2022-2023学年北京市东城区八年级（上）期末数学试卷（含解析）

第1页（共1页）2022-2023学年北京市东城区八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共20分，每小题2分）第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1．（2分）如图，两个全等的直角三角板有一条边重合，组成的四个图形中，不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．（2分）下列运算式中，正确的是（）A．a2•a3＝a6 B．（a3）3＝a9 C．（2a2）2＝2a4 D．a6÷a3＝a23．（2分）已知∠AOB．下面是“作一个角等于已知角，即作∠A'O'B'＝∠AOB”的尺规作图痕迹．该尺规作图的依据是（）A．SAS B．SSS C．AAS D．ASA4．（2分）计算（2m+1）（3m﹣2），结果正确的是（）A．6m2﹣m﹣2 B．6m2+m﹣2 C．6m2﹣2 D．5m﹣15．（2分）六边形的外角和为（）A．180° B．720° C．360° D．1080°6．（2分）长方形的面积是12a2﹣6ab．若一边长是3a，则另一边长是（）A．4a+2b B．4a﹣2b C．2a﹣4b D．2a+4b7．（2分）如图，将一张四边形纸片ABCD沿对角线AC翻折，点D恰好落在边AB的中点D'处．设S1，S2分别为△ADC和△ABC的面积，则S1和S2的数量关系是（）A．S1＝S2 B．S1＝S2 C．S1＝2S2 D．S1＝3S28．（2分）若一个多边形的内角和等于1800°，这个多边形的边数是（）A．6 B．8 C．10 D．129．（2分）生物小组的同学想用18米长的篱笆围成一个等腰三角形区域作为苗圃，如果苗圃的一边长是4米，那么苗圃的另外两边长分别是（）A．4米，4米 B．4米，10米 C．7米，7米 D．7米，7米，或4米，10米10．（2分）在平面直角坐标系xOy中，长方形ABCD的两条对称轴是坐标轴，邻边长分别为4，6．若点A在第一象限，则点C的坐标是（）A．（﹣2，﹣3） B．（2，3） C．（﹣2，﹣3），或（﹣3，﹣2） D．（2，3），或（3，2）二、填空题（本题共12分，每小题2分）11．（2分）若分式的值等于零，则x的值是．12．（2分）分解因式：2m2﹣8＝．13．（2分）如图，点A，D，B，E在同一条直线上，AD＝BE，AC∥DF．添加一个条件，使得△ABC≌△DEF．不增加任何新的字母或线，这个条件可以是．14．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E为AB的中点，连接DE．则∠ADE的度数是．15．（2分）如图，在△ABC中，BC＝9，CD是∠ACB的平分线，DE⊥AC于点E，DE＝3．则△BCD的面积为．16．（2分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（4，0），B（0，4），P（1，2），Q（2，﹣1），连接AB．在线段AB．上作点M，使得PM+QM最小，并求点M的坐标．在探索过程中，同学们提出了三种不同的方法，作法与图示如下表：方法①方法②方法③过点P作PM⊥AB于点M，则点M为所求.作点P关于直线AB的对称点P'，连接P'Q交AB于点M，则点M为所求.过点P作PC⊥AB于点C，过点Q作QD⊥AB于点D，取CD中点M，则点M为所求.其中正确的方法是（填写序号），点M的坐标是．三、解答题（本题共68分，第17题4分，第18题9分，第19-25题，每小题4分，第26题6分，第27-28题，每小题4分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．（4分）计算：|﹣5|+2﹣2﹣（π﹣2022）0．18．（9分）化简：（1）（﹣ab）3÷（﹣）；（2）（a+4）（a﹣4）﹣（a﹣1）2．19．（5分）如图，已知AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE．求证：BC＝DE．20．（5分）在化简分式时，甲同学的解法如下．阅读甲同学的解法，完成下列问题．解：原式＝……①＝（x+1）（x﹣1）﹣•（x+1）（x﹣1）……②＝2x﹣（x+1）……③＝2x﹣x﹣1……④＝x﹣1．……⑤（1）甲同学从第步开始出错（填序号）；（2）请你写出正确的解法．21．（5分）先化简，再求值：（）•，其中x从﹣2，2，3三个数中任取一个合适的值．