2022-2023学年北京二中教育集团八年级（上）期末数学试卷（含解析）

第1页（共1页）2022-2023学年北京二中教育集团八年级（上）期末数学试卷一、选择题（以下每题只有一个正确的选项，每小题2分，共16分）1．（2分）下列图形中，不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．（2分）据科学家研究，新型冠状病毒最新变异为奥米克戎，奥米克戎被科学家称为迄今为止“最糟糕的变异毒株”，它的直径虽然只有85nm左右（1nm＝10﹣9m），但它在空中存活的时间更长，并且致病率更高．科学研究还表明：佩戴口罩可有效阻断奥米克戎的传播．将85nm用科学记数法表示为（）A．85×10﹣9m B．8.5×10﹣10m C．0.85×10﹣8m D．8.5×10﹣8m3．（2分）若分式的值为0，则x的值为（）A．x＝2 B．x＝3 C．x＝﹣2 D．x＝04．（2分）一个n边形的每个外角都是45°，则这个n边形的内角和是（）A．1080° B．540° C．2700° D．2160°5．（2分）如图，已知EB＝EC，AC与DB相交于E，添加下列哪一个条件后，仍不能使△ABC≌△DCB的是（）A．AC＝BD B．∠A＝∠D C．AB＝DC D．∠ABC＝∠DCB6．（2分）若a＝（﹣0.5）﹣2，b＝（﹣2）0，则a与b的大小关系为（）A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．无法确定7．（2分）下列各式中，运算正确的有（）①＝；②；③；④．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个8．（2分）如图是在北京召开的国际数学家大会的会标，它是由四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的一个大正方形．若小正方形的面积为8，每个直角三角形比小正方形的面积均小1，则每个小直角三角形的周长是（）A．5+ B．9+ C．10+ D．14二、填空题（共16分，每题2分）9．（2分）当分式有意义时，x的取值范围是．10．（2分）分解因式：3x3y﹣12xy3＝．11．（2分）已知一等腰三角形的周长为16，其中一边长为4，则其腰长为．12．（2分）如图，在△ABC中，∠A＝75°，剪去∠A后得到四边形BCDE，则∠1+∠2＝°．13．（2分）在△ABC中，∠ABC的角平分线BD与边BC的垂直平分线EF相交于点F，连接CF．若∠A＝70°，∠ABD＝25°，则∠ACF的度数是°．14．（2分）如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，高AD，CE交于点H．若AB＝15，CE＝9，则CH＝．15．（2分）若ab≠0，且3a+2b＝0，则的值是．16．（2分）如图所示，AB、AC是以A为公共端点的两条线段，且满足AB＝AC＝a，∠BAC＝120°，作线段AC的垂直平分线l交AC于点D．点P为直线l上一动点，连接AP，以AP为边构造等边△APQ，连接DQ．当△ADQ的周长最小时，AP＝b，则△ADQ周长的最小值为．（用含有a、b的式子表示）三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21题6分，第22-24题，每题5分，第25题6分，第26-28题，每题7分）17．（5分）计算：a3•a+（﹣2a2）3÷a2．18．（5分）已知：x2﹣2x﹣2＝0，求代数式的（2x﹣1）2﹣（x﹣1）（x+3）值．19．（5分）在数学课上，老师给出了这样一道题：计算．以下是小明同学的计算过程．解：原式＝①＝②＝③（1）以上过程中，第步是进行分式的通分，通分的依据是；（2）以上计算过程是否正确？若正确，请你继续完成本题后续解题过程；若不正确，请指出是哪一步出现了错误，并写出本题完整、正确的解答过程．20．（5分）解分式方程：．21．