13.2.2 勾股定理及其逆定理的综合运用 教学评教学设计 2025华东师大版数学八年级上册

数学年级八年级课型第十三章13.2.2勾股定理及其逆定理的综合运用1课时通过本节课的学习，能结合方格纸的直角特性，利用勾股定理构造常见无理数的线段，理解无理数的几何意义。经历“无理数的几何表示需求一勾股定理建模一方格纸作图实践”的完整过程，掌握“定直角边一构直角三角形线段作图步骤。体会“数与形”的辩证统一，深化勾股定理的应用价值，提升几何直力和数学建模能力。本节课是华师大版八年级上册第13章“勾股定理”第2节的内容，与证明”“勾股定理与网格三角形”等前置知识，是勾股定理在“几何作图”领域的专项应用，也是连接“数系扩张(无理数)”与“几何直观”的关键纽带。从知角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方”,可将无理数转化为直角三角形的斜边长学情分析八年级学生已掌握勾股定理的核心内容(直角三角形三边平近似值；具备方格纸作图的基本能力(如画直线、直角、正方形等)形边长为1的默认规则，这些为“用勾股定理作无理数线段”奠定基核心素养目标直角三角形斜边一线段”的对应模型，深化对无理数几何2.经历“目标无理数→确定直角边长度(依据勾股定理)→构造直角三角形→画出斜边”的推理过程，能严谨解释作图的理论依据(勾股定理),培养演绎推理能力。3.能将“画无理数线段”的问题转化为“构造直角三角形”的模型，建立“无理数n→直角边a、b(a²+b²=n)→斜边√n”的建模流程，能运用模型解决复杂无理数线段的作图问题。教学重点边长度a、b(满足a²+b²=n,a、b为正整数),在方格纸上构造直角三角形，其斜边即为教学难点直角边长度的确定：对于复杂无理数(如√7、√10等),能快速找到满足a²+b²=n的正整数a、b,突破“逆向运用勾股定理”的思维障教学准备多媒体课件、学习资料教学环节教师活动学生活动设计意图一、引新【想一想】我们学过的无理数有哪些?如图，方格纸中每个小正方形的边长为1,我们能画出长度为1、2、3的线段，那么长度为的线段怎么画?回顾无理数的概念和勾股定理的内容，明与无理数线段的作图对比”,制造认知冲突，激发学生结合预习反馈，自为新知探究铺垫。何线段?勾股定理是“a²+b²=c²”,若斜边c=√5,则c²=5,那么两直角边a、b满足什么关系?结合方格纸特点(直角边长度为正整数),a和b分别是多少?a=1,b=2,因为1²+2²=5.【画一画】根据上面的推导，在方格纸上画一画.第一步：定直角顶点。在方格纸的格点上取一点A作为直角顶点。第二步：画直角边。从A点出发，沿水平方向向右画1个单位长度，标记点B;沿竖直方向向上画2个单位长度，标记点C。第三步：连斜边。用直尺连接B、C两点，线段BC即的直角边为1→形”的转化小组内互相检从正整数直角边到无理数直角边”的探究顺序，逐步突破难点；通过“自一总结步骤”的流中提炼方法，强化“数一形”转化的【想一想】为什么BC的长度是√5?在Rt△ABC中，由勾股定理，可得总结归纳画无理数线段√n的一般步骤是什么?”(即斜边的平方)。第二步：找直角边。确定两直角边长度a、b,满足a²+b²=n(a、b可为正整数或已画出的无理数线段)。第三步：构直角。在方格纸上取格点作为直角顶点，画第四步：连斜边。连接两直角边的另一个端点，斜边即【例3】如图，在3×3的方格图中，每个小方格的边长都为1,请在给定网格中按下列要求画出图形：(1)画出所有从点A出发，另一个端点在格点(即小正方形的顶点)上，且长度为√5的线段；合，在方格纸点、直角边长动手设计并画形，在小组内讲解作图依据的核心应用，强化“直角边组合探究”和“作图规范性”;提升练习将无理数线段作图与三角形设计结合，培养知识综合运用能力和创新思维；小组互评促进学生间的交流，深化对作图依据的理解。(2)画出所有以小题(1)中所画线段为腰的等腰三角如图，△ABC、△ABE、△ABD、△ACE、△ACD、△AED就是所要画的等腰三角形.【例4】如图，已知CD=6m,AD=8m,∠ADC=90°,BC=24m,AB=26m.求图中着色部分的面积.B分析：着色部分的面积=△ABC的面积-△ADC的面积，因此需要求出两个三角形的面积即可解决问题。∵AC²=AD²+CD²=8²+6²=100(勾股定理),∴△ACB为直角三角形(勾股定理的逆定理).∴S者色部分=SAB-SA【知识技能类作业】必做题：练习，在练习基础练习旨在巩固本节课的核心知识1.如图，每个小正方形的边长为1,点A,B,C,D都在2.如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1,△ABC的顶点在格点上，则△ABC中，边长是无理数的边有_2条.本上写出详细点，帮助学生夯实动则将数学知识与让学生体会数学与学生的知识应用能力和创新思维能二二4.如图所示的一块地，已知∠ADC=90°,AD=12m,CD=9m,AB=25m,BC=20m,则这块地的面积为96m².【知识技能类作业】选做题：5.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1,△ABC的三个顶点均在格上，则△ABC的周长是).点B6.如图所示，在△ABC中，∠B=90°,AB=3,AC=5,将△ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE,则△ABE的周长为...7.【综合拓展类作业】7.如图，折叠长方形的一边AD,使点D落在BC边上的点F处，折痕为AE,若AB=6cm,BC=10cm,求EC的解：∵四边形ABCD是长方形，∴AD=BC=10cm,由题意得AF=AD=10cm,设DE=EF=x,EC=6-x,由勾股定理得BF²=10²-6²=64(cm),在△ECF中，由勾股定理得x²=22+(6-x)²,解得：四、提升1.用勾股定理在方格纸上画无理数线段的步骤：第一步：定目标。的总结，回顾自己本节课的帮助学生梳理知识体系，强化重点知识，让学生对本节第二步：找直角边。2.勾股定理及其逆定理的综合运用.学习过程，反思自己的收获晰、系统地认识。13.2.2勾股定理及其逆定理的综合运用1.用勾股定理在方格纸上画无理数线段2.勾股定理及其逆定理的综合运用3.例题讲解利用简洁的文字、以帮助学生理解掌的知识体系。做题：的边长均为1,△做题：的边长均为1,△ABC的三个顶点均1.如图，网格中小正方形3.如图，在4×4的网格图中，小正方形的边长为1,则图中用字母表示的四条线段中长度4.如图，∠A=∠OBC=∠OCD=∠ODE=90°,0A=AB=BC=CD=DE=1次连结能组成直角三角形的是(C)【综合拓展类作业】5.如图①是某品牌婴儿车，图②为其简化结构示意图，现测得AB=CD=60cm,BC=30cm,AD=90cm,其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连结(即∠ABD=90°),根标准需满足BC⊥CD,通过计算说明该车是否符合安全标准.1②解：∵∠ABD=90°,AB=60cm,AD=90cm,∴BC²+CD²=BD²,∴△BCD是直角三角形，且∠BCD=90°,∴BC⊥CD.∴该车符合安全标准.教学反