北京市第四中学2021-2022学年九上期中试卷（解析版）

2021-2022学年度第一学期初三年级期中测试（数学学科）本试卷共8页，共28道题，满分100分，考试时间120分．一、选择题（本题共16分，每小题2分）1.抛物线y＝﹣（x+1）2﹣2的对称轴是（）A.x＝1 B.x＝﹣1 C.x＝2 D.x＝﹣2【答案】B【解析】【分析】由y＝a（x﹣h）2+k的对称轴是直线x＝h可得答案．【详解】解：抛物线y＝﹣（x+1）2﹣2的对称轴是直线x＝﹣1，故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的顶点式，熟知二次函数顶点式为，顶点坐标为，对称轴为直线．2.如图，点A、B、C在⊙O上，∠ACB＝43°，则∠AOB的度数是（）A.83° B.84° C.86° D.87°【答案】C【解析】【分析】圆周角定理：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半，根据圆周角定理即可得出答案．【详解】解：∵∠ACB＝43°，∴∠AOB＝2∠ACB＝86°，故选：C．【点睛】本题考查的是圆周角定理，掌握圆周角定理求解圆心角或圆周角是解题的关键.3.⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为6，则直线l与⊙O的位置关系是（）A.相交 B.相切 C.相离 D.无法确定【答案】C【解析】【详解】已知⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为6，因6＞5，即d＜r，所以直线l与⊙O的位置关系是相离.故选C4.将二次函数的图象向左平移1个单位，再向下平移5个单位，得到的函数图象的表达式是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．【详解】解：将二次函数的图象向左平移1个单位，再向下平移5个单位，得到的函数图象的表达式是：．故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，熟知函数图象平移变换的法则是解答此题的关键．5.下列一元二次方程中，没有实数根的是（）A.x12=5 B. C.x24x10 D.3x25x2【答案】B【解析】【分析】分别计算这四个方程的根的判别式的值，再根据根的判别式的意义直接进行判断即可．【详解】解：A.化为一般形式为，，该方程有两个不相等的实数根，不符合题意；B.化为一般形式为，，该方程没有实数根，符合题意；C.，，该方程有两个不相等的实数根，不符合题意；D.，化为一般形式为，，该方程有两个不相等的实数根，不符合题意．故选：B【点睛】本题主要考查了根的判别式的运用，熟练掌握一元二次方程跟的判别式是解答此题的关键，（1）当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；（2）当时，一元二次方程有两个相等的实数根；（3）当时，一元二次方程没有实数根．6.如图，点A，B，C均在上，当时，的度数是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先在优弧AC上取点D，连接AD，CD，首先求出∠AOC，然后由圆周角定理，求得∠ADC的度数，再由圆的内接四边形的性质，可求得∠B的度数．【详解】解：如图，在优弧AC上取点D，连接AD，CD，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=40°，∴∠AOC=180°-40°×2=100°，∴∠ADC=∠AOC=50°，∴∠B=180°-50°=130°，故选C．【点睛】此题考查了圆周角定理以及圆的内接四边形的性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．7.已知二次函数的部分图象如图所示，则使得函数值大于的自变量的取值可以是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用抛物线的对称性确定抛物线与（0，2）的对称点，然后根据函数图象写出抛物线在直线y=2上方所对应的自变量的范围即可．【详解】解：∵由图象可得抛物线的对称轴为x=-1.5，