22．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，∠CBA＝45°．（1）求证：AC⊥AB；（2）分别以点A，C为圆心，AC长为半径作弧，两弧交于点D（点D在AC的左侧），连接CD，AD，BD．求△ABD的面积．23．（5分）解分式方程：1﹣＝．24．（5分）课堂上，老师提出问题：如图1，OM，ON是两条马路，点A，B处是两个居民小区．现要在两条马路之间的空场处建活动中心P，使得活空场动中心P到两条马路的距离相等，且到两个小区的距离也相等．如何确定活动中心P的位置？小明通过分析、作图、证明三个步骤正确地解决了问题，请你将小明的证明过程补充完整．步骤1分析：若要使得点P到点A，B的距离相等，则只需点P在线段AB的垂直平分线上；若要使得点P到OM，ON的距离相等，则只需点P在∠MON的平分线上．步骤2作图：如图2，作∠MON的平分线OC，线段AB的垂直平分线DE，DE交OC于点P，则点P为所求．步骤3证明：如图2，连接PA，PB，过点P作PF⊥ON于点F，PG⊥OM于点G．∵PF⊥ON，PG⊥OM，且（填写条件），∴PF＝PG（）（填写理由）．∵点P在线段AB的垂直平分线DE上，∴PA＝PB（）（填写理由）．∴点P为所求作的点．25．（5分）在△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°．点M在BC的延长线上，∠ABC的平分线交AC于点D．∠MCA的平分线与射线BD交于点E．（1）依题意补全图形；用尺规作图法作∠MCA的平分线；（2）求∠BEC的度数．26．（6分）列分式方程解应用题．当矩形（即长方形）的短边为长边的倍时，称这个矩形为黄金矩形．黄金矩形更具美感．如图是某位同学的书画作品，装裱前是一个长为150厘米，宽为82厘米的矩形．现要在作品四周加上等宽的白色边衬装裱．为了使装裱后的作品接近黄金矩形，要求装裱后的矩形宽与长之比等于0.6．边衬的宽度应设置为多少厘米？（注：≈0.618）27．（7分）已知：在△ABC中，∠CAB＝2∠B．点D与点C关于直线AB对称，连接AD，CD，CD交直线AB于点E．（1）当∠CAB＝60°时，如图1．用等式表示，AD与AE的数量关系是：，BE与AE的数量关系是：；（2）当∠CAB是锐角（∠CAB≠60°）时，如图2；当∠CAB是钝角时，如图3．在图2，图3中任选一种情况，①依题意补全图形；②用等式表示线段AD，AE，BE之间的数量关系，并证明．28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于点P和正方形OABC，给出如下定义：若点P关于y轴的对称点P'到正方形OABC的边所在直线的最大距离是最小距离的k倍，则称点P是正方形OABC的“k倍距离点”．已知：点A（a，0），B（a，a）．（1）当a＝4时，①点C的坐标是；②在P1（﹣1，1），P2（﹣2，2），P3（2，2）三个点中，是正方形OABC的“3倍距离点”；（2）当a＝6时，点P（﹣2，n）（其中n＞0）是正方形OABC的“2倍距离点”，求n的取值范围；（3）点M（﹣2，2），N（﹣3，3）．当0＜a＜6时，线段MN．上存在正方形OABC的“2倍距离点”，直接写出a的取值范围．

2022-2023学年北京市东城区八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共20分，每小题2分）第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1．（2分）如图，两个全等的直角三角板有一条边重合，组成的四个图形中，不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可．【解答】解：A、A选项是轴对称图形，故此选项不符合题意；B、B选项是轴对称图形，故此选项正确不符合题意；C、C选项是轴对称图形，故此选项不符合题意；D、D选项不是轴对称图形，故此选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查的是轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．2．（2分）下列运算式中，正确的是（）A．a2•a3＝a6 B．（a3）3＝a9 C．（2a2）2＝2a4 D．a6÷a3＝a2【分析】根据整式的运算法则即可判断．【解答】解：（A）原式＝a5，故A错误，（C）原式＝4a4，故B错误，（D）原式＝a3，故D错误，故选：B．