2024年教师资格之中学数学学科知识与教学能力押题练习试卷（附答案）

2024年教师资格之中学数学学科知识与教学能力押题练习试卷（附答案）单项选择题1.设函数$f(x)=\frac{1}{x1}$，则$f(x)$的间断点是（）A.$x=0$B.$x=1$C.$x=1$D.无间断点答案：B。函数$f(x)=\frac{1}{x1}$，当$x1=0$即$x=1$时，函数无定义，所以$x=1$是其间断点。2.已知向量$\overrightarrow{a}=(1,2)$，$\overrightarrow{b}=(3,m)$，若$\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow{b}$，则$m$的值为（）A.3B.6C.3D.6答案：B。两向量$\overrightarrow{a}=(x_1,y_1)$，$\overrightarrow{b}=(x_2,y_2)$平行，则$x_1y_2x_2y_1=0$。已知$\overrightarrow{a}=(1,2)$，$\overrightarrow{b}=(3,m)$，由$\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow{b}$可得$1\timesm3\times2=0$，即$m6=0$，解得$m=6$。3.已知等差数列$\{a_n\}$中，$a_3+a_7=10$，则该数列前9项和$S_9$等于（）A.45B.35C.25D.15答案：A。在等差数列中，若$m+n=p+q$，则$a_m+a_n=a_p+a_q$。所以$a_1+a_9=a_3+a_7=10$，根据等差数列前$n$项和公式$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$，可得$S_9=\frac{9(a_1+a_9)}{2}=\frac{9\times10}{2}=45$。4.下列哪个是高中数学课程的选择性必修课程内容（）A.函数B.几何与代数C.概率与统计D.数学建模活动与数学探究活动答案：C。高中数学课程分为必修课程、选择性必修课程和选修课程。函数、几何与代数是必修课程内容，概率与统计是选择性必修课程内容，数学建模活动与数学探究活动贯穿于必修、选择性必修和选修课程。5.数学教学中，“三维目标”指的是（）A.知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观B.知识、技能、能力C.基础知识、基本技能、基本思想D.数学抽象、逻辑推理、数学建模答案：A。数学教学中的“三维目标”是知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观。简答题1.简述数学归纳法的步骤。答案：数学归纳法是一种用于证明与自然数$n$有关的命题$P(n)$的方法，其步骤如下：第一步：归纳奠基验证当$n$取第一个值$n_0$（$n_0\inN^$）时命题成立。这是递推的基础，只有当这个初始情况成立时，后续的递推才有意义。第二步：归纳递推假设当$n=k$（$k\geqn_0$，$k\inN^$）时命题$P(k)$成立，在此假设的基础上，证明当$n=k+1$时命题$P(k+1)$也成立。这一步是递推的依据，通过从$k$到$k+1$的推导，建立起命题之间的递推关系。完成这两个步骤后，就可以断定命题$P(n)$对于从$n_0$开始的所有正整数$n$都成立。2.简述如何培养学生的数学思维能力。答案：培养学生的数学思维能力可以从以下几个方面入手：创设问题情境：教师通过创设生动有趣、富有启发性的问题情境，引导学生积极思考，激发学生的好奇心和求知欲，让学生在解决问题的过程中锻炼思维能力。例如在讲解三角形内角和定理时，让学生通过测量不同三角形的内角并求和，发现规律，进而思考如何证明。注重知识形成过程：教学中不能只注重结论的记忆，而要引导学生经历知识的形成过程。比如在学习等差数列通项公式时，让学生通过观察数列的特点，自己推导通项公式，这样可以培养学生的归纳、类比和逻辑推理能力。鼓励学生自主探究与合作交流：给予学生足够的时间和空间进行自主探究，让他们自己去发现问题、分析问题和解决问题。同时组织学生进行合作交流，在交流中分享不同的思路和方法，拓宽思维视野。例如在探究函数的性质时，学生分组讨论，从不同角度分析函数的单调性、奇偶性等。加强数学思想方法的渗透：数学思想方法是数学的灵魂，如函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等。在教学中要适时渗透这些思想方法，让学生学会运用思想方法解决数学问题，提高思维的灵活性和深刻性。例如在解决不等式问题时，运用数形结合思想，将不等式转化为函数图象的位置关系来求解。进行多样化的练习：设计不同类型、不同难度层次的练习题，包括基础题、拓展题和探究题等。让学生通过练习巩固所学知识，同时培养思维的敏捷性、准确性和创造性。例如在学习立体几何时，通过做不同类型的证明题和计算题，提高空间想象能力和逻辑推理能力。