人教A版必修第二册高一（下）数学7.3 复数的三角表示【课件】

1.一般地,任何一个复数z=a+bi(a,b∈R)都可以表示成r(cosθ+isinθ)的形式.其中,r是复数z的

模;θ是以x轴的非负半轴为始边,向量

所在射线(射线OZ)为终边的角,叫做复数z=a+bi的辐角.r(cosθ+isinθ)叫做复数z=a+bi的三角表示式,简称三角形式.为了与三角形式区分开来,A+bi叫做复数的代数表示式,简称代数形式.2.规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值.通常记作argz,即0≤argz<2π.7.3*复数的三角表示1|复数的三角形式知识点必备知识清单破设z1=r1(cosθ1+isinθ1),z2=r2(cosθ2+isinθ2),则z1z2=r1(cosθ1+isinθ1)·r2(cosθ2+isinθ2)=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)];

=

=

[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)](z2≠0).2|复数乘、除运算的三角表示知识点1.复数乘法的几何意义如图①,复数z1,z2对应的向量分别为

,

,把向量

绕点O按逆时针方向旋转角θ2(如果θ2<0,就要把

绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|),再把它的模变为原来的r2倍,得到向量

,

表示的复数就是积z1z2.

3|复数乘、除运算的几何意义知识点2.复数除法的几何意义如图②,复数z1,z2对应的向量分别为

,

,把向量

绕点O按顺时针方向旋转角θ2(如果θ2<0,就要把

绕点O按逆时针方向旋转角|θ2|),再把它的模变为原来的

,得到向量

,

表示的复数就是商

.

1.复数的辐角θ∈[0,2π]吗?2.每一个复数都有唯一确定的辐角主值吗?3.复数z=2没有三角形式,对吗?4.如何判断两个三角形式的复数是否相等?知识辨析

1.不是.复数的辐角θ∈R,辐角的主值的范围是[0,2π),它们相差2kπ,k∈Z.2.不一定.复数0对应着零向量,而零向量的方向是任意的,所以复数0的辐角主值有无数个,除0

以外的复数,都有唯一确定的辐角主值.3.不对.复数z=2的三角形式可以为z=2×(cos0+isin0).4.两个三角形式的复数相等的充要条件是它们的模与辐角的主值分别相等.一语破的1.代数形式转化为三角形式(1)复数z=a+bi(a,b∈R)转化为三角形式z=r(cosθ+isinθ)的口诀:模非负(r≥0),角相同(θ前后一

致,可任意值),余弦前(cos在前,sin在后),加号连.(2)步骤:先求复数的模,然后根据复数所在象限确定复数的辐角的主值,最后写出复数的三角

形式.2.三角形式转化为代数形式求出三角形式中的三角函数值,使之与模相乘并化简即可.1|复数的代数形式与三角形式的转化定点关键能力定点破将复数z=1+cosθ+isinθ(π<θ<2π)表示成三角形式,并指出其模与辐角的主值.典例

解析

z=1+cosθ+isinθ=1+

+2i·sin

·cos

=2cos

.∵π<θ<2π,∴

<

<π,∴cos

<0,∴z=2cos

=-2cos

=-2cos

,∵

<

<π,∴

<π+

<2π,∴argz=π+

.故复数z的三角形式为z=-2cos

·

cos

+isin

,模是-2cos

,辐角的主值是π+

.易错警示

本题易忽视角θ的范围以及2cos

的正负,因此一定要判断是否满足三角形式的要求:模非负,角相同,余弦前,加号连,四个要求缺一不可.1.两个复数的三角形式的乘法法则可简记为“模相乘,辐角相加”,并且可以推广如下:(1)有限个复数相乘,结论亦成立.即若z1=r1(cosθ1+isinθ1),z2=r2(cosθ2+isinθ2),……,zn=rn(cosθn+

isinθn),则z1z2…zn=r1(cosθ1+isinθ1)·r2(cosθ2+isinθ2)·…·rn(cosθn+isinθn)=r1r2…rn[cos(θ1+θ2+…+θn)+isin(θ1+θ2+…+θn)].(2)当z1=z2=…=zn=r(cosθ+isinθ)时,[r(cosθ+isinθ)]n=rn(cosnθ+isinnθ),这就是复数三角形式的

乘方法则,即“模乘方,辐角n倍”.2.两个复数的三角形式的除法法则可简记为“模相除,辐角相减”.2|三角形式下的复数的乘、除运算定点已知z1=

(1-

i),z2=sin

-icos

,求z1z2和

.典例

解析

∵z1=

(1-

i)=cos

+isin

,z2=sin

-icos

=cos

+isin

,∴z1z2=cos

+isin

=-i,

=cos

+isin

=

-

i.素养解读复数是中学课程中数的概念的最后一次扩充,复数涉及面广、知识跨度大,它与代数、

几何、三角函数等有着密切的联系.高考对复数的考查基本围绕复数的概念和复数代数形式

(a+bi,a,b∈R)的四则运算.与复数概念有关的问题通常是根据复数满足的条件求参数的值(范围).解决问题时,需要

根据复数的概念列出复数实部与虚部满足的条件,建立关系式求解.与复数的四则运算有关的问题通常会和复数的模、共轭复数相结合,解决问题时,需灵

活运用复数的四则运算法则及性质运算.|在复数的概念和四则运算中发展数学运算的核心素养素养学科素养情景破已知复数z1=(i-a)2,z2=4-3i,其中a是实数.(1)若z1=iz2,求实数a的值;(2)若

是纯虚数,a是正实数,求

+

+

+

+…+

的值.典例呈现例题解题思路

(1)利用复数的乘法运算及复数相等的充要条件求解.因为z1=(i-a)2,z2=4-3i,z1=iz2,所以(i-a)2=i(4-3i),即a2-1-2ai=3+4i,由复数相等的充要条件得

解得a=-2,所以实数a的值为-2.(2)利用

为纯虚数求出a,从而得

的值,然后通过in(n∈N)的周期性进行求解.依题意得

=

=

===.

因为

是纯虚数,所以

所以a=-2或a=

,又因为a是正实数,所以a=

.当a=

时,z1=

=-

-i,所以

=

=-i,因为i1=i,i2=-1,i3=-i,i4=1,……,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n+4=1(n∈N),所以

+

+

+

+…+

=(-i)+(-i)2+(-i)3+(-i)4+…+(-i)1003=(-i-1+i+1)+[(-i)5+(-i)6+(-i)7+(-i)8]+…+[(-i)1001+(-i)1002+(-i)