（6分）先化简÷（），然后在|x|＜3中选一个合适整数值代入，求出代数式的值．22．（5分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，D、E分别为AB、AC上的点，且满足AD＝AE．（1）求证：∠ABE＝∠ACD；（2）连接AO，试判断AO与BC的位置关系，并证明．23．（5分）如图，在△ABC中，D为AB边上一点，DF⊥BC于F，延长FD、CA交于E．若∠E＝30°，AD＝AE．（1）求证：△ABC为等边三角形；（2）若D是AB的中点，求的值．24．（5分）如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＜∠C．（1）用直尺和圆规作斜边BC的垂直平分线，分别交BC、AB于D、E，连接CE（不写作法，保留作图痕迹）；由作图可知，BE＝CE，依据是：；（2）在（1）的条件下，若AE＝DE，则∠ACE与∠DCE的数量关系是：，依据是：；（3）请你用直尺和圆规在斜边BC上求作一点T，使点T到边AB的距离等于线段CT的长（不写作法，保留作图痕迹）．25．（6分）列分式方程解应用题【问题呈现】为保障新冠病毒疫苗接种需求，某生物科技公司开启“加速”模式，生产效率比原先提高了20%，现在生产540万剂疫苗所用时间比原先生产510万剂疫苗所用的时间少0.8天．问原先每天生产多少万剂疫苗．【分析交流】（1）某学习小组用表格的形式对本问题的信息进行了梳理，请你把表格内容补充完整：时间原先现在生产总量（单位：万剂）每天生产量（单位：万剂）x【建模解答】（2）请你完整解答本题．26．（7分）已知：P＝x+2，Q＝．（1）当x＝1时，计算P﹣Q的值；（2）当x＞0时，判断P与Q的大小关系，并说明理由；（3）设y＝，若x、y均为非零整数，求xy的值．27．（7分）已知：△ABC为等边三角形，D、E分别为线段AB、CB延长线上的点，且BD＝BE．作直线AE，点B关于直线AE的对称点为F，连接FC、FD分别交直线AE于G、H．设∠BAE＝α．（1）请你根据题意，补全图形；（2）连接ED、EF，①判断：EDEF；（填“＞”、“＜”或“＝”）②求∠ADF的大小；（用含有α的式子表示）（3）试猜想AH、HF和FC之间的数量关系，并证明．28．（7分）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的四个顶点坐标分别为A（0，2）、B（﹣2，0）、C（0，﹣2）、D（2，0）．对于点P、直线l和正方形ABCD，给出如下定义：若点P关于直线l的对称点在正方形ABCD的内部或边上，则称点P为正方形ABCD关于直线l的“反射点”．（1）已知直线l1为x＝1．①在点P1（3，0）、P2（3，﹣1）、P3（4，0.5）中，是正方形ABCD关于直线l1的“反射点”的有；②若点P为x轴上的动点，且点P为正方形ABCD关于直线l1的“反射点”，则点P的横坐标的最大值为；（2）设点T（0，t），直线l2为过点T（0，t）且与第二、四角平分线平行的直线．①当t＝4时，若点P为直线x＝上一点，且点P为正方形ABCD关于直线l2的“反射点”，则点P纵坐标yP的取值范围是；②设正方形EFGH是以点K（﹣t，0）为中心，边长为1的正方形，且正方形EFGH的边均与坐标轴平行．若点Q为正方形ABCD的边界上一点，且点Q为正方形EFGH关于直线l2的“反射点”，请你直接写出t的取值范围．

2022-2023学年北京二中教育集团八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（以下每题只有一个正确的选项，每小题2分，共16分）1．（2分）下列图形中，不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，利用轴对称图形的定义进行解答即可．【解答】解：选项A、B、D均能找到这样的一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，选项C不能找到这样的一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，故选：C．