2024年教师资格之中学数学学科知识与教学能力考前冲刺模拟试卷（含答案）

2024年教师资格之中学数学学科知识与教学能力考前冲刺模拟试卷（含答案）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.设函数$f(x)=\frac{1}{x^24}$，则$f(x)$的定义域是（）A.$(\infty,2)\cup(2,+\infty)$B.$(2,2)$C.$(\infty,2]\cup[2,+\infty)$D.$[2,2]$答案：A解析：要使函数$f(x)=\frac{1}{x^24}$有意义，则分母$x^24\neq0$，即$(x+2)(x2)\neq0$，解得$x\neq2$且$x\neq2$，所以函数的定义域为$(\infty,2)\cup(2,+\infty)$。2.已知向量$\overrightarrow{a}=(1,2)$，$\overrightarrow{b}=(x,1)$，若$\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b}$，则$x$的值为（）A.2B.2C.$\frac{1}{2}$D.$\frac{1}{2}$答案：B解析：因为$\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b}$，根据向量垂直的性质，若两个向量$\overrightarrow{m}=(x_1,y_1)$，$\overrightarrow{n}=(x_2,y_2)$垂直，则$\overrightarrow{m}\cdot\overrightarrow{n}=x_1x_2+y_1y_2=0$。所以$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=1\timesx+2\times(1)=0$，即$x2=0$，解得$x=2$。3.下列矩阵中，可逆的是（）A.$\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}$B.$\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$C.$\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}$D.$\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$答案：B解析：对于二阶矩阵$\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$，其可逆的充要条件是行列式$adbc\neq0$。选项A：$\begin{vmatrix}1&0\\0&0\end{vmatrix}=1\times00\times0=0$，不可逆。选项B：$\begin{vmatrix}0&1\\1&0\end{vmatrix}=0\times01\times1=1\neq0$，可逆。选项C：$\begin{vmatrix}1&1\\1&1\end{vmatrix}=1\times11\times1=0$，不可逆。选项D：$\begin{vmatrix}0&0\\0&0\end{vmatrix}=0$，不可逆。4.若函数$y=f(x)$在区间$[a,b]$上连续，且$f(a)\cdotf(b)\lt0$，则（）A.函数$y=f(x)$在区间$[a,b]$上一定有零点B.函数$y=f(x)$在区间$[a,b]$上一定没有零点C.函数$y=f(x)$在区间$[a,b]$上可能有零点D.以上说法都不正确答案：A解析：根据零点存在定理，如果函数$y=f(x)$在区间$[a,b]$上的图象是连续不断的一条曲线，并且有$f(a)\cdotf(b)\lt0$，那么函数$y=f(x)$在区间$(a,b)$内有零点，即函数$y=f(x)$在区间$[a,b]$上一定有零点。5.设$\{a_n\}$是等差数列，$a_1=2$，$a_3+a_5=10$，则$a_7$等于（）A.5B.8C.10D.14答案：B解析：因为$\{a_n\}$是等差数列，根据等差数列的性质：若$m,n,p,q\inN^+$，且$m+n=p+q$，则$a_m+a_n=a_p+a_q$，所以$a_3+a_5=a_1+a_7$。已知$a_1=2$，$a_3+a_5=10$，则$2+a_7=10$，解得$a_7=8$。6.已知直线$l_1:2x+y1=0$，$l_2:x2y+2=0$，则$l_1$与$l_2$的位置关系是（）A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.