【点评】本题考查整式的运算，涉及同底数幂的乘除法，积的乘方等知识．3．（2分）已知∠AOB．下面是“作一个角等于已知角，即作∠A'O'B'＝∠AOB”的尺规作图痕迹．该尺规作图的依据是（）A．SAS B．SSS C．AAS D．ASA【分析】作图过程可得DO＝D′O′＝CO＝C′O′，CD＝C′D′，利用SSS判定△DOC≌△D′O′C′，可得∠O′＝∠O．【解答】解：由作图得DO＝D′O′＝CO＝C′O′，CD＝C′D′，在△DOC和△D′O′C′中，，∴△DOC≌△D′O′C′（SSS），∴∠O′＝∠O．故选：B．【点评】本题考查了作图﹣基本作图，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质．4．（2分）计算（2m+1）（3m﹣2），结果正确的是（）A．6m2﹣m﹣2 B．6m2+m﹣2 C．6m2﹣2 D．5m﹣1【分析】式利用多项式乘以多项式法则计算，合并即可得到结果．【解答】解：（2m+1）（3m﹣2）＝6m2﹣4m+3m﹣2＝6m2﹣m﹣2．故选：A．【点评】此题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．5．（2分）六边形的外角和为（）A．180° B．720° C．360° D．1080°【分析】根据多边形的外角和是360°求解．【解答】解：因为多边形的外角和等于360°，所以六边形的外角和等于360°．故选：C．【点评】本题主要考查了多边形的外角和．解题的关键是需要熟记多边形的外角和是360°．6．（2分）长方形的面积是12a2﹣6ab．若一边长是3a，则另一边长是（）A．4a+2b B．4a﹣2b C．2a﹣4b D．2a+4b【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．【解答】解：∵长方形的面积是12a2﹣6ab，一边长是3a，∴它的另一边长是：（12a2﹣6ab）÷3a＝12a2÷3a﹣6ab÷3a＝4a﹣2b．故选：B．【点评】此题主要考查了整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．7．（2分）如图，将一张四边形纸片ABCD沿对角线AC翻折，点D恰好落在边AB的中点D'处．设S1，S2分别为△ADC和△ABC的面积，则S1和S2的数量关系是（）A．S1＝S2 B．S1＝S2 C．S1＝2S2 D．S1＝3S2【分析】利用折叠的性质得出：△ADC≌△AD′C，则S△ADC＝S△AD′C，利用等底同高的三角形的面积相等即可得出结论．【解答】解：由题意得：△ADC≌△AD′C，∴S△ADC＝S△AD′C．∵点D′为AB的中点，∴AD′＝D′B．∵等底同高的两个三角形的面积相等，∴S△AD′C＝S△BCD′，∴，∴．∴．故选：B．【点评】本题主要考查了翻折变换的性质，等底同高的三角形的每个相等，掌握折叠的性质并熟练应用是解题的关键．8．（2分）若一个多边形的内角和等于1800°，这个多边形的边数是（）A．6 B．8 C．10 D．12【分析】n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，设这个正多边形的边数是n，得到方程，从而求出边数．【解答】解：设这个多边形是n边形，根据题意得（n﹣2）×180＝1800，解得n＝12，∴这个多边形是12边形．故选：D．【点评】此题考查了多边形的内角和定理，掌握多边形的内角和为（n﹣2）×180°是解题关键．9．（2分）生物小组的同学想用18米长的篱笆围成一个等腰三角形区域作为苗圃，如果苗圃的一边长是4米，那么苗圃的另外两边长分别是（）A．4米，4米 B．4米，10米 C．7米，7米 D．7米，7米，或4米，10米【分析】分两种情况讨论，由等腰三角形的性质可求解．【解答】解：当4米为腰时，另两边为，4米，10米，∵4+4＜10，∴不合题意舍去，当4米为底边时，另两边为：7米，7米，故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．10．（2分）在平面直角坐标系xOy中，长方形ABCD的两条对称轴是坐标轴，邻边长分别为4，6．若点A在第一象限，则点C的坐标是（）A．（﹣2，﹣3） B．（2，3） C．（﹣2，﹣3），或（﹣3，﹣2） D．（2，3），或（3，2）【分析】由题意判断点C在第三象限，由邻边长分别为4，6，可求解．