∴点（0，2）关于直线x=-1.5的对称点为（-3，2），

当-3＜x＜0时，y＞2，

即当函数值y＞2时，自变量x的取值范围是-3＜x＜0．

故选：B．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象与性质，数形结合是解题的关键．8.已知⊙O，如图，（1）作⊙O的直径AB；（2）以点A为圆心，AO长为半径画弧，交⊙O于C，D两点；（3）连接CD交AB于点E，连接AC，BC．根据以上作图过程及所作图形，有下面三个推断：①；②；③．其中正确的推断的个数是（）A.0个 B.1个 C.2个 D.3个【答案】D【解析】【分析】①根据作图过程可得，根据垂径定理可判断；②连接OC，根据作图过程可证得△AOC为等边三角形，由等边三角形的性质即可判断；③根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半即可判断．【详解】解：①∵以点A为圆心，AO长为半径画弧，交⊙O于C，D两点，∴，根据垂径定理可知，AB⊥CE，CE=DE，∴①正确；②连接OC，∵AC=OA=OC，∴△AOC为直角三角形，∵AB⊥CE，∴AE=OE，∴BE=BO+OE=3AE，∴②正确；③∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∵∠CAB=60°，∴∠ABC=30°，∴BC=2CE，∴③正确，故选：D．【点睛】本题考查了垂径定理、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质，理解基本作图知识，熟练掌握各基本性质和综合运用是解答的关键．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9.已知是关于的一元二次方程的一个根，则___________【答案】【解析】【分析】把x=-1代入方程x2+kx-3=0得1-k-3=0，然后解关于k的方程．【详解】解：把x=-1代入方程x2+kx-3=0得1-k-3=0，解得k=-2．

故答案为-2．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．10.在半径为1cm的圆中，圆心角为120°的扇形的弧长是_____cm．【答案】【解析】【详解】知道半径，圆心角，直接代入弧长公式即可求得扇形的弧长：11.二次函数的最大值为_______．【答案】【解析】【分析】将二次函数化为顶点式，即可求解．【详解】将解析式配方成顶点式为：．所以当时，函数有最大值．故答案：．【点睛】本题考查了二次函数的最大值，熟练掌握配方法求二次函数的最值是解题的关键．12.已知二次函数的图象与轴只有一个交点．请写出一组满足条件的的值：__________，_________________【答案】①.②.【解析】【分析】根据判别式的意义得到△=b2-4a=0，然后a取一个不为0的实数，再确定对应的b的值．【详解】解：∵二次函数y=ax2+bx+1（a≠0）的图象与x轴只有一个交点，

