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文档简介
全微分方程
如果P(x,y)dx+Q(x,y)dy恰好是某一个函数u=u(x,y)的全微分:
du(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy,那么方程P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0就叫做全微分方程.
上页下页铃结束返回首页下页全微分方程全微分方程的判定下页
如果P(x
y)dx
Q(x
y)dy是某个函数u
u(x
y)的全微分
du(x
y)
P(x
y)dx
Q(x
y)dy
那么方程P(x
y)dx
Q(x
y)dy
0就叫做全微分方程
若P(x
y)、Q(x
y)在单连通域G内具有一阶连续偏导数
且则方程P(x
y)dx
Q(x
y)dy
0是全微分方程
全微分方程的通解下页
若方程P(x
y)dx
Q(x
y)dy
0是全微分方程
则其通解为
若方程P(x
y)dx
Q(x
y)dy
0是全微分方程
且
du(x
y)
P(x
y)dx
Q(x
y)dy
则u(x
y)
C就是方程的通解
全微分方程的通解公式
提示
例1
求解(5x4+3xy2-y3)dx+(3x2y-3xy2+y2)dy=0
解
这里P=5x4+3xy2-y3
Q=3x2y-3xy2+y2
且所以这是全微分方程
其通解为
下页积分因子
例2求方程ydx-xdy=0的积分因子并求其通解
因为
解
下页
若存在一函数
(x
y)
(
(x
y)
0)
使方程
(x
y)P(x
y)dx
(x
y)Q(x
y)dy
0是全微分方程
则函数
(x
y)叫做方程P(x
y)dx
Q(x
y)dy
0的积分因子
因为
故所给方程的通解为
例3
求方程(1+xy)ydx+(1-xy)xdy=0的积分因子并求其通解
解
积分得通解
将方程的各项重新合并
得(ydx
xdy)
xy(ydx
xdy)
0,再把它改写成
用积分因子乘以方程
方变为下页一阶线性方程的积分因子
可以验证是一阶线性方程y
P(x)y
Q(x)的一个积分因子
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