【解答】解：∵长方形ABCD的两条对称轴是坐标轴，点A在第一象限，∴点C在第三象限，∵长方形ABCD的邻边长分别为4，6，∴点C的坐标为（﹣2，﹣3）或（﹣3，﹣2），故选：C．【点评】本题考查了坐标与图形性质，矩形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．二、填空题（本题共12分，每小题2分）11．（2分）若分式的值等于零，则x的值是x＝0．【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子＝0；（2）分母≠0．两个条件需同时具备，缺一不可．【解答】解：由题意得，x＝0且x﹣1≠0，∴x＝0．故答案为：x＝0．【点评】由于该类型的题易忽略分母不为0这个条件，所以常以这个知识点来命题．12．（2分）分解因式：2m2﹣8＝2（m+2）（m﹣2）．【分析】先提取公因式2，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解因式．【解答】解：2m2﹣8，＝2（m2﹣4），＝2（m+2）（m﹣2）．故答案为：2（m+2）（m﹣2）．【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．13．（2分）如图，点A，D，B，E在同一条直线上，AD＝BE，AC∥DF．添加一个条件，使得△ABC≌△DEF．不增加任何新的字母或线，这个条件可以是AC＝DF（答案不唯一）．【分析】要使得△ABC≌△DEF．由条件可得到AB＝DE，∠A＝∠FDB，再加条件AC＝DF，可以用SAS证明其全等．【解答】解；添加AC＝DF；∵AD＝BE，∴AD+DB＝BE+DB，即：AB＝DE，∵AC∥DF，∴∠A＝∠FDB，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS）．故答案为：AC＝DF（答案不唯一）．【点评】此题主要考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．14．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E为AB的中点，连接DE．则∠ADE的度数是54°．【分析】根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理得到∠ABC＝∠C＝72°，然后利用BD平分∠ABC交AC于点D求得∠ADB的度数，利用三角形的内角和求得∠ADB的度数即可．【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C＝×（180°﹣36°）＝72°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝36°，∴∠ABD＝∠A，∵点E为AB的中点，∴∠AED＝90°，∴∠ADE＝90°﹣∠A＝54°，故答案为：54°．【点评】考查了等腰三角形的性质，解题的关键是了解等腰三角形的等边对等角的性质，难度不大．15．（2分）如图，在△ABC中，BC＝9，CD是∠ACB的平分线，DE⊥AC于点E，DE＝3．则△BCD的面积为．【分析】作DF⊥CB于F，应用角平分线的性质求出DF的长，由三角形的面积公式即可求解．【解答】解：作DF⊥BC于F，∵CD是∠ACB的平分线，DE⊥AC，∴DF＝DE＝3，∴△BCD的面积＝BC•DF＝×9×3＝．故答案为：．【点评】本题考查角平分线的性质，三角形的面积，关键是作DF⊥BC于F，应用角平分线的性质．16．（2分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（4，0），B（0，4），P（1，2），Q（2，﹣1），连接AB．在线段AB．上作点M，使得PM+QM最小，并求点M的坐标．在探索过程中，同学们提出了三种不同的方法，作法与图示如下表：方法①方法②方法③过点P作PM⊥AB于点M，则点M为所求.作点P关于直线AB的对称点P'，连接P'Q交AB于点M，则点M为所求.过点P作PC⊥AB于点C，过点Q作QD⊥AB于点D，取CD中点M，则点M为所求.其中正确的方法是②（填写序号），点M的坐标是（2，2）．【分析】作点P关于直线AB的对称点P′，连接QP′交AB于点M，点M即为所求．【解答】解：作点P关于直线AB的对称点P′，连接QP′交AB于点M，点M即为所求．观察图形可知，方法②正确．M（2，2）．故答案为：②，（2，2）．