2023-2024学年北京市海淀区八年级（上）期末数学试卷（含解析）

第1页（共1页）2023-2024学年北京市海淀区八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共24分，每小题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1．（3分）榫卯是中国建筑的智慧结晶，仅靠木头之间的相互作用力就可以让建筑或家具牢固、美观．下列榫卯拼接截面示意图中，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．（3分）杭州亚运会主火炬以零碳甲醇作为燃料，在亚运史上首次实现废碳再生、循环内零碳排放．甲醇的密度很小，1cm3甲醇的质量约为0.00079kg，将0.00079用科学记数法表示应为（）A．79×10﹣4 B．7.9×10﹣4 C．79×10﹣5 D．0.79×10﹣33．（3分）下列运算中，正确的是（）A．（a2）3＝a8 B．（﹣3a）2＝6a2 C．a2•a3＝a5 D．a9÷a3＝a34．（3分）如图，点E，C，F，B在一条直线上，AB∥ED，∠A＝∠D，添加下列条件不能判定△ABC≌△DEF的是（）A．AC∥DF B．AB＝DE C．EC＝BF D．AC＝DF5．（3分）正多边形的一个外角的度数为72°，则这个正多边形的边数为（）A．4 B．5 C．6 D．76．（3分）如图是折叠凳及其侧面示意图，若AC＝BC＝18cm，则折叠凳的宽AB可能为（）A．70cm B．55cm C．40cm D．25cm7．（3分）下列各式从左到右变形正确的是（）A． B． C． D．8．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，P是△ABC内一点，点D，E，F分别是点P关于直线AC，AB，BC的对称点，给出下面三个结论：①AE＝AD；②∠DPE＝90°；③∠ADC+∠BFC+∠BEA＝270°．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是．10．（2分）分解因式：a3﹣ab2＝．11．（2分）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，﹣1）关于x轴的对称点A′的坐标为．12．（2分）计算：（6a3﹣9a2）÷3a2＝．13．（2分）已知一个等腰三角形的一个内角为40°，则它的顶角等于．14．（2分）如图，在△ABC中，DE是BC边的垂直平分线．若AB＝8，AC＝13，则△ABD的周长为．15．（2分）把一张长方形纸片沿对角线折叠，使折叠后的图形如图所示．若∠BAC＝35°，则∠CBD＝°．16．（2分）请阅读关于“乐数”的知识卡片，并回答问题：乐数我们将同时满足下列条件的分数称为“乐数”a．分子和分母均为正整数；b．分子小于分母；c．分子、分母均为两位数，且分子的个位数字与分母的十位数字相同；d．去掉分子的个位数字与分母的十位数字后，得到的分数与原来的分数相等．例如：去掉相同的数字6之后，得到的分数恰好与原来的分数相等，则是一个“乐数“．（1）判断：（填“是”或“不是”）“乐数”；（2）写出一个分子的个位数字与分母的十位数字同为9的“乐数”．三、解答题（本题共60分，第17题5分，第18题10分，第19-23题每题5分，第24题6分，第25、26题每题7分）17．（5分）计算：．18．（10分）（1）已知x2+2x﹣2＝0，求代数式x（x﹣2）+（x+3）2的值．（2）计算：．19．（5分）小明用自制工具测量花瓶内底的宽．他将两根木条AC，BD的中点连在一起（即AO＝CO，BO＝DO），如图所示放入花瓶内底．此时，只需测量点与点之间的距离，即为该花瓶内底的宽，请证明你的结论．20．（5分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°．在线段AC上求作一点D．使得．小明发现作∠ABC的平分线交AC于点D，点D即为所求．（1）使用直尺和圆规，依小明的思路作出点D（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：∵∠A＝30°，∠C＝90°，∴∠ABC＝°．