∴△=b2-4a=0，

若a=1，则b可取2．

故答案为1，2（答案不唯一）．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．13.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，7），点B的坐标为（0，3），点C的坐标为（3，0），那么△ABC的外接圆的圆心坐标为____．【答案】(5，5)【解析】【分析】分别作出三角形任意两边的垂直平分线得到圆心的位置，进而得出答案．【详解】∵B(0，3)，C(3，0)，∴在网格中，BC可以看作边长为3的正方形的对角线，根据网格特征及正方形对角线互相垂直平分，分别作出AB、BC的垂直平分线，交于点E，则点E即为外接圆的圆心，如图所示，∵A(0，7)，B(0，3)，∴点E纵坐标为5，∴由图可得，E(5，5)．故答案为：(5，5)．【点睛】本题考查了坐标与图形，三角形的外接圆与外心，熟练掌握定义及性质是解题的关键．14.在⊙O中，弦AB所对圆心角为140°，则弦AB所对的圆周角的度数是___________．【答案】70°或110°【解析】【分析】根据圆周角定理计算即可．【详解】如图，当角的顶点在优弧上时，∠ADB=∠AOB=70°；当角的顶点在劣弧上时，∠ACB=180°-∠ADB=110°；故答案为：70°或110°．【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握定理，并灵活分类计算是解题的关键．15.京西某游乐园的摩天轮采用了国内首创的横梁结构，风格更加简约．如图，摩天轮直径88米，最高点A距离地面100米，匀速运行一圈的时间是18分钟．由于受到周边建筑物的影响，乘客与地面的距离超过34米时，可视为最佳观赏位置，在运行的一圈里最佳观赏时长为___________分钟．【答案】12【解析】【分析】先计算出圆的底端距离地面的距离为12，从而得到圆的底部到弦的距离为22，从而计算出弦所对的圆心角，用弧长公式计算劣弧的长，周长减去劣弧的长得到最佳观赏路径长，除以运动速度即可．【详解】如图所示，根据题意，得OC=44，CD=AD-AC=100-88=12，ED=34，∴CE=ED-CD=34-12=22，∴OE=OC-CE=44-22=22，在直角三角形OEF中，sin∠OFE=，∴∠OFE=30°，∴∠FOE=60°，∴∠FOB=120°，∴，∵圆转动的速度为，∴最佳观赏时长为（分钟），故答案为：12．【点睛】本题考查了垂径定理，弧长公式，特殊角的三角函数，熟练掌握弧长公式，灵活运用特殊角的三角函数是解题的关键．16.如图，AH是正三角形ABC中BC边上的高，在点A，C处各有一只电子乌龟P和Q同时起步以相同的速度分别沿AH，CA向前匀速爬动．确定当两只电子乌龟到B点距离之和PB+QB最小时，∠PBQ的度数=___________．【答案】【解析】【分析】设，，过Q作，证明，表示出，再利用函数的性质求出对称点的坐标进行求解即可；【详解】根据速度相同设，，过Q作，∵是等边三角形，AH是BC边上的高，∴假设，则，，，，∵，∴，∴，∴，，，∴，可将式子看作是x轴上的某点到，的距离之和，作关于x轴的对称点，连接和两点，交x轴于点M，M就是随求对称点，设直线，将和两点代入得：，解得，∴，∴，∴，∴，，，，∴，，,∴，∴；故答案是：．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，一次函数的解析式求解，轴对称的性质和三角函数的应用，准确计算是解题的关键．三、解答题（本题共68分）17.解方程（1）x25x60；（2）4x26x10．【答案】（1），；（2），．【解析】【分析】（1）原方程运用因式分解法求解即可；（2）原方程运用公式法求解即可．【详解】解：（1）x25x60∴，；（2）4x26x10∴∴，．【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解答本题的关键．18.已知一次函数y1kxn与二次函数的图象都经过（1，-2），（3，2）两点．（1）请你求出一次函数，二次函数的表达式；（2）结合图象，请直接写出当x取何值时，y1>y2．【答案】（1），；（2）．【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可求出各函数表达式；（2）根据（1）所求表达式画出图象．再由一次函数图象在二次函数图象上方时，即，即可直接写出x的取值范围．【详解】（1）∵一次函数和二次函数的图象都经过(1，-2)、(3，2)，∴对于有，对于有，解得：，．∴一次函数表达式为，二次函数表达式为．（2）根据题意可画图象如下：点(1，-2)和(3，2)即为两个函数图象的交点，要使，即一次函数图象在二次函数图象上方即可，∴．【点睛】本题为一次函数和二次函数综合题．利用待定系数法求函数解析式是解答本题的关键．19.下面是小元设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程．已知：如图，⊙O及⊙O上一点P．求作：过点P的⊙O的切线．作法：如图，作射线OP；①在直线OP外任取一点A，以A为圆心，AP为半径作⊙A，与射线OP交于另一点B；②连接并延长BA与⊙A交于点C；③作直线PC；则直线PC即为所求．根据小元设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明：证明：∵BC是⊙A的直径，∴∠BPC=90°（填推理依据）．∴OP⊥PC．又∵OP是⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线（填推理依据）．【答案】（1）见解析；（2）直径所对的圆周角是直角；过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线【解析】【分析】（1）根据题意作出图形即可；（2）根据圆周角定理得到∠BPC=90°，根据切线的判定定理即可得到结论．【详解】解：（1）补全图形如图所示，则直线PC即为所求；（2）证明：∵BC是⊙A的直径，∴∠BPC=90°（圆周角定理），∴OP⊥PC．又∵OP是⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线（切线的判定）．故答案为：圆周角定理；切线的判定．【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，正确的作出图形是解题的关键．