【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，轴对称最短问题等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．三、解答题（本题共68分，第17题4分，第18题9分，第19-25题，每小题4分，第26题6分，第27-28题，每小题4分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．（4分）计算：|﹣5|+2﹣2﹣（π﹣2022）0．【分析】先化简各式，然后再进行计算即可．【解答】解：|﹣5|+2﹣2﹣（π﹣2022）0＝5+﹣1＝4+＝．【点评】本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，准确熟练地化简各式是解题的关键．18．（9分）化简：（1）（﹣ab）3÷（﹣）；（2）（a+4）（a﹣4）﹣（a﹣1）2．【分析】（1）根据积的乘方运算、整式的除法运算即可求出答案．（2）根据平方差公式以及完全平方公式即可求出答案．【解答】解：（1）原式＝（﹣a3b3）•（﹣）＝．（2）原式＝a2﹣16﹣（a2﹣2a+1）＝a2﹣16﹣a2+2a﹣1＝2a﹣17．【点评】本题考查整式的混合运算，解题的关键是熟练运用积的乘方运算、整式的除法运算、平方差公式以及完全平方公式，本题属于基础题型．19．（5分）如图，已知AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE．求证：BC＝DE．【分析】先求出∠BAC＝∠DAE，再利用“边角边”证明△ABC和△ADE全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．【解答】证明：∵∠BAD＝∠CAE，∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC，即∠BAC＝∠DAE，在△ABC和△ADE中，，∴△ABC≌△ADE（SAS），∴BC＝DE．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．20．（5分）在化简分式时，甲同学的解法如下．阅读甲同学的解法，完成下列问题．解：原式＝……①＝（x+1）（x﹣1）﹣•（x+1）（x﹣1）……②＝2x﹣（x+1）……③＝2x﹣x﹣1……④＝x﹣1．……⑤（1）甲同学从第②步开始出错（填序号）；（2）请你写出正确的解法．【分析】（1）根据分式的加减计算得出结论即可；（2）根据分式加减计算的运算法则得出结论即可．【解答】解：（1）由题意知，甲同学从第②步开始出错，故答案为：②；（2）原式＝＝＝＝＝．【点评】本题主要考查分式的加减计算，熟练掌握分式的加减计算是解题的关键．21．（5分）先化简，再求值：（）•，其中x从﹣2，2，3三个数中任取一个合适的值．【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把x的值代入化简后的式子进行计算即可解答．【解答】解：（）•＝•＝•＝x+2，∵x+2≠0，x﹣3≠0，∴x≠﹣2，x≠3，∴当x＝2时，原式＝2+2＝4．【点评】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．22．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，∠CBA＝45°．（1）求证：AC⊥AB；（2）分别以点A，C为圆心，AC长为半径作弧，两弧交于点D（点D在AC的左侧），连接CD，AD，BD．求△ABD的面积．【分析】（1）利用等腰三角形的性质可得∠CBA＝∠ACB＝45°，然后利用三角形内角和定理求出∠CAB＝90°，即可解答；（2）过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，根据题意可得：AC＝AD＝CD＝8，从而可得△ACD是等边三角形，然后利用等边三角形的性质可得∠DAC＝60°，从而利用平角定义可得∠DAE＝30°，最后在Rt△DEA中，利用含30度角的直角三角形的性质可得DE＝4，从而利用三角形的面积进行计算即可解答．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠CBA＝∠ACB＝45°，∴∠CAB＝180°﹣∠ACB﹣∠CBA＝90°，∴AC⊥AB；（2）解：过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，由题意得：AC＝AD＝CD＝8，∴△ACD是等边三角形，∴∠DAC＝60°，∴∠DAE＝180°﹣∠DAC﹣∠CAB＝30°，∴DE＝AD＝4，∴△ABD的面积＝AB•DE＝×8×4＝16，∴△ABD的面积为16．