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝，∴∠ABD＝∠A．∴AD＝．在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，∴（）（填推理依据）．∴．21．（5分）如图所示的4×4网格是正方形网格，顶点是网格线交点的三角形称为格点三角形．如图1，△ABC为格点三角形．（1）∠ABC＝°；（2）在图2和图3中分别画出一个以点C1，C2为顶点，与△ABC全等，且位置互不相同的格点三角形．22．（5分）列方程解应用题：无人配送以其高效、安全、低成本等优势，正在成为物流运输行业的新趋势．某物流园区使用1辆无人配送车平均每天配送的包裹数量是1名快递员平均每天配送包裹数量的5倍．要配送6000件包裹，使用1辆无人配送车所需时间比4名快递员同时配送所需时间少2天，求1名快递员平均每天可配送包裹多少件？23．（5分）如图，四边形ABCD中，AB＝AC，∠D＝90°，BE⊥AC于点F，交CD于点E，连接EA，EA平分∠DEF．（1）求证：AF＝AD；（2）若BF＝7，DE＝3，求CE的长．24．（6分）小明设计了一个净水装置，将杂质含量为n的水用m单位量的净水材料过滤一次后，水中的杂质含量为．利用此净水装置，小明进行了进一步的探究：现有杂质含量为1的水．（1）用2单位量的净水材料将水过滤一次后，水中杂质含量为；（2）小明共准备了6a单位量的净水材料，设计了如下的三种方案：方案A是将6a单位量的净水材料一次性使用，对水进行过滤；方案B和方案C均为将6a单位量的净水材料分成两份，对水先后进行两次过滤．三种方案的具体操作及相关数据如下表所示：方案编号第一次过滤用净水材料的单位量水中杂质含量第二次过滤用净水材料的单位量第二次过滤后水中杂质含量A6a//B5aaC4a2a①请将表格中方案C的数据填写完整；②通过计算回答：在这三种方案中，哪种方案的最终过滤效果最好？（3）当净水材料总量为6a单位量不变时，为了使两次过滤后水中的杂质含量最少，小明应将第一次净水材料用量定为（用含a的式子表示）．25．（7分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，作直线AP，使得45°＜∠PAC＜90°．过点B作BD⊥AP于D，在DA的延长线上取点E，使DE＝BD．连接BE，CE．（1）依题意补全图形；（2）若∠ABD＝α，求∠CBE（用含α的式子表示）；（3）用等式表示线段AE，CE，DE之间的数量关系，并证明．26．（7分）在平面直角坐标系xOy中，直线l过原点且经过第三、第一象限，l与x轴所夹锐角为n°．对于点P和x轴上的两点M，N，给出如下定义：记点P关于直线l的对称点为Q，若点Q的纵坐标为正数，且△MNQ为等边三角形，则称点P为M，N的n°点．（1）如图1，若点M（2，0），N（4，0），点P为M，N的45°点，连接OP，OQ．①∠POQ＝°；②求点P的纵坐标；（2）已知点M（m，0），N（m+t，0）．①当t＝2时，点P为M，N的60°点，且点P的横坐标为﹣2，则m＝；②当m＝﹣2时，点P为M，N的30°点，且点P的横坐标为2，则t＝．

2023-2024学年北京市海淀区八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共24分，每小题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1．（3分）榫卯是中国建筑的智慧结晶，仅靠木头之间的相互作用力就可以让建筑或家具牢固、美观．下列榫卯拼接截面示意图中，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【解答】解：A，B，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；C选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．故选：C．【点评】本题考查了轴对称图形的概念，熟知轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合是解题的关键．2．（3分）杭州亚运会主火炬以零碳甲醇作为燃料，在亚运史上首次实现废碳再生、循环内零碳排放．