重合答案：B解析：直线$l_1:2x+y1=0$的斜率$k_1=2$，直线$l_2:x2y+2=0$可化为$y=\frac{1}{2}x+1$，其斜率$k_2=\frac{1}{2}$。因为$k_1k_2=2\times\frac{1}{2}=1$，所以两直线垂直。7.下面哪个不是数学课程标准所提出的课程目标领域（）A.知识与技能B.过程与方法C.情感态度与价值观D.数学思考答案：B解析：数学课程标准提出的课程目标领域包括知识与技能、数学思考、问题解决、情感态度与价值观。“过程与方法”不是数学课程标准所提出的课程目标领域。8.在数学教学中，运用“问题链”引导学生进行探究学习，主要体现了哪种教学原则（）A.直观性原则B.启发性原则C.巩固性原则D.循序渐进原则答案：B解析：启发性原则是指在教学中教师要承认学生是学习的主体，注意调动他们的学习主动性，引导他们独立思考，积极探索，生动活泼地学习。运用“问题链”引导学生进行探究学习，正是通过一系列问题启发学生思考，体现了启发性原则。二、简答题（本大题共5小题，每小题7分，共35分）9.简述数学教学中如何培养学生的创新意识。答案：营造创新氛围：教师要营造宽松、和谐、民主的课堂氛围，鼓励学生积极思考、大胆质疑，允许学生发表不同的见解和想法，让学生在没有压力的环境中自由地探索和创新。例如，在课堂上对于学生提出的独特想法，给予及时的肯定和鼓励。设计开放性问题：开放性问题具有答案不唯一、解题策略多样化等特点，能够激发学生的创新思维。教师可以设计一些开放性的数学问题，让学生从不同的角度去思考和解决问题。比如，给出一个实际生活中的场景，让学生自己提出数学问题并解决。鼓励自主探究：让学生自主探究数学知识的形成过程，经历观察、实验、猜测、推理等活动，培养学生的自主学习能力和创新能力。例如，在学习三角形内角和定理时，让学生通过剪拼、测量等方法自主探究三角形内角和的度数。开展数学活动：组织数学建模、数学竞赛等活动，让学生在活动中综合运用所学知识，发挥自己的创新能力。比如，开展数学建模活动，让学生解决实际生活中的数学问题，如优化方案、预测趋势等。培养批判性思维：引导学生对所学知识进行反思和质疑，培养学生的批判性思维。例如，在讲解数学定理和公式时，让学生思考其适用范围和局限性。10.求函数$y=\sin^2x+2\cosx3$的值域。答案：首先，利用三角函数的平方关系$\sin^2x=1\cos^2x$，将函数$y=\sin^2x+2\cosx3$进行转化：$y=1\cos^2x+2\cosx3=\cos^2x+2\cosx2$令$t=\cosx$，因为$\cosx\in[1,1]$，所以$t\in[1,1]$，则函数可化为$y=t^2+2t2$。对于二次函数$y=t^2+2t2$，其二次项系数$a=1\lt0$，图象开口向下，对称轴为$t=\frac{b}{2a}=\frac{2}{2\times(1)}=1$。当$t=1$时，$y$取得最大值，$y_{max}=1^2+2\times12=1$。当$t=1$时，$y=(1)^2+2\times(1)2=122=5$。所以函数$y=\sin^2x+2\cosx3$的值域为$[5,1]$。11.已知向量$\overrightarrow{a}=(3,4)$，$\overrightarrow{b}=(2,x)$，$\overrightarrow{c}=(2,y)$，且$\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{c}$，求$x$和$y$的值。答案：因为$\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow{b}$，对于两个向量$\overrightarrow{m}=(x_1,y_1)$，$\overrightarrow{n}=(x_2,y_2)$，若$\overrightarrow{m}\parallel\overrightarrow{n}$，则$x_1y_2x_2y_1=0$。已知$\overrightarrow{a}=(3,4)$，$\overrightarrow{b}=(2,x)$，所以$3x2\times(4)=0$，即$3x+8=0$，解得$x=\frac{8}{3}$。因为$\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{c}$，根据向量垂直的性质，若两个向量$\overrightarrow{m}=(x_1,y_1)$，$\overrightarrow{n}=(x_2,y_2)$垂直，则$\overrightarrow{m}\cdot\overrightarrow{n}=x_1x_2+y_1y_2=0$。