20.已知x2x50，求代数式x12x2x2的值．【答案】7【解析】【分析】根据题意可得：，再利用平方差公式和完全平方公式化简，再将代入，即可求解．【详解】解：∵x2x50，∴，∴．【点睛】本题主要考查了整式混合运算，灵活运用平方差公式和完全平方公式解答是解题的关键．21.如图，已知CD为⊙O的直径，点A，B在⊙O上，AB⊥CD于点E，连接OB，CE=1，AB=10，求⊙O的半径．【答案】13【解析】【分析】设OB=x，则OE=x-1，在直角三角形OBE中，根据勾股定理计算即可．【详解】设OB=x，则OE=x-1，∵CD为⊙O的直径，AB⊥CD，AB=10，∴AE=EB=5，在直角三角形OBE中，根据勾股定理得：，解得x=13，故圆的半径为13．【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理，灵活运用勾股定理是解题的关键．22.如图所示，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位时，AB宽20m，水位上升到警戒线CD时，CD到拱桥顶E的距离仅为1m，这时水面宽度为10m.(1)在如图所示的坐标系中求抛物线的解析式；(2)若洪水到来时，水位以每小时0.3m的速度上升，从正常水位开始，持续多少小时到达警戒线？【答案】（1）y=-x2（2）从正常水位开始，持续10小时到达警戒线【解析】【分析】（1）首先设所求抛物线的解析式为：y=ax2（a≠0），再根据题意得到C（-5，-1），利用待定系数法即可得到抛物线解析式；（2）根据抛物线解析式计算出A点坐标，进而得到F点坐标，然后计算出EF的长，再算出持续时间即可．【详解】解：（1）设所求抛物线的解析式为y＝ax2.∵CD＝10m，CD到拱桥顶E的距离仅为1m，∴C(－5，－1)．把点C的坐标代入y＝ax2，得a＝－，故抛物线的解析式为y＝－x2.（2）∵AB宽20m，∴可设A(－10，b)．把点A的坐标代入抛物线的解析式y＝－x2中，解得b＝－4，∴点A的坐标为(－10，－4)．设AB与y轴交于点F，则F(0，－4)，∴EF＝3m.∵水位以每小时0.3m的速度上升，∴3÷0.3＝10(时)．答：从正常水位开始，持续10小时到达警戒线．【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，关键是正确得到C点坐标，求出抛物线解析式．23.第二十四届冬季奥林匹克运动会将于2022年2月4日至2月20日在北京举行，石景山区作为北京冬奥组委机关驻地和冬奥会滑雪大跳台赛事场地，将迎来作为“双奥之区”的高光时刻．随着冬奥会的脚步越来越近，石景山教育系统大力普及青少年冰雪运动项目和知识，越来越多的青少年走向冰场、走进雪场、了解冰雪运动知识．某校在距离冬奥会开幕倒计时300天之际开展了一次冬奥知识答题竞赛，七、八年级各有200名学生参加了本次活动，为了解两个年级的答题情况，从两个年级各随机抽取了20名学生的成绩进行调查分析，过程如下（数据不完整）．收集数据七年级66707178717875785863908085808985868087八年级616574707174747663918580848783828086整理、描述数据成绩/分数七年级成绩统计情况八年级成绩统计情况频数频率频数频率10.0500201030.1560.30100.5010.0510.05（说明：成绩80分及以上为优秀，60~79分为合格，60分以下为不合格）分析数据两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：年级平均数中位数众数七年级77.57980八年级77.474请根据所给信息，解答下列问题：（1）__________，__________，__________；（2）在此次竞赛中，小冬的成绩在七年级能排在前，在八年级只能排在后，那么估计小冬的成绩可能是；（3）估计七年级和八年级此次测试成绩优秀的总人数为．【答案】（1）80；0.45；80；（2）79；（3）210人．【解析】【分析】（1）从七年级的样本数据看，78和80的频数都是3，而已知众数是80，所以可以确定a的值；根据频率的计算公式即可求出m的值；将八年级的样本数据从小到大排列后，再从表中观察，分布在的频数是10，可判断数据b、c都在此分布之内，所以可求n的值；(2)从表中七、八年级的成绩分布即可加以判断；（3）确定样本中两个年级达到优秀的人数，可得样本中优秀人数所占的百分比，然后用样本估计总体即可解决问题．【详解】解：（1）∵七年级学生成绩的众数是80，∴a=80．∴七年级成绩分布在频数是9．∴．∵八年级成绩分布在的频数是10，∴数据b、c都在此分布之内．∴n=．故答案为：80；0.45；80．（2）∵小冬的成绩在七年级能排在前50%，∴从七年级的频数分布判断，小冬的成绩至少是79分．又∵小冬的成绩在八年级只能排在后50%，∴从八年级的频数分布判断，小冬的成绩至多是79分．∴小冬的成绩是79分．故答案为：79．（3）由（1）可知，抽取的七年级达到优秀的人数为9+1=10，又∵抽取的八年级达到优秀人数为10+1=11，∴抽取的七、八年级达到优秀的人数为：10+11=21．∵七、八年级各有200名学生参加了活动，∴估计两个年级达到优秀的总人数约为：．故答案为：210．【点睛】本题考查了众数、中位数、平均数、用样本估计总体等知识点．熟知众数、中位数、平均数的定义是解题的基础；从表格中提取相关解题信息是关键．24.有这样一个问题：探究函数的图象与性质．小丽根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小丽的探究过程，请补充完整：（1）函数的自变量x的取值范围是_______．（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，画出了函数的部分图象，用描点法将这个函数的图象补充完整；（3）对于上面的函数，下列四个结论：①函数图象关于y轴对称；②函数既有最大值，也有最小值；③当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小；④函数图象与x轴有2个公共点．所有正确结论的序号是_____．（4）结合函数图象，解决问题：若关于x的方程有4个不相等的实数根，则k的取值范围是____．【答案】（1）x为任意实数；（2）见解析；（3）①③；（4）【解析】【分析】（1）根据函数解析式可以写出x的取值范围；

