2024年数学高考一轮复习平面向量的数量积试卷版

10.2平面向量的数量积（精练）

基N础）训:练

1.（2023秋•江苏南通•高三统考开学考试）（多选）已知平面向量d=（-2,l）,6=（x,y），d=（2j）,则下列

说法正确的是（）

A.若f=3,则向量右在d上的投影为—立

5

B.若09二66则x=-2，一=1

c.若a,8,，〃由则/=—1

D.若/>4，则向量d与6的夹角为锐角

【答案】AD

【解析】对于A,因为1=3,所以己二（2,3）,Xd=（-2,1）,

2x(-2)+3x13

所以向量d在d上的投影为常

5正确:

对于B,因为,.《二儿占旦d=（一M1），，=（x,y），d=（2>，）,

所以2x(—2)+fxl=2xx+fxy,即2x+4+(y-l)/=0,该方程有无数组解，错误;

对于C,因为d〃6，b//c'且d=(一2,1),b=(x,y),c=(2,/),

贝ijyx（-2）=xxl,2xy=txx,即x=-2y,2y=tx.所以Zx=-x,

当x=0时，ZeR,当x/0时，/=-h错误：

对于D,ti=（-2,1）,c=（2,/）.若G〃d时，/x（—2）=2xl,所以/二一1，

此时d与d为相反向量，当/>4时，oc=（-2）x2+/=/-4>0.

则向量d与/的夹角为锐角，正确：

故选：AD

2.（2022秋•云南保山•高三统考阶段练习）（多选）己知向量G=（-l,3），坂=（见加-3）,其中加eR，则下列

说法正确的是（）

A./ia//bf则加=彳

B.若（a+，）_L（i一小则%二而

C.若占与8的夹角为钝角，则加<4

D.若m=3,向量2在8方向上的投影为-1

【答案】ABD

【解析】选项A：由万〃彼得-1（旭-3）-3加=0,得m=3,故A正确：

选项B：中伍+司I（万一9得伍+4@一力0,BP^-P-O.

所以W=J^'=J（-1）2+3]=<10'故B।上确；

选项c：&与石的夹角为钝角，则出6<o,且d与各不共线，

由方£<0得一肥+3（加—3）<0,1!|.6<2,

由选项A知d与3不共线时，m3故C错误；

4

万W3

选项D：加=3时，A=（3,o）.向量a在方方向上的投影为|d|cos06）=而=1=T,故D正确.

故选:ABD

3.（2023春•河北•高三校联考阶段练习）（多选）已知单位向量的夹角为。，则使夕为钝角的一个充分条

件是（）

A.ab<QB.卜一方卜百

C.a（a-/>）=1D.RkW

【答案】BC

【解析】若£$<0,则夕可能为兀，A选项不是夕为钝角的充分条件、故A不正确，

若两边平方得37=」二>口].加（《0=」，即向量刷的余弦值为」，所以6=包,

B选项是夕为钝角的一个充分条件故E选项正确，

若a（a-E）=g，则£$=-；,即向量3,5的余弦值为一；，所以cos®<0且cos。/T,8为钝角，，

C选项是0为钝角的充分条件，故C选项正确，

若问两边平方得〉EVL当6=露时满足题意

所以6不•定为钝角，D不是。为钝角的充分条件，故D不正确，故选：BC.

4.（2022秋・黑龙江鸡西・高三校考阶段练习）（多选）已知向量。=。,3）3=（2,-4）,则下列结论正确的是（）

A.ab=-W

B.2a+6=V10

c.（明J

3

D.向量）与向量g的夹角为一兀

4

【答案】ACD

【解析】对于A中，由a=（l,3）3=（2,~4），可得"A=1X2+3X（-4）=_10，所以A正确：

对于B中，由。=（1,3）,，=（2,-4）,可得27+3=（4,2>可得卜。+0=2遥，所以B错误：

对于C中,由a=（l,3）3=（2,T>可得；+6=（3,f,

可得（4+W=1X3+3X（-1）=0.所以@+今J.所以C正确；

对于D中，由a=（l,3）3=（2,-4），可得付二4+于二而，，=JT+（Y）2=2底

/-y\ah-10h

所以国叫=丽;而9

因为«,而"0,兀卜所以,［〉=竽,屏向量2与向量8的夹角为芳，所以D1E确.