已知$\overrightarrow{a}=(3,4)$，$\overrightarrow{c}=(2,y)$，所以$3\times2+(4)y=0$，即$64y=0$，解得$y=\frac{3}{2}$。综上，$x=\frac{8}{3}$，$y=\frac{3}{2}$。12.简述数学文化的内涵，并举例说明数学文化在中学数学教学中的渗透。答案：数学文化是指数学的思想、精神、方法、观点、语言，以及它们的形成和发展；还包括数学在人类生活、科学技术、社会发展中的贡献和意义，以及与数学相关的人文活动。在中学数学教学中渗透数学文化可以从以下几个方面进行：数学史的渗透：在讲解勾股定理时，可以介绍勾股定理的历史，如中国古代的《周髀算经》中就有“勾三股四弦五”的记载，古希腊数学家毕达哥拉斯也对勾股定理进行了深入研究。通过介绍数学史，让学生了解数学知识的起源和发展，感受数学文化的源远流长。数学美欣赏：数学中存在着许多美，如对称美、简洁美、和谐美等。在学习几何图形时，让学生欣赏正多边形、圆等图形的对称美；在学习公式时，让学生感受数学公式的简洁美，如欧拉公式$e^{i\pi}+1=0$，它将数学中最重要的几个常数$e$、$i$、$\pi$、$1$、$0$联系在一起，体现了数学的和谐美。数学应用实例：通过介绍数学在实际生活中的应用，让学生体会数学的价值。比如，在学习统计知识时，可以让学生了解统计在市场调查、人口普查等方面的应用；在学习函数知识时，让学生用函数模型解决实际生活中的优化问题，如成本最小化、利润最大化等。数学思想方法渗透：在教学过程中，渗透数学思想方法，如归纳、类比、演绎、化归等。例如，在学习三角形内角和定理时，通过将三角形内角和问题转化为平角问题，渗透化归思想。13.已知数列$\{a_n\}$的前$n$项和$S_n=2n^2+3n$，求数列$\{a_n\}$的通项公式。答案：当$n=1$时，$a_1=S_1=2\times1^2+3\times1=2+3=5$。当$n\geq2$时，$a_n=S_nS_{n1}$$=(2n^2+3n)[2(n1)^2+3(n1)]$$=2n^2+3n(2(n^22n+1)+3n3)$$=2n^2+3n(2n^24n+2+3n3)$$=2n^2+3n2n^2+4n23n+3$$=4n+1$。当$n=1$时，$4\times1+1=5=a_1$，上式也成立。所以数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n=4n+1$，$n\inN^+$。三、解答题（本大题1小题，10分）14.设函数$f(x)=\lnxax+1$，$a\inR$。（1）讨论函数$f(x)$的单调性；（2）若$f(x)\leq0$在$(0,+\infty)$上恒成立，求$a$的取值范围。答案：（1）函数$f(x)=\lnxax+1$的定义域为$(0,+\infty)$，对$f(x)$求导得$f^\prime(x)=\frac{1}{x}a=\frac{1ax}{x}$。当$a\leq0$时，因为$x\gt0$，所以$1ax\gt0$，即$f^\prime(x)\gt0$，所以$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增。当$a\gt0$时，令$f^\prime(x)=0$，即$\frac{1ax}{x}=0$，解得$x=\frac{1}{a}$。当$0\ltx\lt\frac{1}{a}$时，$1ax\gt0$，$f^\prime(x)\gt0$，$f(x)$单调递增；当$x\gt\frac{1}{a}$时，$1ax\lt0$，$f^\prime(x)\lt0$，$f(x)$单调递减。综上，当$a\leq0$时，$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增；当$a\gt0$时，$f(x)$在$(0,\frac{1}{a})$上单调递增，在$(\frac{1}{a},+\infty)$上单调递减。（2）因为$f(x)\leq0$在$(0,+\infty)$上恒成立，即$\lnxax+1\leq0$在$(0,+\infty)$上恒成立，等价于$a\geq\frac{\lnx+1}{x}$在$(0,+\infty)$上恒成立。令$g(x)=\frac{\lnx+1}{x}$，对$g(x)$求导得$g^\prime(x)=\frac{\frac{1}{x}\cdotx(\lnx+1)}{x^2}=\frac{\lnx}{x^2}$。