甲醇的密度很小，1cm3甲醇的质量约为0.00079kg，将0.00079用科学记数法表示应为（）A．79×10﹣4 B．7.9×10﹣4 C．79×10﹣5 D．0.79×10﹣3【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.00079＝7.9×10﹣4．故选：B．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3．（3分）下列运算中，正确的是（）A．（a2）3＝a8 B．（﹣3a）2＝6a2 C．a2•a3＝a5 D．a9÷a3＝a3【分析】根据幂的乘方法则，积的乘方法则，同底数幂的乘法和除法法则逐项计算，即可判断．【解答】解：（a2）3＝a6，故A计算错误，不符合题意；（﹣3a）2＝9a2，故B计算错误，不符合题意；a2•a3＝a2+3＝a5，故C计算正确，符合题意；a9÷a3＝a6，故D计算错误，不符合题意．故选：C．【点评】本题考查幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘法和除法．熟练掌握各运算法则是解题关键．4．（3分）如图，点E，C，F，B在一条直线上，AB∥ED，∠A＝∠D，添加下列条件不能判定△ABC≌△DEF的是（）A．AC∥DF B．AB＝DE C．EC＝BF D．AC＝DF【分析】利用平行线的性质可得∠E＝∠B，然后利用全等三角形的判定方法，逐一判断即可解答．【解答】解：∵AB∥ED，∴∠E＝∠B，A、∵AC∥DF，∴∠ACB＝∠DFE，∵∠A＝∠D，∠E＝∠B，∴△ABC和△DEF不一定全等，故A符合题意；B、∵∠A＝∠D，AB＝DE，∠E＝∠B，∴△ABC≌△DEF（ASA），故B不符合题意；C、∵EC＝BF，∴EC+CF＝BF+CF，∴EF＝BC，∵∠A＝∠D，∠E＝∠B，∴△ABC≌△DEF（AAS），故C不符合题意；D、∵∠A＝∠D，∠E＝∠B，AC＝DF，∴△ABC≌△DEF（AAS），故D不符合题意；故选：A．【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．5．（3分）正多边形的一个外角的度数为72°，则这个正多边形的边数为（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】正多边形的外角和是360°，这个正多边形的每个外角相等，因而用360°除以外角的度数，就得到外角和中外角的个数，外角的个数就是多边形的边数．【解答】解：∵正多边形的外角和是360°，∴360÷72＝5，那么它的边数是5．故选：B．【点评】本题考查了多边形的内角与外角．根据正多边形的外角和求多边形的边数是常用的一种方法，需要熟记．6．（3分）如图是折叠凳及其侧面示意图，若AC＝BC＝18cm，则折叠凳的宽AB可能为（）A．70cm B．55cm C．40cm D．25cm【分析】根据三角形的三边关系即可得到结论．【解答】解：∵AC＝BC＝18cm，∴0＜AB＜36，∴折叠凳的宽AB可能为25cm，故选：D．【点评】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．7．（3分）下列各式从左到右变形正确的是（）A． B． C． D．【分析】利用分式的性质逐项判断即可．【解答】解：＝，则A不符合题意；与不一定相等，则B不符合题意；＝＝，则C符合题意；＝，则D不符合题意；故选：C．【点评】本题考查分式的性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．8．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，P是△ABC内一点，点D，E，F分别是点P关于直线AC，AB，BC的对称点，给出下面三个结论：①AE＝AD；②∠DPE＝90°；③∠ADC+∠BFC+∠BEA＝270°．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【分析】连接AP，CP，BP，根据轴对称的性质得AC，AB，BC分别为PD，PE，PF的垂直平分线，再根据垂直平分线的性质得AD＝AP，AE＝AP，CD＝CP，即可判断①③，根据∠BAC＝90°，可得四边形AMPN为矩形，即可判断②．