故选：ACD.

S.（2023春•江西宜春•高三江西省宜丰中学校考阶段练习）（多选）已知平面向量£-（-2,1）,X-（4,2）,

c=（2,/）,则下列说法正确的是（）

A.若》/；，贝*=一1B.若A'2贝”=「4

C.若1=1，则向量£在展上的投影向量为D.若QT，则向量各与展的夹角为锐角

【答案】AB

【解析】对于A,若二〃。则一2/-2=0解得，=一1，故A正确；

对于B,若gjj,可得"展=0,即4x2+2/=0,解得1=-4,故B正施：

对于C,若1=1，：=（2,1），

平方得口+2。-3+恸=4+247i+2=10.解得

所以占在方方向上的投影向量为,.g=

故选:B.

8.（2023•四川绵阳•三台中学校考一模）若向量£,刃满足卜2,,+%）3=6,则右在£方向上的投影为

（）

A.1B.—C.——D.-1

22

【答案】B

【解析】因为忖=2.（d+2盯d=6.

所叫《+2d.b=6,即2?+2^4=6，则dJ=[

故石在江方向上的投影Wco*,,/；=呼2

2,

故选:B.

9.（2023・全国•高三专题练习）已知向量）=（2,1），方=（一1，3）,则向量抗强方向上的投影向量为（）

1-1-1.1一

A.■bB.—■^■bC.——bD.b

J10wo10io

【答案】C

【解析】因为向量£=（2,1）,石二（-1，3）,

所以向量£在石方向上的投影向量为

a-bb—2+3£1工

下I・i=--1--+---9--b=—10b

故选:C

10.（2023•河北•统考模拟预测）在平行四边形48Q）中，已知47=2⑷/=4,且4月.8《=-4,则向量/“与

/d的夹角的余弦值为（）

A.--B.0C.-D.@

222

【答案】B

【解析】由题意知，在平行四边形/灰第中，BC=AD^AD=2AB=4^

因为4月4月H8dHx)sGt-48C)=2x4x(-cosZ48C)=-4,所以cos48C=J.

因为乙IBCW(OK),所以ZABC=3,又48=2,BC=4,

所以4q=&月+8。=《AB+BC^=J而1+pC，-2x,闿伊4.8SZABC=2退，

故,。2=卜月(+&C，则N84C=1.

所以向量方与4d的夹角的余弦值为o.

故选:B.

11（2023•江苏苏州•模拟预测）已知向量G在向量右上的投影向量是-火和且坂=（1,1）,则Jj=（)

2

A._氏B.行C._&D.在

22

【答案】A

【解析】因为向量£在向量刃上的投影向量是-史加所以忖COS=一'W，

2

邮辰的=一和卜2郭'=邛

因此a•坂二

x(l+l)=->/3

故选：A.

12.（2023•新疆•统考三模）设向量d，3为单位向量，且|d+2/；H瓶/1（4/0），则向量小g的夹隹为

（）

.九c冗一兀c57r

A.—B.—C.—D.—

6326

【答案】C

【解析】由题意知，加目力口，|£+〃卜|痛—加，

所以(白+肪2=(Aa-h)2^即J+宏广+24a3=■-2Xa-bf

所以1+下+2cos<a,d>=l+22-2cos<a,d>»乜42cos<a,A>=0»

又因为义工0，

所以cos<>=0，

所以<。3>=土

2

故选：C.