令$g^\prime(x)=0$，即$\frac{\lnx}{x^2}=0$，解得$x=1$。当$0\ltx\lt1$时，$\lnx\gt0$，$g^\prime(x)\gt0$，$g(x)$单调递增；当$x\gt1$时，$\lnx\lt0$，$g^\prime(x)\lt0$，$g(x)$单调递减。所以$g(x)$在$x=1$处取得最大值，$g(1)=\frac{\ln1+1}{1}=1$。所以$a\geq1$，即$a$的取值范围是$[1,+\infty)$。四、论述题（本大题1小题，15分）15.论述数学教学中如何实现“四基”目标。答案：“四基”即基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验。在数学教学中实现“四基”目标可以从以下几个方面入手：基础知识教学准确把握教材内容：教师要深入研究教材，明确教材中所包含的数学基础知识，如概念、定理、公式等。例如，在讲解函数概念时，要准确把握函数的定义、定义域、值域、对应法则等关键要素。采用多样化教学方法：运用讲解法、演示法、讨论法等多种教学方法，帮助学生理解和掌握基础知识。比如，在讲解几何图形的性质时，可以通过实物演示、多媒体展示等方式，让学生直观地感受图形的特点。注重知识的系统性：将所学知识纳入到一个完整的知识体系中，让学生了解知识之间的内在联系。例如，在学习代数知识时，要让学生明白方程、函数、不等式之间的关系。基本技能训练明确技能目标：根据教学大纲和教材要求，明确学生需要掌握的基本技能，如运算技能、推理技能、绘图技能等。例如，在学习有理数运算时，要让学生熟练掌握加、减、乘、除、乘方等运算规则。有针对性地训练：设计有针对性的练习题，让学生通过练习来提高基本技能。例如，为了提高学生的运算技能，可以设计一些混合运算的练习题，让学生进行反复训练。及时反馈与纠正：在学生练习过程中，及时给予反馈和纠正，让学生了解自己的不足之处并加以改进。例如，对于学生在运算中出现的错误，要及时指出错误原因，并指导学生正确的运算方法。基本思想渗透结合教学内容渗透：在教学过程中，结合具体的教学内容渗透数学思想，如分类讨论思想、数形结合思想、函数与方程思想等。例如，在学习绝对值的概念时，可以渗透分类讨论思想；在学习函数知识时，渗透函数与方程思想。引导学生思考：通过问题引导学生思考，让学生在思考过程中体会数学思想的应用。例如，在解决实际问题时，引导学生建立数学模型，运用数学思想来解决问题。总结归纳思想方法：在教学结束时，对所学知识中所蕴含的数学思想方法进行总结归纳，让学生加深对数学思想方法的理解和掌握。基本活动经验积累开展数学活动：组织数学实验、数学探究、数学建模等活动，让学生在活动中积累基本活动经验。例如，开展数学实验活动，让学生通过动手操作来探究数学规律。鼓励学生参与：鼓励学生积极参与数学活动，让学生在活动中亲身体验和感受。例如，在数学探究活动中，让学生自主提出问题、解决问题，培养学生的探究能力和创新能力。反思与交流：活动结束后，组织学生进行反思和交流，让学生分享自己在活动中的收获和体会，进一步积累基本活动经验。五、案例分析题（本大题1小题，20分）16.以下是一位教师在讲解“一元二次方程的解法——配方法”的教学片段：教师首先给出方程$x^2+6x+4=0$，让学生尝试求解。学生1：“我想用因式分解法，但是这个方程好像不能因式分解。”教师：“很好，那我们换一种思路。观察方程$x^2+6x+4=0$，我们可以把它变形为$x^2+6x=4$。”教师接着在黑板上写出：$x^2+6x+9=4+9$，即$(x+3)^2=5$。教师：“现在我们把方程转化成了一个完全平方式，接下来怎么求解呢？”学生2：“可以用直接开平方法，得到$x+3=\pm\sqrt{5}$。”教师：“非常棒，那$x$的值是多少呢？”学生2：“$x=3\pm\sqrt{5}$。”教师：“很好，这就是我们今天要学习的配方法。下面我们总结一下配方法的步骤。”然后教师在黑板上写下配方法的步骤：1.移项：把常数项移到等号右边；2.配方：在等号两边加上一次项系数一半的平方；3.变形：将方程左边写成完全平方式；4.求解：用直接开平方法求解方程。教师又给出了几个方程让学生练习，如$x^24x3=0$，$2x^2+8x1=0$等。问题：（1）请分析该教师的教学过程是否符合新课程理念，为什么？（2）在教学过程中，教师是如何引导学生学习配方法的？（3）对于教师给出的练习方程$2x^2+8x1=0$，学生可能会遇到什么困难，教师应如何引导？