【解答】解：如图，连接AP，CP，BP，∵点D，E，F分别是点P关于直线AC，AB，BC的对称点，∴AC，AB，BC分别为PD，PE，PF的垂直平分线，∴AD＝AP，AE＝AP，∴AE＝AD，故①正确；∵AC，AB分别为PD，PE的垂直平分线，∠BAC＝90°，∴四边形AMPN为矩形，∴∠DPE＝90°，故②正确；∵AC为PD的垂直平分线，∴AD＝AP，CD＝CP，∴∠ADP＝∠APD，∠CDP＝∠CPD，∴∠ADC＝∠APC，同理得∠BFC＝∠BPC，∠BEA＝∠APB，∵∠APC+∠BPC+∠APB＝360°，∴∠ADC+∠BFC+∠BEA＝360°，故③错误；故选：A．【点评】本题考查了轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是关键．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是x≠1．【分析】根据分母不为零的条件进行解题即可．【解答】解：∵代数式有意义，∴x﹣1≠0，解得x≠1．故答案为：x≠1．【点评】本题考查分式有意义的条件，掌握分母不为零的条件是解题的关键．10．（2分）分解因式：a3﹣ab2＝a（a+b）（a﹣b）．【分析】首先提取公因式a，进而利用平方差公式分解因式得出答案．【解答】解：a3﹣ab2＝a（a2﹣b2）＝a（a+b）（a﹣b）．故答案为：a（a+b）（a﹣b）．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．11．（2分）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，﹣1）关于x轴的对称点A′的坐标为（﹣1，1）．【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可以直接得到答案．【解答】解：在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，﹣1）关于x轴的对称点A′的坐标为（﹣1，1）．故答案为：（﹣1，1）．【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的坐标特点，关键是掌握坐标的变化规律：（1）关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变；（3）关于原点对称点的坐标特点：横、纵坐标均互为相反数．12．（2分）计算：（6a3﹣9a2）÷3a2＝2a﹣3．【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．【解答】解：（6a3﹣9a2）÷3a2＝2a﹣3．故答案为：2a﹣3．【点评】此题主要考查了整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．13．（2分）已知一个等腰三角形的一个内角为40°，则它的顶角等于40°或100°．【分析】分两种情况：当40°的内角为顶角时；当40°的角为底角时，利用三角形的内角和结合等腰三角形的性质可计算求解．【解答】解：当40°的内角为顶角时，这个等腰三角形的顶角为40°；当40°的角为底角时，则该等腰三角形的另一底角为40°，∴顶角为：180°﹣40°﹣40°＝100°，故答案为40°或100°．【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，注意分类讨论．14．（2分）如图，在△ABC中，DE是BC边的垂直平分线．若AB＝8，AC＝13，则△ABD的周长为21．【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DB＝DC，再根据三角形的周长公式计算，得到答案．【解答】解：∵DE是BC边的垂直平分线，∴DB＝DC，∴△ABD的周长＝AB+AD+DB＝AB+AD+DC＝AB+AC，∵AB＝8，AC＝13，∴△ABD的周长＝8+13＝21，故答案为：21．【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．15．（2分）把一张长方形纸片沿对角线折叠，使折叠后的图形如图所示．