13.（2023秋•安徽•高三宿城•中校联考阶段练习）已知空间向量£,石，＜?满足.+4+壮=6，1叫=2,访|=1，

日|=2\/5,则，与d夹角为（）

A.30"B.150c.6(r»120,

【答案】B

【解析】设石与d的夹角为。由d+〃；+d=6，

得*+d=-d，两边平方，W4/；2+4Ac+c2=a2»

L

所以4+4xlx26cos0+12=4，解得cos。=»

2

又因为0°404180°，所以6=150'，

故选：B.

14.：2023秋•广东深圳•高三校考阶段练习）如图，在“BC中，/84C=四,4/5=2万/为c/J上一点，且

33

满足=+；/反若匕2,|.4川二5,则|而|的值为（）

【答案】C

【解析】在△力8c中，由/氏4。=二4万=2。反。为C7)匕一点，

3

且满足AP=mAC+248，则AP=mAC+-Al),

24

?1

又由RC、D三点共线，则初+三=1，即m=±,

44

因为|4/|=ZI*1=5,

—_1—21—♦—•1—2111131

则171Pl2=—/。+-ACAB+-AB=—x4+-x2x5x-+-x25=—，

1644164244

故选：C.

15.（2023•江西九江•统考一模）已知情、7为单位向量，则向量加+2力与3夹角的最大值为（）

【答案】A

【解析】设（加,〃，二。，贝J加+2n|=m+2〃）=\m+4/«w+4〃？=>/5+4cosa，

（m+2n）n=mn+2n=加〃+2卜|=cosa+2，

1--（m+2n）ncosa+2

，，|m+2n|-p|j5+4cosa

令/=j5+4cosa，因为一l<cosa«l，所以，w[L3],

，哂+洞=毕川昌寺2小考当且仅当"时取等号,

又（加+2〃,〃闫0,兀],所以（加+2〃,〃）e„

所以向量m+2〃与[夹角的最大值为

6

故选:A.

16.（2022秋•广东惠州•高三统考阶段练习）向量联=（0,2）,A=（2,-3）.则方在。上的投影向量为（）

A.（0,3）B.（0,-3）

C.（0,6）D.（0,-6）

【答案】B

【解析】因为〉（0,2）6=（2,-3）,

所以£?.，=—a=2,

__aba-6（0,2）

所以方在a上的投影向量为下「同=Q~X—^―=（0,7）.

故选:B

17.（2024秋•内蒙古呼和浩特•高三统考开学考试）已知定点〃（2』），。为坐标原点，点A是圆O上的一点,

且圆O的半径为1，则P/j.p。的最大值为（）

A.5B.3+有C.5+75D.8

【答案】C

【解析】由题意可知，而=（一2,-1），则方/。=（尸。+0可=+

当且仅当点A为线段OP与圆O的交点时，等号成立.

因此，万•下的最大值为5+

故选：C.

18（2023秋•广东深圳•高三深圳市宝安第一外国语学校校考阶段练习）（多选）已知

a=（-2,1）,/；=（£,—3）,c=（l,2）,若（a-2Z；）lc,则与b共线的单位向量为（）

D-住用

【答案】BC

【解析】因为d二（一2,1）,b=（k,-3\

所以6-2，-（-2-2月7）.

又因为（d-26）ld.

所以万一涕二(—2—2jl)xl+7x2=0nt=6.

因此方二（-6,—3）,

1

于是与b共线的单位向量为土(-6,-3)*

"+(-3)2亏'T

\/

故选：BC

19.（2023・河南•统考三模）己知£=（-2,6），E=（4,4），若31（3-折，则向量的夹角的余弦值为（）

A._匹B.巨C.一也D.也

2222

【答案】B

【解析】由题意】.（£一物=/一』$=o,故

所以64-8=40.故；1=8,

,/-7\ab40M

由cos（。力）=-：--=-7=产=一•

\•|列回2MX4旧2

故选：B

20.（2023秋糊南长沙•高三长郡中学校联考阶段练习）在三角形力8C中，444d=0,卜1=6,

A（）=-（Ali^AC\,8/在上的投影向量为』以3则（>

2'16

A.-12B.-6C.12D.18

【答案】A

【解析】由题意，ZBAC=90°O为5C中点，由瓦｝在而上的投影向量为|648姐•前二：8C；,

BAcos/?5-

即一，又

网|6

一5―•,

所以痴•86=加||BCcosB=”（??二30,

，•I'■，•1/••\・・，・■■■

所以/（7•8C=（的—B4）BC=BO•BC-BABC=3x6-30=72.