【点评】此题主要考查了轴对称图形，识别轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．2．（2分）据科学家研究，新型冠状病毒最新变异为奥米克戎，奥米克戎被科学家称为迄今为止“最糟糕的变异毒株”，它的直径虽然只有85nm左右（1nm＝10﹣9m），但它在空中存活的时间更长，并且致病率更高．科学研究还表明：佩戴口罩可有效阻断奥米克戎的传播．将85nm用科学记数法表示为（）A．85×10﹣9m B．8.5×10﹣10m C．0.85×10﹣8m D．8.5×10﹣8m【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：因为1nm＝10﹣9m，所以85nm＝85×10﹣9m＝8.5×10﹣8m．故选：D．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3．（2分）若分式的值为0，则x的值为（）A．x＝2 B．x＝3 C．x＝﹣2 D．x＝0【分析】分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，据此求出x的值即可．【解答】解：∵分式的值为0，∴2x+4＝0且x﹣3≠0，解得：x＝﹣2．故选：C．【点评】此题主要考查了分式值为零的条件，解答此题的关键是要明确：分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，注意：“分母不为零”这个条件不能少．4．（2分）一个n边形的每个外角都是45°，则这个n边形的内角和是（）A．1080° B．540° C．2700° D．2160°【分析】根据多边形的外角和是360度，每个外角都相等，即可求得外角和中外角的个数，即多边形的边数，根据内角和定理即可求得内角和．【解答】解：多边形的边数是：360÷45＝8，则多边形的内角和是：（8﹣2）×180＝1080°．故答案为：A．【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理以及多边形的外角和定理，注意多边形的外角和不随边数的变化而变化，因而把求多边形内角的计算转化为外角的计算，可以使计算简便．5．（2分）如图，已知EB＝EC，AC与DB相交于E，添加下列哪一个条件后，仍不能使△ABC≌△DCB的是（）A．AC＝BD B．∠A＝∠D C．AB＝DC D．∠ABC＝∠DCB【分析】根据题意和图形可以得到BC＝CB，∠ACB＝∠DBC，然后再写出添加各个选项中的条件时能否得到△ABC和△DCB全等即可．【解答】解：由图可得，BC＝CB，∵EB＝EC，∴∠ACB＝∠DBC．∴添加∠ABC＝∠DCB时，△ABC≌△DCB（ASA），故选项A不符合题意；添加AC＝BD时，△ABC≌△DCB（SAS），故选项B不符合题意；添加AB＝CD时，不能证明△ABC≌△DCB，故选项C符合题意；添加∠A＝∠D时，△ABC≌△DCB（AAS），故选项D不符合题意；故选：C．【点评】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS．6．（2分）若a＝（﹣0.5）﹣2，b＝（﹣2）0，则a与b的大小关系为（）A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．无法确定【分析】根据实数的大小比较法则直接计算得出．【解答】解：a＝（﹣0.5）﹣2＝＝4，b＝（﹣2）0＝1，∵4＜1，∴（﹣0.5）﹣2＞（﹣2）0，∴a＞b．故选：A．【点评】本题考查了实数的大小比较法则，利用平方解题是关键．7．（2分）下列各式中，运算正确的有（）①＝；②；③；④．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，对每一个分式一一判定即可．