若∠BAC＝35°，则∠CBD＝20°．【分析】由折叠可知∠BAE＝∠BAC＝35°，∠C＝∠E＝90°，由长方形形的性质可得FB∥AE，再利用平行线的性质可得∠FBA＝∠BAE，利用直角三角形两锐角互余可求出∠CBA的度数，进而求出∠CBD的度数．【解答】解：如图，由折叠可知∠BAE＝∠BAC＝35°，∠C＝∠E＝90°，∴∠CBA＝90°﹣∠BAC＝90°﹣35°＝55°，又∵BF∥AE，∴∠DBA＝∠BAE＝35°，∴∠CBD＝∠CBA﹣∠DBA＝55°﹣∠35°＝20°．故答案为：20．【点评】此题主要考查的是折叠角的问题以及平行线的性质，解决此题的关键折叠时折痕是角平分线，同时正确利用平行线的性质．16．（2分）请阅读关于“乐数”的知识卡片，并回答问题：乐数我们将同时满足下列条件的分数称为“乐数”a．分子和分母均为正整数；b．分子小于分母；c．分子、分母均为两位数，且分子的个位数字与分母的十位数字相同；d．去掉分子的个位数字与分母的十位数字后，得到的分数与原来的分数相等．例如：去掉相同的数字6之后，得到的分数恰好与原来的分数相等，则是一个“乐数“．（1）判断：不是（填“是”或“不是”）“乐数”；（2）写出一个分子的个位数字与分母的十位数字同为9的“乐数”．【分析】（1）依据“乐数”的定义进行判断即可．（2）按题意写出符合要求的“乐数”即可．【解答】解：（1）由题知，去掉分数的分子和分母中的3，所得到的分数为，而，且，所以不是“乐数”．故答案为：不是．（2）因为分数的分子的个位数字与分母的十位数字同为9，则当分子为19时，因为分母的十位数字为9，所以19×5＝95，且．而把分数的分子和分母中的9去掉后，得到的分数为，符合要求．故答案为：．【点评】本题考查整式的加减，理解“乐数”的定义是解题的关键．三、解答题（本题共60分，第17题5分，第18题10分，第19-23题每题5分，第24题6分，第25、26题每题7分）17．（5分）计算：．【分析】先根据有理数乘方的法则、绝对值的性质、零指数幂及负整数指数幂的运算法则分别计算出各数，再根据有理数的加减法则进行计算即可．【解答】解：＝9﹣1+2+2＝12．【点评】本题考查的是负整数指数幂、有理数乘方的法则、绝对值的性质、零指数幂的运算法则，熟知以上知识是解题的关键．18．（10分）（1）已知x2+2x﹣2＝0，求代数式x（x﹣2）+（x+3）2的值．（2）计算：．【分析】（1）由x2+2x﹣2＝0，得x2+2x＝2，把所求式子化简后再代入即可；（2）先算括号内的，把除化为乘，再约分即可．【解答】解：（1）∵x2+2x﹣2＝0，∴x2+2x＝2，∴x（x﹣2）+（x+3）2＝x2﹣2x+x2+6x+9＝2（x2+2x）+9＝2×2+9＝4+9＝13；（2）原式＝•＝•＝．【点评】本题考查整式化简求值和分式的化简，解题的关键是掌握整式，分式的相关运算法则．19．（5分）小明用自制工具测量花瓶内底的宽．他将两根木条AC，BD的中点连在一起（即AO＝CO，BO＝DO），如图所示放入花瓶内底．此时，只需测量点D与点C之间的距离，即为该花瓶内底的宽，请证明你的结论．【分析】首先根据题意可得AO＝CO，DO＝BO，再加上对顶角相等可得△DCO≌△BAO，根据全等三角形的性质可得AB＝CD．【解答】解：在△DCO和△BAO中，，∴△DCO≌△BAO（SAS），∴AB＝CD，故只需测量点D与点C之间的距离，即为该花瓶内底的宽．故答案为：D，C．【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是掌握全等三角形对应边相等．20．（5分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°．在线段AC上求作一点D．使得．小明发现作∠ABC的平分线交AC于点D，点D即为所求．（1）使用直尺和圆规，依小明的思路作出点D（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：∵∠A＝30°，∠C＝90°，∴∠ABC＝60°．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝，∴∠ABD＝∠A．∴AD＝BD．