答案：（1）该教师的教学过程基本符合新课程理念，原因如下：注重学生的主体地位：教师首先让学生尝试求解方程$x^2+6x+4=0$，给予学生自主探究的机会，让学生在尝试过程中发现问题，然后引导学生解决问题，体现了以学生为主体的教学理念。问题引导式教学：通过一系列问题引导学生思考，如“这个方程好像不能因式分解，那我们换一种思路”“现在我们把方程转化成了一个完全平方式，接下来怎么求解呢”等，激发学生的思维，培养学生的探究能力。及时反馈与评价：对学生的回答给予及时的肯定和鼓励，如“很好”“非常棒”等，增强了学生的学习信心。总结归纳：在讲解完配方法后，及时总结配方法的步骤，帮助学生梳理知识，形成系统的知识体系。但也存在一些不足之处，例如在教学过程中，教师的引导略显生硬，对于配方法的原理讲解不够深入，学生可能只是机械地记住了配方法的步骤，而没有真正理解为什么要这样做。（2）教师引导学生学习配方法的过程如下：提出问题：给出方程$x^2+6x+4=0$，让学生尝试用已学的因式分解法求解，当学生发现不能因式分解时，引导学生换一种思路。逐步引导变形：教师将方程变形为$x^2+6x=4$，然后在等号两边加上一次项系数一半的平方，即$x^2+6x+9=4+9$，将方程左边写成完全平方式$(x+3)^2=5$。启发思考求解：通过提问“现在我们把方程转化成了一个完全平方式，接下来怎么求解呢”，启发学生用直接开平方法求解方程。总结步骤：在学生求解出方程的解后，总结配方法的步骤，让学生明确配方法的一般流程。（3）对于方程$2x^2+8x1=0$，学生可能会遇到以下困难：二次项系数不为1：学生习惯了二次项系数为1的方程，对于二次项系数不为1的方程，不知道如何进行配方。计算复杂：在配方过程中，涉及到分数运算，如一次项系数一半的平方，计算可能会出现错误。教师可以这样引导：系数化为1：引导学生将方程两边同时除以二次项系数2，得到$x^2+4x\frac{1}{2}=0$，然后再按照配方法的步骤进行求解。强调计算方法：在配方过程中，强调一次项系数一半的平方的计算方法，如对于方程$x^2+4x\frac{1}{2}=0$，一次项系数为4，一半为2，平方为4，在等号两边加上4进行配方。鼓励学生尝试：鼓励学生大胆尝试，让学生自己动手计算，在计算过程中发现问题并及时解决。六、教学设计题（本大题1小题，30分）17.请根据以下教学内容设计一份教案。教学内容：三角形中位线定理教学目标：1.理解三角形中位线的概念，掌握三角形中位线定理。2.通过探究三角形中位线定理的过程，培养学生的观察、推理、归纳等能力。3.体会数学知识之间的内在联系，感受数学的严谨性和应用价值。教学重难点：1.重点：三角形中位线的概念和三角形中位线定理。2.难点：三角形中位线定理的证明。教学方法：讲授法、探究法、讨论法教学过程：答案：《三角形中位线定理》教案一、教学目标1.理解三角形中位线的概念，掌握三角形中位线定理。2.通过探究三角形中位线定理的过程，培养学生的观察、推理、归纳等能力。3.体会数学知识之间的内在联系，感受数学的严谨性和应用价值。二、教学重难点1.重点：三角形中位线的概念和三角形中位线定理。2.难点：三角形中位线定理的证明。三、教学方法讲授法、探究法、讨论法四、教学过程（一）导入新课（5分钟）展示生活中一些含有三角形中位线的实例图片，如桥梁的桁架结构、自行车的车架等，让学生观察图片中的三角形，并思考：在这些三角形中，连接两边中点的线段有什么特点和作用呢？引导学生回顾三角形中线的概念，提问：如果连接三角形两边的中点，得到的线段与中线有什么不同？从而引出三角形中位线的概念。（二）讲授新课（20分钟）1.三角形中位线的概念给出三角形中位线的定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。让学生在自己准备的三角形纸片上画出三角形的中位线，观察一个三角形有几条中位线。引导学生对比三角形中位线和中线的区别，明确中位线是连接两边中点的线段，而中线是连接一个顶点和它对边中点的线段。2.探究三角形中位线定理让学生在纸上任意画一个三角形，然后画出它的一条中位线，测量中位线的长度和第三边的长度，并测量中位线与第三边的夹角，记录数据。组织学生分组讨论，观察测量的数据，猜想三角形中位线与第三边有什么关系。教师引导学生进行归纳总结，提出猜想：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。3.证明三角形中位线定理教师引导学生分析证明思路，启发学生思考如何将三角形中位线问题转化为已学过的知识来解决。给出已知条件和求证内容：已知：在$\triangleABC$中，$D$、$E$分别是$AB$、$AC$的中点。求证