故选：A.

21.（2023・四川成都・校联考模拟预测）已知£=（1,1）,方=（-1,m），且£在刃方向上的投影与右在0方向上的

投影相等，则加二

【答案】1或

【解析】由题意，向量a=（l,l）,，=（一1,町），可得口=0，/且=

因为£在各方向上的投影与g在a方向上的投影相等,

a-ba-bm—\m—\

可得nIFNr=~iM7r，即—及L=v，W+i，解得E=±L

故答案为：1或-1.

22.（2023•甘肃张掖・高台县第一中学校考模拟预测）已知向量”（X,2），力=（2,-1），且4_1_。则向量2。-3,

在片方向上的投影为.

【答案】26

【解析】向量。二（芍2）,方=（2,-1），由al0得2x—2=0.所以x=L

所以2——35在£方向上的投影为---—==2|<>|=2>Jx2+4=25/5.

aH

故答案为：2石.

23.（2023•北京通州•统考三模）已知等边三角形的边长为2,M的半径为1,PQ为04的任意一条直

径,则4万•（：加

【答案】1

【解析】

BPCQ-APCB

=(就+4•(C/+AQ^-AP\AB-AC)

=BACA+BAAQ+AP-CA+APAQ-APAB+APAC

=BACA-BA-AP+APCA-APAP-APAB+APAC

=-BAAP^APCA-V-APAB-APCA

=2X2X-^ABAP^APCA-\2-APAB-APCA

2

=^ABAP-AP-AB)^APCA-APCA^

=2x2xi-l2

2

=1-

故答案为:1.

24.（2023•全国•高三专题练习）如图，在△0/8中，P为线段A8上一点，则0户=%。/+7。月，若力=3/亦

|。/|二4,|茄|=2，且0/与加的夹角为60°，则0/；.加的值为.

13

【解析】因为/p=3/N，所以力〃=一力8二—(。8—04),

44

——♦，一・''"・■•，・■■I，■\“■"9''♦

所以OP/A=(04+AP)(OR-OA)=(-OA+-OR)(OR-OA)

44

=--0A+—=xl6+-x4--x4x2xcos60°=-3»

442442

即原•刀=-3,

故答案为：-3

25.（2023・四川成都・校联考二模）平面向量£不满足|£目力,且|3一3后=1，则886,35-力的最小值是

【答案】巫生6

33

【解析】由|。-3/1两边平方得丁_心$+犷=卜

又因为|。目“所以£/=应二1，

6

所以cos..9且生凄邑返巴恒苴里上如向+小卜32振=孚当

\b\-\3b-a\|6|6\b\6|b|"MU03

且仅当|加=4时取等号，

所以cos〈R3力-a〉的最小值是过2.

3

故答案为：述.

3

能“力:提!升

1.（2023・全国•高三专题练习）十七世纪法国数学家皮埃尔•德・费马提出的一个著名的几何问题：”已知一

个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小它的答案是：当三角形的三个角均

小于;2加时，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角;2兀；当三角形有一内角大于或等于2:”时，所求点

