人教A版必修第二册高一（下）数学6.3.1 平面向量基本定理【课件】

6.3平面向量基本定理及坐标表示6.3.1平面向量基本定理|平面向量基本定理知识点1.平面向量基本定理:如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一

向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.2.基底:若e1,e2不共线,我们把{e1,e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.1.平面内任意两个向量都可以作为一个基底吗?知识辨析2.零向量可以与其他向量构成一个基底吗?3.平面向量基本定理中,a与e1共线时,λ2的值是多少?a=0时呢?1.不是.只有不共线的两个向量才可以作为一个基底.一语破的2.不可以.因为零向量与任意向量共线.3.λ2=0;λ1=λ2=0.1|平面向量基本定理的理解及其应用定点关键能力定点破1.对平面向量基本定理的理解(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解.(2)基底不唯一,只要是同一平面内不共线的两个向量就可以作为一个基底,同一非零向量在

不同基底下的分解是不同的.(3)基底给定时,分解形式唯一,即若a=x1e1+y1e2,且a=x2e1+y2e2,则

这个方法常用于待定系数法确定向量.2.利用向量解决几何问题平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想,用向量解决几何问题时,一般步骤如

下:(1)同一平面内选取不共线的两个向量作为基底;(2)将相关的向量用基底表示出来,将几何问题转化为向量问题;(3)利用向量运算求解向量问题;(4)将向量问题的解转化为几何问题的解.如图,在平行四边形ABCD中,F是CD的中点,AF与BD相交于点E,求证:E为线段BD的一个

三等分点.

典例证明

设

=a,

=b,则

=

-

=b-a,

=

+

=

+

=b+

a.由题意知,A,E,F三点共线,B,D,E三点共线,所以存在实数λ,μ,使

=λ

,

=μ

,于是

=

a+λb,

=μb-μa.因为

+

=

,所以(1-μ)a+μb=

a+λb.因为a与b不共线,所以

解得

所以

=

,即E为线段BD的一个三等分点(靠近点D).2|定比分点和分点恒等式定点1.定比分点设点P1,P2是直线l上的两点,点P是l上不同于点P1,P2的任意一点,存在一个实数λ,使

=λ,那么λ叫做点P分有向线段

所成的比,P叫做有向线段

的以λ为定比的定比分点.(1)λ由点P的位置决定,由点P的位置也可以确定λ的符号.当点P在线段P1P2上时,

与

同向,λ>0;当点P在线段P1P2的延长线上时,

与

反向,λ<-1;当点P在线段P2P1的延长线上时,

与

反向,-1<λ<0.(2)O为平面上一点,则有

=

+

.推广:若

,

为平面内两个不共线的向量,设

=x

+y

,则A,B,C三点共线的充要条件是x+y=1.2.分点恒等式在△ABC中,D是BC上一点(不包含端点),若BD∶CD=m∶n,则

=

+

.在△ABC中,点P满足2

=

,过点P的直线与AB,AC所在的直线分别交于点M,N,若

=x

,

=y

(x>0,y>0),则2x+y的最小值为

(

)A.3

B.3

C.1

D.

典例思路点拨

在此题中,易知B,P,C三点共线和M,P,N三点共线.利用向量的线性运算得到

,

,

的关系式,由M,P,N三点共线得到x和y的关系式,应用基本不等式即可求最值,注意等号成立的条件.A因为2

=

,所以由分点恒等式可得

=

+

,又

=x

,

=y

(x>0,y>0),所以

=

+

,由M,P