【解答】解：①＝（）2，故①不符合题意；②＝＝，故②符合题意；③＝，故③不符合题意；④＝＝，故④不符合题意；故选：A．【点评】本题考查分式的性质和化简，熟练掌握分式的基本性质，分式的化简方法是解题的关键．8．（2分）如图是在北京召开的国际数学家大会的会标，它是由四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的一个大正方形．若小正方形的面积为8，每个直角三角形比小正方形的面积均小1，则每个小直角三角形的周长是（）A．5+ B．9+ C．10+ D．14【分析】设直角三角形的较长直角边是a，较短直角边是b，斜边是c，由勾股定理，三角形的面积公式，完全平方公式求出a+b，c的值，即可得到答案．【解答】解：设直角三角形的较长直角边是a，较短直角边是b，斜边是c，∴ab＝8﹣1＝7，∴ab＝14，∵小正方形的边长是a﹣b，∴（a﹣b）2＝8，∴a2+b2﹣2ab＝8，∴a2+b2＝36，∵c2＝a2+b2＝36，∴c＝6，∵（a+b）2＝a2+b2+2ab＝36+2×14＝64，∴a+b＝8，∴每个小直角三角形的周长是a+b+c＝8+6＝14，故选：D．【点评】本题考查勾股定理，完全平方公式，三角形的面积，关键是应用完全平方公式，勾股定理求出a+b．二、填空题（共16分，每题2分）9．（2分）当分式有意义时，x的取值范围是x≠．【分析】分式有意义的条件是分母不为0．【解答】解：分式有意义，则2x﹣1≠0，解得：x≠．故答案为x．【点评】本题考查的是分式有意义的条件：当分母不为0时，分式有意义．10．（2分）分解因式：3x3y﹣12xy3＝3xy（x+2y）（x﹣2y）．【分析】先提公因式，再逆用平方差公式进行因式分解．【解答】解：3x3y﹣12xy3＝3xy（x2﹣4y2）＝3xy（x+2y）（x﹣2y）．故答案为：3xy（x+2y）（x﹣2y）．【点评】本题主要考查因式分解，熟练掌握提公因式法、公式法进行因式分解是解决本题的关键．11．（2分）已知一等腰三角形的周长为16，其中一边长为4，则其腰长为6．【分析】因为腰长没有明确，所以分边长4是腰长和底边两种情况讨论．【解答】解：（1）当4是腰长时，底边为16﹣4×2＝8，此时4+4＝8，不能组成三角形；（2）当4是底边时，腰长为×（16﹣4）＝6，此时4，6，6三边能够组成三角形．所以腰长为6．故答案为：6．【点评】此题考查了等腰三角形的性质以及三角形的三边关系．注意分别从腰长为3与底边长为3去分析求解是关键．12．（2分）如图，在△ABC中，∠A＝75°，剪去∠A后得到四边形BCDE，则∠1+∠2＝255°．【分析】根据三角形内角和为180度可得∠B+∠C的度数，然后再根据四边形内角和为360°可得∠1+∠2的度数．【解答】解：∵△ABC中，∠A＝75°，∴∠B+∠C＝180°﹣75°＝105°，∵∠B+∠C+∠1+∠2＝360°，∴∠1+∠2＝360°﹣105°＝255°．故答案为：255．【点评】本题主要考查了三角形内角和，掌握三角形内角和为180°是关键．13．（2分）在△ABC中，∠ABC的角平分线BD与边BC的垂直平分线EF相交于点F，连接CF．若∠A＝70°，∠ABD＝25°，则∠ACF的度数是35°．【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到FB＝FC，得到∠FBC＝∠FCB，根据角平分线的定义、三角形内角和定理列式计算即可．【解答】解：∵BF∠ABC的平分线，∴∠ABF＝∠CBF，∵FE是线段BC的垂直平分线，∴FB＝FC，∴∠FBC＝∠FCB，∴∠ABF＝∠CBF＝∠FCB＝25°，∴3∠ABF+∠ACF+∠A＝180°，∴75°+70°+∠ACF＝180°，∴∠ACF＝35°，故答案为：35．【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．14．（2分）如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，高AD，CE交于点H．