为三角形最大内角的顶点.在费马问题中，所求点称为费马点.已知在J8C中，已知C=：兀，/C=1,8C=2,

且点M在48线段上，且满足CM=BM,若点、P为A4MC的费马点、，则P/pM+PM-Pd+P/i-Pd=（）

432

A・-1B.----C.--D.----

555

【答案】c

【解析】因为在J8C中，C'=3，AC=1M=2,

所以由余弦定理可得4B=ylAC^CB'-lACCBcosC=⑺，

A（y

由正弦定理可得?一二黑即sin8/^CsinC1Xy_V21,

sinBAB~41~~\V

又B为锐角,所以cos8=>/i二乔万二等，

设CM=BM=x，则CM?=CB2+BM2-2CB-BMcos8，

即F=4+f一盛x，解得工=空，即8M=24从

755

所以力历=24？=也，则sOQ1Q/Q

.=一,£折=-x—xlx2x—=，

55552210

6328

AM、CM=AC2

ZAMC=

2AM•CM2x也短

55

则/4MC为锐角，由于（1=2相故4CA/<4,

33

所以A/MC的三个内角均小于:兀，

则〃为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角:兀；

所以S"比=.|尸而卜而印+•p4sin与+；MP4s吟

4呵网+叫呻网附|卜陪

所以+\PM\-|pc|+|p/i|-|pc|=|,

所以/UPM+PM.PC+PAPC=|pj|-|PA/|cosy+|/?A/|-|?c|cosy

+M•呻。sl

=一躯1MM+四阿+脚|网）=-/=［，

故选：C.

2.（2023・全国•高三专题练习）向量4=（28立,24团,6=3*,6：0刈/€1<,若存在整数加使得方程

旭二03在［。皮上有两个不同的实数根，则昨（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【解析】db=2cos2x+V3sin2x=cos2x+>/3sin2x+l=2sin^2x+^jfl,

若胆=d-6有两个不同的实数根，则sin（2x+?1二巴二有两个不同实数根,

6）2

c71兀c冗7瓦七.7cl1

0<x<—<2x+—<—，1!sin—=-一,

2666622

如图，画出函数y=sin，的图象,

耍使得疝伍+?）=等有两个不同实数根，1<—<1，于是24M<3,m为整数，所以加=2.

［6J222

故选：C

3.（2023春•重庆沙坪坝•高三重庆一中校考阶段练习）已知长方形A5C。的边长48=2,8C=1,P,。分别

是线段8C,CO上的动点，/4。=45。，则”70的最小值为（）

A.：B.473-6

C.472+4D-4>/2-4

【答案】D

【解析】设A点为坐标原点，分别以A&八。为x,y轴建立坐标系，如图,

不妨设DQ=x,BP=y（x>0,y>0）,则Q（x,l）,P（2j）,

因为NP/0=45°.所以/84/）+/。4。=45°,

又tan=泉tan/.DA0=：=x,

-+x

tan/8〃+tanZ£M。

所以］=tan45。=2,则y+2x=2f.

l-tan/84>Un/〃40i-x'

2

，解得2x+y24&-4,

当且仅当2x二夕=2及-2时，等号成立，

所以4//0=(2,>9(苍1)=2工+^24及_4,

则/户•/0的最小值为4拒-4

故选：D.

4.(2023秋•江苏苏州高三统考开学考试)我国人脸识别技术处丁世界领先地位.所谓人脸识别，就是利用

计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法.假设二维空间中有两个点力(玉,乂)，

*七/2)，。为坐标原点，余弦相似度为向量0/0力夹角的余弦值，记作cos(48)，余弦距离为l-cos(48).

已知P(cosa,sina),0(cos〃,sin/?),H(cosa,-sina),若P,Q的余弦距离为g,tanatan/?=-,则Q,

R的余弦距离为()

A.-B.-C.-D.-

2347

【答案】A

【解析】由题意得=(cosa,sina)，M=(cos/,sin0)<)R=(cosa,-sina),

则84，。）=龈j=cosacos夕+sinasin//=-t

csinasinBI

又tanatan1=--------=-,

cosacos/?7

Ecostzcos/?=7sinasmfl,

..17

[Ssinasinp=~fcosacos/?

cosacos-sinasin夕

l-cos(^/?)=l-

~T2

故选：A.

