角范围求参数的取值范围对于非零向量a,b,根据夹角θ的范围,可列关于数量积的不等式:若θ∈

,则a·b>0;若θ∈

,则a·b<0;若θ=

,则a·b=0,然后通过解不等式求参数的取值范围.如图,在△ABC中,已知|

|=2,|

|=6

,∠BAC=45°,BC,AC边上的两条中线AM,BN相交于点P.

(1)求|

|;(2)求∠MPN的余弦值.典例

解析

(1)由题意可得M为BC的中点,所以

=

(

+

),所以

=

(

+

+2

·

),所以

=

(

+

+2|

|·|

|·cos∠BAC),又|

|=2,|

|=6

,∠BAC=45°,所以

=

×

=25,所以|

|=5.

所以|

|=

=

=

=

,又

=

(

+

),所以

·

=

(