若AB＝15，CE＝9，则CH＝3．【分析】先由已知得到CE＝AE，即可证明△AEH≌△CEB，即可求得BE＝EH继而可得答案．【解答】解：∵∠BAC＝45°，CE⊥AB，∴CE＝AE＝9，∵∠BCE+∠CHD＝90°，∠EAH+∠AHF＝90°，∠AHE＝∠CHD，∴∠BCE＝∠EAH，在△BCE和△HAE中，，∴△BCE≌△HAE（ASA），∴BE＝EH，∵BE+AE＝AB＝15，∴BE＝EH＝6，∴CH＝CE﹣HE＝9﹣6＝3，故答案为：3．【点评】本题考查了全等三角形的判定、全等三角形对应边相等的性质．解决本题的根据是证明△BCE≌△HAE．15．（2分）若ab≠0，且3a+2b＝0，则的值是﹣．【分析】已知等式变形后，代入原式计算即可得到结果．【解答】解：∵ab≠0，且3a+2b＝0，∴a＝﹣b，∴原式＝＝﹣．故答案为：﹣．【点评】此题考查了分式的值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．16．（2分）如图所示，AB、AC是以A为公共端点的两条线段，且满足AB＝AC＝a，∠BAC＝120°，作线段AC的垂直平分线l交AC于点D．点P为直线l上一动点，连接AP，以AP为边构造等边△APQ，连接DQ．当△ADQ的周长最小时，AP＝b，则△ADQ周长的最小值为．（用含有a、b的式子表示）【分析】作AE平分∠BAC交直线l于点E，连接BC交直线l于点F，连接AF、BE、EQ，BQ，可证明∠FEA＝∠FAE＝30°，则AF＝EF，所以FB垂直平分AE，则EB＝AB，所以△ABE是等边三角形，再证明△PAE≌△QAB，得∠ABQ＝∠AEF＝30°，可知BQ与BC重合，点Q在BC上运动，由EQ+DQ≥DE，且AQ+DQ＝EQ+DQ，得AQ+DQ≥DE，则当点Q与点F重合时，AQ+DQ＝DE，此时AQ+DQ的值最小，则△ADQ周长的最小值，由AQ＝AF＝AP＝b，证明DQ＝DF＝AF＝b，即可求得△ADQ周长的最小值为，于是得到问题的答案．【解答】解：作AE平分∠BAC交直线l于点E，连接BC交直线l于点F，连接AF、BE、EQ，BQ，∵直线l垂直平分AC，AB＝AC＝a，∴∠ADE＝90°，AD＝CD＝AC＝a，AE⊥BC，∵∠BAC＝120°，∴∠EAC＝∠EAB＝∠BAC＝60°，∠C＝∠ABC＝∠AED＝30°，∵AF＝CF，∴∠C＝∠FAC＝30°，∴∠FEA＝∠FAE＝30°，∴AF＝EF，∴FB垂直平分AE，点E与点A关于直线FB对称，∴EB＝AB，∴△ABE是等边三角形，∴AE＝AB，∵△APQ是等边三角形，∴∠PAQ＝60°，AP＝AQ＝PQ，∴∠PAE＝∠QAB＝60°﹣∠QAE，在△PAE和△QAB中，，∴△PAE≌△QAB（SAS），∴∠ABQ＝∠AEF＝30°，∴BQ与BC重合，点Q在BC上运动，∴AQ＝EQ，∵AD为定值，∴当AQ+DQ最小时，则△ADQ周长的最小，∵EQ+DQ≥DE，且AQ+DQ＝EQ+DQ，∴AQ+DQ≥DE，∴当点Q与点F重合时，AQ+DQ＝DE，此时AQ+DQ的值最小，则△ADQ周长的最小值，∵AQ＝AF＝AP＝b，∴DQ＝DF＝AF＝b，∴△ADQ周长的最小值为：a+b+b＝，故答案为：．【点评】此题重点考查轴对称的性质、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、两点之间线段最短等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21题6分，第22-24题，每题5分，第25题6分，第26-28题，每题7分）17．（5分）计算：a3•a+（﹣2a2）3÷a2．【分析】根据整式的乘除运算以及加减运算法则即可求出答案．【解答】解：原式＝a4﹣8a6÷a2＝a4﹣8a4＝﹣7a4．【点评】本题考查整式加减运算与乘除运算，解题的关键是熟练运用整式的加减运算法则与乘除运算法则，本题属于基础题型．18．（5分）已知：x2﹣2x﹣2＝0，求代数式的（2x﹣1）2﹣（x﹣1）（x+3）值．