（2）根据函数图象的特点，可以得到该函数关于y轴对称，从而可以画出函数的完整图象；

（3）根据函数图象可以判断各个小题中的结论是否成立；

（4）根据函数图象，可以写出关于x的方程x2-4|x|+3=k有4个不相等的实数根时，k的取值范围．【详解】解：（1）∵函数y=x2-4|x|+3，

∴x的取值范围为任意实数，

故答案为：任意实数；

（2）由函数y=x2-4|x|+3可知，x＞0和x＜0时的函数图象关于y轴对称，函数图象如右图所示；

（3）由图象可得，

函数图象关于y轴对称，故①正确；

函数有最小值，但没有最大值，故②错误；

当x＞2时，y随x的增大而增大，当x＜-2时，y随x的增大而减小，故③正确；

函数图象与x轴有4个公共点，故④错误；

故答案为：①③；

（4）由图象可得，

关于x的方程x2-4|x|+3=k有4个不相等的实数根，则k的取值范围是-1＜k＜3，

故答案为：-1＜k＜3．【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．25.如图，内接于半圆，是直径，过作直线，使，（1）求证：是半圆的切线；（2）作弧的中点，连结交于，过作于，交于．（尺规作图，并保留作图痕迹），并求证：．（3）若，，求．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）1【解析】【分析】（1）根据圆周角定理得到，再证明，然后根据切线的判定定理得到结论；（2）作的垂直平分线交于点，利用基本作图作，利用圆周角定理得到，然后证明得到；（3）连接交于，如图，根据垂径定理，利用点为的中点得到，，易得，接着证明得到，然后计算即可．【详解】解：（1）证明：为直径，，，，，即，，是半圆的切线，（2）证明：如图，点为的中点，，，，，，，；（3）解：连接交于，如图，点为的中点，，，，在和中，，，，．【点睛】本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆周角定理、切线的判定与性质．26.已知二次函数yxmnxm2，点A（x1，y1），B（x2，y2）是其图象上的两点，其中x1<x2．（1）当n=4时，①求抛物线的对称轴；②若y1<y2，求x1+x2的取值范围；（2）当x1+x2>3时，y1<y2，请直接写出n的取值范围．【答案】（1）①；②；（2）【解析】【分析】（1）①把函数解析式化为一般式代入求值即可；②根据函数图像的性质判断即可；（2）根据对称轴是和函数图像判断即可；【详解】（1）①∵yxmnxm2，∴，当n=4时，，∴；②由①得，抛物线的对称轴是，∵x1<x2，y1<y2，∴当和在对称轴两边时，到对称轴的距离小于到对称轴的距离，∴，解得；当和在对称轴右侧时，；∴；（2）由（1）可得：，∵x1<x2，y1<y2，x1+x2>3，∴当和在对称轴两边时，，∴，当和在对称轴右侧时，；综上所述：．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象性质，准确分析判断是解题的关键．27.在等边中，，，垂足为D，点E为AB边上一点，点F为直线BD上一点，连接EF．（1）将线段EF绕点E逆时针旋转60°得到线段EG，连接FG．①如图1，当点E与点B重合，且GF的延长线过点C时，连接DG，求线段DG的长；②如图2，点E不与点A，B重合，GF的延长线交BC边于点H，连接EH，求证：；（2）如图3，当点E为AB中点时，点M为BE中点，点N在边AC上，且，点F从BD中点Q沿射线QD运动，将线段EF绕点E顺时针旋转60°得到线段EP，连接FP，当最小时，直接写出的面积．