在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，∴（30度所对的直角边是斜边的一半）（填推理依据）．∴．【分析】（1）根据角平分线的作图方法作图即可．（2）根据三角形内角和定理、等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质填空即可．【解答】（1）解：如图，点D即为所求．（2）证明：∵∠A＝30°，∠C＝90°，∴∠ABC＝60°．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝，∴∠ABD＝∠A．∴AD＝BD．在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，∴（30度所对的直角边是斜边的一半）．∴．故答案为：60；BD；30度所对的直角边是斜边的一半．【点评】本题考查作图—复杂作图、含30度角的直角三角形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．21．（5分）如图所示的4×4网格是正方形网格，顶点是网格线交点的三角形称为格点三角形．如图1，△ABC为格点三角形．（1）∠ABC＝90°；（2）在图2和图3中分别画出一个以点C1，C2为顶点，与△ABC全等，且位置互不相同的格点三角形．【分析】（1）由勾股定理逆定理即可判断△ABC是直角三角形，从而得到答案；（2）按照条件作出三角形即可．【解答】解：（1）由图可知，AB2＝12+22＝5，BC2＝12+22＝5，AC2＝12+32＝10，∴AB2+BC2＝AC2，∴∠ABC＝90°；故答案为：90；（2）如图：△A1B1C1，△A2B2C2即为所求．【点评】本题考查作图﹣应用与涉及作图，解题的关键是掌握勾股定理逆定理和全等三角形判定定理．22．（5分）列方程解应用题：无人配送以其高效、安全、低成本等优势，正在成为物流运输行业的新趋势．某物流园区使用1辆无人配送车平均每天配送的包裹数量是1名快递员平均每天配送包裹数量的5倍．要配送6000件包裹，使用1辆无人配送车所需时间比4名快递员同时配送所需时间少2天，求1名快递员平均每天可配送包裹多少件？【分析】设1名快递员平均每天可配送包裹x件，则1辆无人配送车平均每天可配送包裹5x件，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合“要配送6000件包裹，使用1辆无人配送车所需时间比4名快递员同时配送所需时间少2天”，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．【解答】解：设1名快递员平均每天可配送包裹x件，则1辆无人配送车平均每天可配送包裹5x件，根据题意得：﹣＝2，解得：x＝150，经检验，x＝150是所列方程的解，且符合题意．答：1名快递员平均每天可配送包裹150件．【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．23．（5分）如图，四边形ABCD中，AB＝AC，∠D＝90°，BE⊥AC于点F，交CD于点E，连接EA，EA平分∠DEF．（1）求证：AF＝AD；（2）若BF＝7，DE＝3，求CE的长．【分析】（1）证出∠AED＝∠AEF，由角平分线的性质可得出结论；（2）证明Rt△ABF≌△RtACD（HL），由全等三角形的性质可得出BF＝CD＝7，则可得出答案．【解答】（1）证明：∵∠D＝90°，∴AD⊥DE，∵EA平分∠DEF，∴∠EAD＝∠EAF，∴∠AED＝∠AEF，又∵AF⊥EF，∴AF＝AD；（2）解：在Rt△ABF和△RtACD中，，∴Rt△ABF≌△RtACD（HL），∴BF＝CD＝7，∵DE＝3，∴CE＝CD﹣DE＝7﹣3＝4．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．24．（6分）小明设计了一个净水装置，将杂质含量为n的水用m单位量的净水材料过滤一次后，水中的杂质含量为．利用此净水装置，小明进行了进一步的探究：现有杂质含量为1的水．（1）用2单位量的净水材料将水过滤一次后，水中杂质含量为；（2）小明共准备了6a单位量的净水材料，设计了如下的三种方案：方案A是将6a单位量的净水材料一次性使用，对水进行过滤；方案B和方案C均为将6a单位量的净水材料分成两份，对水先后进行两次过滤．