解答题1.已知函数$f(x)=x^33x^2+2$，求：（1）函数$f(x)$的单调区间；（2）函数$f(x)$在区间$[1,3]$上的最大值和最小值。答案：（1）首先对函数$f(x)=x^33x^2+2$求导，根据求导公式$(X^n)^\prime=nX^{n1}$，可得$f^\prime(x)=3x^26x$。令$f^\prime(x)=0$，即$3x^26x=0$，提取公因式$3x$得$3x(x2)=0$，解得$x=0$或$x=2$。当$x\in(\infty,0)$时，$f^\prime(x)=3x(x2)>0$，所以函数$f(x)$在$(\infty,0)$上单调递增；当$x\in(0,2)$时，$f^\prime(x)=3x(x2)<0$，所以函数$f(x)$在$(0,2)$上单调递减；当$x\in(2,+\infty)$时，$f^\prime(x)=3x(x2)>0$，所以函数$f(x)$在$(2,+\infty)$上单调递增。故函数$f(x)$的单调递增区间为$(\infty,0)$和$(2,+\infty)$，单调递减区间为$(0,2)$。（2）由（1）可知函数$f(x)$在$x=0$处取得极大值，在$x=2$处取得极小值。计算$f(0)=0^33\times0^2+2=2$，$f(2)=2^33\times2^2+2=812+2=2$。再计算区间端点的值，$f(1)=(1)^33\times(1)^2+2=13+2=2$，$f(3)=3^33\times3^2+2=2727+2=2$。比较$f(1)=2$，$f(0)=2$，$f(2)=2$，$f(3)=2$的大小，可得函数$f(x)$在区间$[1,3]$上的最大值为$2$，最小值为$2$。论述题论述在数学教学中如何运用数学文化提升学生的数学素养。答案：在数学教学中运用数学文化提升学生的数学素养可以从以下几个方面入手：引入数学史，激发学习兴趣数学史是数学文化的重要组成部分，通过讲述数学概念、定理的起源和发展过程，让学生了解数学知识的来龙去脉。例如在讲解勾股定理时，可以介绍古代中国、古希腊等不同文明对勾股定理的发现和证明，让学生感受数学跨越时空的魅力。这不仅能激发学生的学习兴趣，还能让学生明白数学是人类智慧的结晶，增强他们对数学的认同感和自豪感。渗透数学思想方法数学文化中蕴含着丰富的数学思想方法，如公理化思想、类比思想、归纳思想等。在教学中，教师可以结合具体的教学内容，渗透这些思想方法。例如在学习立体几何时，类比平面几何的研究方法，引导学生从平面图形的性质类比推测空间图形的性质，通过这样的类比活动，让学生体会类比思想，提高他们的逻辑推理能力和知识迁移能力。开展数学文化活动组织数学文化活动可以为学生提供一个更加广阔的学习平台。比如举办数学文化节，开展数学建模比赛、数学趣味竞赛、数学文化讲座等活动。在数学建模比赛中，学生需要运用所学的数学知识解决实际问题，这不仅能提高他们运用数学知识的能力，还能培养他们的创新意识和团队合作精神。数学文化讲座可以邀请专家学者介绍数学在科学、艺术、经济等领域的应用，拓宽学生的视野，让学生了解数学的广泛用途。挖掘数学美，培养审美能力数学中存在着丰富的美，如对称美、简洁美、和谐美等。在教学中，教师可以引导学生发现数学美。例如在学习函数图象时，让学生观察正弦函数、余弦函数图象的对称性，感受数学的对称美；在学习欧拉公式$e^{i\pi}+1=0$时，体会数学的简洁美与和谐美。通过挖掘数学美，培养学生的审美能力，让学生从欣赏数学美到热爱数学，进而提高数学素养。结合数学文化进行教学评价在教学评价中融入数学文化的元素，不仅关注学生的知识技能掌握情况，还关注学生对数学文化的理解和应用。例如在考试中可以设计一些与数学史、数学思想方法相关的题目，考察学生对数学文化的了解程度；评价学生的数学作业时，不仅看答案的正确性，还关注学生解题思路的创新性和对数学文化的体现。通过这样的评价方式，引导学生重视数学文化的学习，促进学生数学素养的全面提升。案例分析题以下是某教师在讲解“直线与圆的位置关系”时的教学片段：教师：同学们，我们之前学习了直线和圆的方程，今天来研究直线与圆的位置关系。大家先想一想，在生活中，你能想到哪些直线与圆的位置关系的例子呢？学生甲：汽车的轮胎在地面上滚动，轮胎可以看成圆，地面可以看成直线，它们之间有不同的位置关系。教师：非常好，甲同学举了一个很生动的例子。那大家再思考一下，我们如何用数学的方法来判断直线与圆的位置关系呢？学生乙：可以通过比较圆心到直线的距离$d$和圆的半径$r$的大小来判断。教师：乙同学回答得很准确。那我们就来具体推导一下这个判断方法。接着教师在黑板上进行推导，得出结论：当$d>r$时，直线与圆相离；当$d=r$时，直线与圆相切；当$d<r$时，直线与圆相交。然后教师给出几个具体的直线和圆的方程，让学生计算圆心到直线的距离，判断直线与圆的位置关系。请根据上述教学片段，回答以下问题：1.该教师的教学过程中运用了哪些教学方法？2.该教学过程体现了哪些数学核心素养？3.请对该教师的教学过程进行简要评价。答案：1.