【分析】原式利用完全平方公式及单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值．【解答】解：原式＝4x2﹣4x+1﹣x2﹣2x+3＝3x2﹣6x+4，∵x2﹣2x﹣2＝0，∴x2﹣2x＝2，∴原式＝3（x2﹣2x）+4＝3×2+4＝10．【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，掌握运算法则是关键．19．（5分）在数学课上，老师给出了这样一道题：计算．以下是小明同学的计算过程．解：原式＝①＝②＝③（1）以上过程中，第②步是进行分式的通分，通分的依据是分式的基本性质；（2）以上计算过程是否正确？若正确，请你继续完成本题后续解题过程；若不正确，请指出是哪一步出现了错误，并写出本题完整、正确的解答过程．【分析】（1）由分式加减法的计算方法进行计算即可，即先通分，再按照同分母分式加减法的计算方法进行计算即可；（2）先通分，再按照同分母分式加减法的计算方法进行计算即可．【解答】解：（1）根据计算步骤可知，第②步是分式的通分，通分的依据是分式的基本性质，故答案为：②，分式的基本性质；（2）不正确，第③步出现错误，正确的解题步骤如下：原式＝﹣＝﹣＝＝＝﹣．【点评】本题考查分式的加减法，掌握分式加减法的计算方法进行计算即可．20．（5分）解分式方程：．【分析】首先两边同时乘以2（2x﹣1），去分母，再解整式方程，最后检验即可．【解答】解：两边同时乘以2（2x﹣1），去分母得：x﹣4＝2x﹣1，解得x＝﹣3，检验：把x＝﹣3代入2（2x﹣1），得﹣14≠0，分式方程的解为x＝﹣3．【点评】本题考查了解分式方程，掌握分式方程的解法是关键．21．（6分）先化简÷（），然后在|x|＜3中选一个合适整数值代入，求出代数式的值．【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把x的值代入化简后的式子进行计算即可解答．【解答】解：÷（）＝÷＝•＝＝，∵|x|＜3，∴﹣3＜x＜3，∴x的整数解为：﹣2，﹣1，0，1，2，∴x2﹣1≠0，x≠0，x﹣2≠0，∴x≠±1，x≠0，x﹣2≠0，∴当x＝﹣2时，原式＝＝＝﹣．【点评】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．22．（5分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，D、E分别为AB、AC上的点，且满足AD＝AE．（1）求证：∠ABE＝∠ACD；（2）连接AO，试判断AO与BC的位置关系，并证明．【分析】（1）由AB＝AC，∠BAE＝∠CAD，AE＝AD，根据全等三角形的判定定理“SAS”证明△ABE≌△ACD，得∠ABE＝∠ACD；（2）由∠ABC＝∠ACB，∠ABE＝∠ACD，推导出∠OBC＝∠OCB，则OB＝OC，再根据全等三角形的判定定理“SAS”证明△AOB≌△AOC，得∠ABO＝∠ACO，即可根据等腰三角形的“三线合一”证明AO⊥BC．【解答】（1）证明：在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴∠ABE＝∠ACD．（2）解：连接AO，AO⊥BC，证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠ABE＝∠ACD，∴∠ABC﹣∠ABE＝∠ACB﹣∠ACD，∴∠OBC＝∠OCB，∴OB＝OC，在△AOB和△AOC中，，∴△AOB≌△AOC（SAS），∴∠BAO＝∠CAO，∴AO⊥BC．【点评】此题重点考查等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明△ABE≌△ACD及△AOB≌△AOC是解题的关键．23．（5分）如图，在△ABC中，D为AB边上一点，DF⊥BC于F，延长FD、CA交于E．若∠E＝30°，AD＝AE．