5.（2023•福建泉州•统考模拟预测）人脸识别，是基于人的脸部特征信息进行身份识别的一种生物识别技

术.在人脸识别中，主要应用距离测试检测样本之间的相似度，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦

距离.设力（不乂），8伍,%）,则曼哈顿距离448）=恸-引+从-"余弦距离e（4,8）=l-cos（4B）,

其中8$（48）=85（。/,。可（0为坐标原点）.已知=则e（M,N）的最大值近似等于

（）

（参考数据：72«1.4b1a2.24.）

A.0.052B.0.104C.0.896D.0.948

【答案】B

【解析】设N（XJ）,

由题意可得：d（MtN）=\2-x\+\i-y\=\,即k一2|十小一1|=1,

可知b-2|+卜一1|=1表示正方形［8Q），其中4（2,0）,5（3,1卜。（2,2）,。（1,1）,

即点N在正方形/BCD的边上运动，

UIA1UUU

因为0A/=（2,l）,0N=（xj），由图可知:

当ccs（A/,N）=cos”欣加）取到最小值，即，;。/，加）最大，点N有如下两种可能:

①点N为点A,则加=（2,0），可得cos（A/,N）=cos（苏，㈱）=房区=竽：

UUU

②点N在线段CD上运动时，此时凉与od同向，不妨取0N=（U），

/iwum.33、，10

则cos(M,N)=cos(OKON)=£6=玉-；

因为亚〉延

105

所以e（〃,N）的最大值为1一竽=0.104

故选:B.

6.（2023•全国高三专题练习）（多选）如图，已知直线/J/。点A是小6之间的一个定点，点A到小&的

距离分别为1,2.点〃是直线4上一个动点，过点A作力。1力从交直线4于点C，G/+G/hGd=d，则

B.△G48而枳的最小值是:

c.|^S|>iD.G/i・G月存在最小值

【答案】ABC

【解析】取8c中点F，连接G“，如图,

由G彳+G#+Gd=6,得GI，=L(GR+G('=(沆因此点4G,"共线,

22

—.2—21——.1——.

ILAG=-AF=-x-(AB+AC)=-(AB+AC),A正确；

设/必。二。（0＜0＜色），由于OKJL/”。/1。而4（：工48.则N/》C=巴一夕

22

由4D=2,N«=1,得48=—2—,4。==二1，显然点G为J8C的重心,

cos。sin0

]11222

1c=-x-/tffx/lC=-x——―,—=之士,

则△G48的面积20M丁

aC483232cos0sin，3sin203

当且仅当即〃三时取等号’B正确,

|卅二;I万+公上^\IAB*23*9+AC2

4面2。COS2J=＞当且仅当竺毕二空设，即tan”也时取等号，C正确:

cos?。sin?。cos?8sin?。2

bt!4G=L(/18+/lC)，得G/f二一L(4B+/C),GB=AB-AG=-AB--AC,

3333

——1—.——.——1—2—218|

因此G4G8=——("+/C)(2/B—/C)=——(2”-AC)=—(—-----=-)

999cos59sin0

18sin20cos20.人sin*_..、i_8sin2^cos20_1

=—(7+——；-------)，令/=——=tan22^G(0,4oo)，则mi7+—；--------=7+8o/--，

9cos。sin0cos0cos0sin0/

1―.―.11

而函数y=7+&-2在(0,+oo)上单调递增，值域为R,所以G4-G8=-；(7+8/-,值域为R,无最小值，D

错误.