三种方案的具体操作及相关数据如下表所示：方案编号第一次过滤用净水材料的单位量水中杂质含量第二次过滤用净水材料的单位量第二次过滤后水中杂质含量A6a//B5aaC4a2a①请将表格中方案C的数据填写完整；②通过计算回答：在这三种方案中，哪种方案的最终过滤效果最好？（3）当净水材料总量为6a单位量不变时，为了使两次过滤后水中的杂质含量最少，小明应将第一次净水材料用量定为3a（用含a的式子表示）．【分析】（1）根据水中的杂质含量即可求解；（2）①同样根据水中的杂质含量即可求解；②当第一次净水材料用量定为6a、5a、4a时，用三次最终过滤后的水中杂质含量相比较即可；（3）将第一次净水材料用量定为6a、5a、4a时，4a的最终过滤效果最好，因此在将第一次净水材料用量定为6a、5a、4a、3a、2a、a时，发现将第一次净水材料用量定为5a与a、4a与2a时的过滤效果一样，因此将第一次净水材料用量定为3a与4a的过滤效果进行比较，可得3a的最终过滤效果最好．【解答】解：（1）水中的杂质含量为，∴现有杂质含量为1的水，用2单位量的净水材料将水过滤一次后，水中杂质含量为＝，故答案为：．（2）①方案C水中杂质含量：，第二次过滤后水中杂质含量：；②﹣＝，∵a＞0，∴5a2＞0，（1+6a）（1+5a）（1+a）＞0∴＞，同理可得：＞，∴＜＜，∴方案C的最终过滤效果最好；（3）将第一次净水材料用量定为3a时，第二次过滤后水中杂质含量为；将第一次净水材料用量定为2a时，第二次过滤后水中杂质含量为，结果与将第一次净水材料用量定为4a时相同；将第一次净水材料用量定为a时，第二次过滤后水中杂质含量为，结果与将第一次净水材料用量定为5a时相同；∵在将第一次净水材料用量定为6a、5a、4a时，4a的最终过滤效果最好，同理，可得﹣＜0，∴将第一次净水材料用量定为3a时，其最终过滤效果最好，∴为了使两次过滤后水中的杂质含量最少，小明应将第一次净水材料用量定为3a．故答案为：3a．【点评】本题考查的是代数式的相关知识，解题的关键是正确运用代数式的减法、乘法与加法运算．25．（7分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，作直线AP，使得45°＜∠PAC＜90°．过点B作BD⊥AP于D，在DA的延长线上取点E，使DE＝BD．连接BE，CE．（1）依题意补全图形；（2）若∠ABD＝α，求∠CBE（用含α的式子表示）；（3）用等式表示线段AE，CE，DE之间的数量关系，并证明．【分析】（1）由题意画出图形即可；（2）证出∠DBE＝∠DEB＝45°，由直角三角形的性质可得出答案；（3）在AD延长线上取点F，使DF＝AD，连接BF，证明△BEF≌△BEC（SAS），由全等三角形的性质得出FE＝CE，则可得出结论．【解答】解：（1）依题意补全图形如下：（2）∵BD⊥AP于D，∴∠BDE＝90°，∵BD＝DE，∴∠DBE＝∠DEB＝45°，∵∠ABD＝α，∴∠ABE＝∠DBE﹣∠ABD＝45°﹣α．∵∠ABC＝90°，∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝45°+α；（3）AE+CE＝2DE．证明：如图，在AD延长线上取点F，使DF＝AD，连接BF，∵BD⊥AP，AD＝DF，∴BA＝BF．∴∠FBD＝∠ABD＝α，∵∠DBE＝45°，∴∠EBF＝∠DBE+∠DBF＝45°+α，∴∠EBF＝∠CBE，∵AB＝BC，∴BF＝BC，∵BE＝BE，∴△BEF≌△BEC（SAS），∴FE＝CE，∵AE＝DE﹣AD，CE＝FE＝DE+DF，AD＝DF，∴AE+CE＝2DE．【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．26．（7分）在平面直角坐标系xOy中，直线l过原点且经过第三、第一象限，l与x轴所夹锐角为n°．对于点P和x轴上的两点M，N，给出如下定义：记点P关于直线l的对称点为Q，若点Q的纵坐标为正数，且△MNQ为等边三角形，则称点P为M，N的n°点．（1）如图1，若点M（2，0），N（4，0），点P为M，N的45°点，连接OP，OQ．①∠POQ＝30°；②求点P的纵坐标；（2）已知点M（m，0），N（m+t，0）．①当t＝2时，点P为M，N的60°点，且点P的横坐标为﹣2