（1）求证：△ABC为等边三角形；（2）若D是AB的中点，求的值．【分析】（1）由等腰三角形的性质得出∠E＝∠ADE＝30°，证出∠C＝∠B＝∠CAB，则可得出结论；（2）过点A作AM⊥DE于M，证明△ADM≌△BDF（AAS），由全等三角形的性质得出DF＝DM，则可得出结论．【解答】（1）证明：∵AD＝AE，∴∠E＝∠ADE＝30°，∴∠CAB＝∠E+∠ADE＝30°+30°＝60°，∵DF⊥BC，∴∠EFC＝90°，∴∠C＝90°﹣∠E＝60°，∴∠B＝180°﹣∠C﹣∠CAB＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠C＝∠B＝∠CAB，∴△ABC为等边三角形；（2）解：过点A作AM⊥DE于M，∵D是AB的中点，∴AD＝BD，∵AM⊥ED，EF⊥BC，∴∠AMD＝∠BFD＝90°，∵∠ADM＝∠BDF，∴△ADM≌△BDF（AAS），∴DF＝DM，∵AD＝AE，AM⊥DE，∴EM＝DM，∴．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定，等腰三角形的性质，证明△ADM≌△BDF是解题的关键．24．（5分）如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＜∠C．（1）用直尺和圆规作斜边BC的垂直平分线，分别交BC、AB于D、E，连接CE（不写作法，保留作图痕迹）；由作图可知，BE＝CE，依据是：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；（2）在（1）的条件下，若AE＝DE，则∠ACE与∠DCE的数量关系是：相等，依据是：在角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上；（3）请你用直尺和圆规在斜边BC上求作一点T，使点T到边AB的距离等于线段CT的长（不写作法，保留作图痕迹）．【分析】（1）连接基本作图作BC的垂直平分线，然后根据线段垂直平分线的性质得到BE＝CE；（2）根据角平分线的性质定理的逆定理可判断∠ACE与∠DCE相等；（3）作∠ACB的平分线CQ，再过Q点作AB的垂线交BC于T点，通过证明∠TCQ＝∠TQC得到TC＝TQ．【解答】解：（1）如图1，DE为所作；∵DE垂直平分BC，∴BE＝CE；故答案为：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；（2）∵EA＝ED，EA⊥CA，ED⊥CB，∴CE平分∠ACB，∴∠ACE＝∠DCE．故答案为：相等；在角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上；（3）如图2，点T为所作．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质．25．（6分）列分式方程解应用题【问题呈现】为保障新冠病毒疫苗接种需求，某生物科技公司开启“加速”模式，生产效率比原先提高了20%，现在生产540万剂疫苗所用时间比原先生产510万剂疫苗所用的时间少0.8天．问原先每天生产多少万剂疫苗．【分析交流】（1）某学习小组用表格的形式对本问题的信息进行了梳理，请你把表格内容补充完整：时间原先现在生产总量（单位：万剂）510540每天生产量（单位：万剂）xx（1+20%）【建模解答】（2）请你完整解答本题．【分析】（1）根据题意即可得到结论；（2）设原先每天生产x万剂疫苗，则现在每天生产x（1+20%）万剂疫苗，根据“现在生产540万剂疫苗所用时间比原先生产510万剂疫苗所用的时间少0.8天”列出分式方程，求解即可．【解答】解：（1）由题意得，原先生产510万剂疫苗，现在生产540万剂疫苗，原先每天生产x万剂疫苗，则现在每天生产x（1+20%）万剂疫苗；故答案为：510，540，x（1+20%）；（2）设原先每天生产x万剂疫苗，则现在每天生产x（1+20%）万剂疫苗，根据题意得，，解得：x＝75，经检验，x＝75是原方程的解，且符合题意，∴原先每天生产75万剂疫苗．