故选：ABC

7.（2023秋•河北•高三校联考期末）（多选）己知抛物线c：V=4x的焦点为八直线y=%（x-l）（左cR且

kM）交。与A、B两点,直线。4、08分别与。的准线交于A/、N两点,（。为坐标原点），下列选项

错误的有（）

A.\/上€11且々/0，0M0A=0N0B

B.VAwIMAwO，0M0N=0A01i

c-VAwRliAwO，（）M（）N=0F2

D-汆wR且2/0，0M0N=()F2

【答案】ACD

【解析】

由?=4x，可得公X?—2(炉+2”+公=0.

v=^(x-l)

设刚不乂），见孙必），

则%+毛=写4,x,x2=h

4

乂+…H）+审-+七）-2匕,

乂必二尸（X-1）«2一1）二公［士工2-（芮+天）+11=4

直线。力的方程为丁=%乂由.'-X”,可得加（一1,一九）,

不x=-\不

同理可得N（-L-a）,

占

所以。/二&,乂），加二。2，必），

。M=（—1,一%），。”=（一1,_%），

苦X2

对于A,OM-O/i=（-L--）,（xbZ）=_xi~~=_xi—~=-^i-4.

xi石玉

ONOli=（-\--）（x,y）=-x-^-=---4,

x222

2x2x,

只有当玉=1时，一_1-4=-玉-4,此时乙二1，直线与X轴垂直，不存在斜率，不满足题意,

所以，-'-4工-石-4,故A错误；

不

对于B,因为0M-0”二（一1,一”■）•（一1,-近）T+况="4=-3,

玉/玉玉

OA-OB=（x^^i）,（x2,y2）=XJXJ+=1-4=-3=OM-ON»故B正确:

对于C,由B得0疝0”=一3，而0尸=］，所以0MoM±0户2，故C错误；

对于D,由C可知不存在％€七且&/（）,使0力.0“二0户成立，故D错误.

故选：ACD.

8.（2023•云南昭通•校联考模拟预测）（多选）已知向量£,h，£满足口卜2,a-i=p-A|=|c|=l,则可

能成立的结果为（）

A.|d|=1B.恸=3C.b，c=3D.bc=—

2

【答案】AD

【解析】由题意J=2，同=1,设ai=£,o月力,oC=A

不妨设c（o』），如图动点A在以原点为圆心，2为半径的圆o上，

动点8在以。为圆心，1为半径的圆匕且满足|48b1,

圆C方程是。一1）2+/=1,当》在圆C上运动时,由"用+|。3日。川,得|。叫21,

当且仅当。，A8三点共线时取等号，又由图易知|。8区2,即14M卜2,故选项A满足，选项B不满足：

对于选项C,D,设伏xj）,则选=（"）.（1,0）=x，

1

x2+y2=1X21

由，/2,解得，所以北士，又X42，

l（x-l）2+/=lJ32

y~2

即；Mx42,所以选项D满足，C错误，

故选：AD.

9.（2023•江西鹰潭•统考一模）卜七世纪法国业余数学家之王的皮埃尔•惠・费马提出的一个著名的几何问题:

“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”它的答案是:当三角形的三个

角均小于120。时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角120。：当三

角形有一内角大于或等于120。时，所求点为三角形最大内角的顶点.在费马问题中所求的点称为费马点.已知

。力,c分别是“8C三个内角4,B,C的对边，且。二60。,。二若力二2,若点、P为“BC的费马点、,则

PAPB+PBPC+PAPC=——•

【答案】-V3

【解析】由于。=60。,所以三角形48C的三个角都小于120。,

则由费马点定义可知：乙4P8=NBPC=4PC=120。，

设pMbx,|p9=yjp。=z，由L尸8+S4BPC+S：=SJBC得：

-xy^-+—yz^-+—xz^-=—x整理得中+亦+xz=2、回，

22222222

则P/PQ+P庆pd+尸彳屁

故答案为：

10.（2023•上海黄浦・格致中学校考三模）已知平面向量£,儿联满足忖=1,a.b=b.c=v\a-i+c\<2^2,

则£下的最大值为.

【答案】2

【解析】设a=(1,0),ft=(1,5)»c=(l-5/,/)»5,/GR,

由已知可得：|a-A+c