该教师的教学过程中运用了以下教学方法：问题引导法：教师通过提出问题，如“在生活中，你能想到哪些直线与圆的位置关系的例子呢？”“我们如何用数学的方法来判断直线与圆的位置关系呢？”引导学生积极思考，激发学生的学习兴趣和主动性，逐步引导学生探索新知识。讲授法：在推导判断直线与圆位置关系的方法时，教师在黑板上进行推导，向学生系统地传授知识，让学生理解和掌握判断直线与圆位置关系的理论依据。练习法：教师给出几个具体的直线和圆的方程，让学生计算圆心到直线的距离，判断直线与圆的位置关系，通过练习巩固所学知识，提高学生运用知识解决问题的能力。2.该教学过程体现了以下数学核心素养：直观想象：教师引导学生从生活中汽车轮胎与地面的例子，抽象出直线与圆的位置关系，让学生在直观的情境中感受数学问题，培养了学生的直观想象能力，使学生能够将实际问题转化为数学模型。逻辑推理：在推导判断直线与圆位置关系的方法时，教师通过严谨的逻辑推导，得出当$d>r$、$d=r$、$d<r$时直线与圆不同的位置关系，让学生经历了逻辑推理的过程，提高了学生的逻辑推理能力。数学运算：在让学生计算圆心到直线的距离，判断直线与圆的位置关系的练习中，学生需要进行具体的数学运算，这培养了学生的数学运算能力，使学生能够准确、快速地进行数学计算，解决实际问题。3.对该教师教学过程的简要评价：优点：注重情境创设：通过让学生联系生活实际，举例说明直线与圆的位置关系，将数学知识与生活紧密联系起来，能够激发学生的学习兴趣，提高学生学习的积极性，让学生感受到数学在生活中的广泛应用。问题引导有效：教师通过一系列问题引导学生思考，逐步引导学生探索判断直线与圆位置关系的方法，培养了学生的思维能力和自主探究能力。教学环节完整：教学过程包括问题引入、知识推导和练习巩固，环节完整，符合学生的认知规律，能够让学生较好地理解和掌握所学知识。不足及建议：学生参与度可进一步提高：在推导判断方法时，主要是教师在黑板上进行推导，可以让学生更多地参与到推导过程中，例如让学生分组讨论，尝试自己推导，这样可以更好地培养学生的探究能力和合作精神。拓展不够：在学生掌握了判断直线与圆位置关系的基本方法后，可以进一步拓展，如让学生思考直线与圆位置关系在实际生活中的其他应用，或者改变条件，探究更复杂的直线与圆的位置关系问题，以加深学生对知识的理解和应用。教学设计题请设计一节“一元二次不等式的解法”的教学方案，包括教学目标、教学重难点、教学方法、教学过程等。答案：一、教学目标知识与技能目标学生能够理解一元二次不等式的概念，掌握一元二次不等式的解法，能够熟练求解一元二次不等式。过程与方法目标通过探究一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系，培养学生的逻辑推理能力和数形结合思想；通过求解一元二次不等式的过程，提高学生的运算能力和分析问题、解决问题的能力。情感态度与价值观目标让学生体会数学知识之间的内在联系，感受数学的严谨性和应用价值，激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探索的精神。二、教学重难点教学重点一元二次不等式的概念；一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系；一元二次不等式的解法。教学难点理解一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系，并运用这种关系求解一元二次不等式；对含参数的一元二次不等式的求解。三、教学方法讲授法、讨论法、探究法、练习法相结合。四、教学过程（一）导入新课（5分钟）通过实际生活中的问题引入，如某商场销售某种商品，已知该商品的进价为每件$40$元，当售价为每件$60$元时，每星期可卖出$300$件，现需降价处理，且经市场调查：每降价$1$元，每星期可多卖出$20$件。设每件商品降价$x$元，每星期的利润为$y$元，若要使每星期的利润不低于$6120$元，求$x$的取值范围。引导学生列出不等式$(20x)(300+20x)\geq6120$，整理得$20x^2100x+120\leq0$，即$x^25x+6\leq0$，从而引出一元二次不等式的概念。（二）讲解新课（20分钟）1.给出一元二次不等式的定义：形如$ax^2+bx+c>0$（或$\geq0$，$<0$，$\leq0$）（$a\neq0$）的不等式叫做一元二次不等式。2.探究一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系让学生先画出二次函数$y=x^25x+6$的图象，然后求出方程$x^25x+6=0$的根$x_1=2$，$x_2=3$。引导学生观察二次函数图象，思考当$y>0$，$y=0$，$y<0$时，$x$的取值范围分别是什么。通过讨论得出：一元二次不等式$x^25x+6>0$的解集就是二次函数$y=x^25x+6$图象在$x$轴上方部分对应的$x$的取值范围；一元二次不等式$x^25x+6<0$的解集就是二次函数$y=x^25x+6$图象在$x$轴