【点评】本题主要考查分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题关键．26．（7分）已知：P＝x+2，Q＝．（1）当x＝1时，计算P﹣Q的值；（2）当x＞0时，判断P与Q的大小关系，并说明理由；（3）设y＝，若x、y均为非零整数，求xy的值．【分析】（1）将x＝1代入计算P﹣Q的值即可；（2）先求差，再比较差与0的大小关系．（3）先表示y，再求x，y的整数值，进而可以解决问题．【解答】解：（1）当x＝1时，P﹣Q＝x+2﹣＝1+2﹣＝；（2）当x＞0时，P≥Q，理由如下：∵P﹣Q＝x+2﹣＝＝，∵x＞0，∴＞0或＝0，∴当x＞0且x≠2时，P＞Q；当x＝2时，P＝Q；（3）∵y＝，P＝x+2，Q＝，∴y＝＝﹣＝＝＝﹣+，∵x、y均为非零整数，∴x＝﹣3时，y＝﹣6，xy＝18；x＝﹣6时，y＝﹣2，xy＝12；综上所述：xy的值为18或12．【点评】本题考查分式运算和比较大小，正确进行分式的加减运算是求解本题的关键．27．（7分）已知：△ABC为等边三角形，D、E分别为线段AB、CB延长线上的点，且BD＝BE．作直线AE，点B关于直线AE的对称点为F，连接FC、FD分别交直线AE于G、H．设∠BAE＝α．（1）请你根据题意，补全图形；（2）连接ED、EF，①判断：ED＝EF；（填“＞”、“＜”或“＝”）②求∠ADF的大小；（用含有α的式子表示）（3）试猜想AH、HF和FC之间的数量关系，并证明．【分析】（1）根据题意画出图形即可；（2）①通过证明△DBE是等边三角形，可得BE＝DE，由轴对称的性质可得BE＝EF，可得结论；②由外角的性质可得∠AEB＝60°﹣α，由等腰三角形的性质可得∠EDF＝α，即可求解；（3）由“AAS”可证△ADH≌△CEG，可得CG＝AH，通过证明△FGH是等边三角形，可得FH＝FG，可得结论．【解答】解：（1）如图所示：（2）①∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝60°，∵BD＝BE，∠ABC＝∠DBE＝60°，∴△DBE是等边三角形，∴BE＝DE，∠BED＝∠BDE＝60°，∵点B关于直线AE的对称点为F，∴BE＝EF，∴DE＝EF，故答案为：＝；②∵∠BAE＝α，∴∠AEB＝60°﹣α，∵点B关于直线AE的对称点为F，∴∠AEB＝∠AEF＝60°﹣α，∴∠FED＝120°﹣2α，∴∠FED＝180°﹣2α，∵DE＝EF，∴∠EDF＝α＝∠EFD，∴∠ADF＝∠EDB﹣∠EDF＝60°﹣α；（3）FC＝AH+FH，理由如下：如图，连接AF，∵点B关于直线AE的对称点为F，∴AB＝AF＝AC，∠BAE＝∠EAF＝α，∴∠CAF＝60°+2α，∴∠AFC＝∠ACF＝60°﹣α，∴∠FGH＝∠AFC+∠EAF＝60°，∴∠EGC＝120°，∵∠ADF＝60°﹣α，∠BAE＝α，∴∠AFH＝60°，∠AHD＝120°＝∠EGC，∵AB＝BC，BE＝BD，∴CE＝AD，又∵∠AEB＝∠ADF＝60°﹣α，∴△ADH≌△CEG（AAS），∴AH＝CG，∵∠FHG＝∠FGH＝60°，∴△FGH是等边三角形，∴FH＝FG，∴FC＝FG+GC＝AH+FH．【点评】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，轴对称的性质等知识，证明三角形全等是解题的关键．28．（7分）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的四个顶点坐标分别为A（0，2）、B（﹣2，0）、C（0，﹣2）、D（2，0）．对于点P、直线l和正方形ABCD，给出如下定义：若点P关于直线l的对称点在正方形ABCD的内部或边上，则称点P为正方形ABCD关于直线l的“反射点”．（1）已知直线l1为x＝1．①在点P1（3，0）、P2（3，﹣1）、P3（4，0.5）中，是正方形ABCD关于直线l1的“反射点”的有P