【答案】（1）①；②见解析；（2）【解析】【分析】（1）①连接AG，根据题意得出△ABC和△GEF均为等边三角形，从而可证明△GBC≌△GAC，进一步求出AD＝3，AG＝BG＝，然后利用勾股定理求解即可；②以点F为圆心，FB的长为半径画弧，与BH的延长线交于点K，连接KF，先证明出△BFK是顶角为120°的等腰三角形，然后推出△FEB≌△FHK，从而得出结论即可；（2）利用“胡不归”模型构造出含有30°角的直角三角形，构造出，当N、P、J三点共线的时候满足条件，然后利用等边三角形的性质及判定、矩形的判定及性质以及解直角三角形的知识分别计算出PN与DN的长度，即可得出结论．【详解】（1）解：①如图所示，连接AG，由题意可知，△ABC和△GEF均为等边三角形，∴∠GFB＝60°，∵BD⊥AC，∴∠FBC＝30°，∴∠FCB＝30°，∠ACG＝30°，∵AC＝BC，GC＝GC，∴△GBC≌△GAC（SAS），∴∠GAC＝∠GBC＝90°，AG＝BG，∵AB＝6，∴AD＝3，AG＝BG＝，∴在Rt△ADG中，，∴；②证明：以点F为圆心，FB的长为半径画弧，与BH的延长线交于点K，连接KF，如图，∵△ABC和△GEF均为等边三角形，∴∠ABC＝60°，∠EFH＝120°，∴∠BEF+∠BHF＝180°，∵∠BHF+∠KHF＝180°，∴∠BEF＝∠KHF，由辅助线作法可知，FB＝FK，则∠K＝∠FBE，∵BD是等边△ABC的高，∴∠K＝∠DBC＝∠DBA＝30°，∴∠BFK＝120°，在△FEB与△FHK中，∴△FEB≌△FHK（AAS），∴BE＝KH，∴BE+BH＝KH+BH＝BK，∵FB＝FK，∠BFK＝120°，∴BK＝BF，即：；（2）方法一：以为顶点，为一边，作，交于，过作于，设交于，如图：中，，最小即是最小，此时、、共线，将线段绕点顺时针旋转得到线段，在射线上运动，则在射线上运动，根据“瓜豆原理”，为主动点，是从动点，为定点，，则、轨迹的夹角，，，，，，，，，而，，四边形是矩形，，边中，，，，又，，等边中，，点为中点时，点为中点，，，中，，，，，中，，，．方法二：如图，连接EQ，∵在等边中，，，∴∠A＝60°，∠BDA＝90°，∠ABD＝30°，∵点E、Q分别为AB、BD的中点，∴EQ为△ABD的中位线，∴EQAD，∴∠BEQ＝∠A＝60°，∠BQE＝∠BDA＝90°，∵∠BQE＝90°，∠ABD＝30°，∴EQ＝，∵点M为BE的中点，∴ME＝＝EQ，∵将线段EF绕点E顺时针旋转60°得到线段EP，∴△EPF为等边三角形，∠PEF＝60°，PE＝EF＝PF，∴∠BEQ＝∠PEF，∴∠BEQ－∠PEQ＝∠PEF－∠PEQ，即∠MEP＝∠QEF，在△MEP与△QEF中，，∴△MEP≌△QEF（SAS）∴∠EMP＝∠EQF＝90°，∴MP⊥BE，∴点P在射线MP上运动，如图，以为顶点，为一边，作，交于，过作于，设交于，则在中，，最小即最小，此时、、共线，如下图：∵∠EMP＝90°，∠PML＝30°，，，，，又∵，，四边形是矩形，，等边中，，，，又，，在等边中，，点为中点时，点为中点，，，∴在中，，，，，∴在中，，，．【点睛】本题考查等边三角形性质及应用，涉及旋转变换、解直角三角形、三角形全等的判定及性质、矩形的判定及性质等知识，难度较大，解题的关键是构造辅助线．28.对于点C和给定的⊙O，给出如下定义：若⊙O上存在点B，使点C绕点B旋转90°的对应点A在⊙O上，此时△ABC是以点B为直角顶点的等腰直角三角形，则称点C为⊙O的等直顶点．若O是坐标原点，⊙O的半径为2（1）在点P（0，0），Q（2，0），R（5，0），S（，0）中，可以作为⊙O的等直顶点的是哪个点？（2）若点P为⊙O的"等直顶点"，且点P在直线yx上，求点P的横坐标的取值范围；（3）设⊙C的圆心C在x轴