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．23．（5分）解分式方程：1﹣＝．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：x2﹣6x+5﹣x25+5x＝2，解得：x＝3，检验：把x＝3代入得：（x+1）（x﹣1）≠0，∴x＝3是分式方程的解．【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，正确记忆解分式方程过程是解题关键..24．（5分）课堂上，老师提出问题：如图1，OM，ON是两条马路，点A，B处是两个居民小区．现要在两条马路之间的空场处建活动中心P，使得活空场动中心P到两条马路的距离相等，且到两个小区的距离也相等．如何确定活动中心P的位置？小明通过分析、作图、证明三个步骤正确地解决了问题，请你将小明的证明过程补充完整．步骤1分析：若要使得点P到点A，B的距离相等，则只需点P在线段AB的垂直平分线上；若要使得点P到OM，ON的距离相等，则只需点P在∠MON的平分线上．步骤2作图：如图2，作∠MON的平分线OC，线段AB的垂直平分线DE，DE交OC于点P，则点P为所求．步骤3证明：如图2，连接PA，PB，过点P作PF⊥ON于点F，PG⊥OM于点G．∵PF⊥ON，PG⊥OM，且点P在∠MON的平分线上（填写条件），∴PF＝PG（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）（填写理由）．∵点P在线段AB的垂直平分线DE上，∴PA＝PB（垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等）（填写理由）．∴点P为所求作的点．【分析】利用角平分线的性质，可得出PF＝PG，利用线段垂直平分线的性质，可得出PA＝PB，进而可得出点P为所求作的点．【解答】证明：如图2，连接PA，PB，过点P作PF⊥ON于点F，PG⊥OM于点G．∵PF⊥ON，PG⊥OM，且点P在∠MON的平分线上，∴PF＝PG（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）．∵点P在线段AB的垂直平分线DE上，∴PA＝PB（垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等）．故答案为：点P在∠MON的平分线上；角的平分线上的点到角的两边的距离相等；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．【点评】本题考查了角平分线的性质以及线段垂直平分线的性质，利用角平分线的性质及线段垂直平分线的性质，找出点P的位置是解题的关键．25．（5分）在△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°．点M在BC的延长线上，∠ABC的平分线交AC于点D．∠MCA的平分线与射线BD交于点E．（1）依题意补全图形；用尺规作图法作∠MCA的平分线；（2）求∠BEC的度数．【分析】（1）根据尺规作图法即可作∠MCA的平分线；（2）根据角平分线的定义可得∠ABD＝∠CBD＝20°，∠MCE＝∠DCE＝70°，然后利用三角形内角和定理即可解决问题．【解答】解：（1）如图，CE即为所求；（2）∵AB＝AC，∠A＝100°，∴∠ACB＝∠ABC＝40°，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠CBD＝20°，∵∠ACM＝180°﹣40°＝140°，CE是∠MCA的平分线，∴∠MCE＝∠DCE＝70°，∴∠BEC＝∠MCE﹣∠CBD＝70°﹣20°＝50°．【点评】本题主要考查了复杂作图，复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．26．（6分）列分式方程解应用题．当矩形（即长方形）的短边为长边的倍时，称这个矩形为黄金矩形．黄金矩形更具美感．如图是某位同学的书画作品，装裱前是一个长为150厘米，宽为82厘米的矩形．现要在作品四周加上等宽的白色边衬装裱．为了使装裱后的作品接近黄金矩形，要求装裱后的矩形宽与长之比等于0.6．边衬的宽度应设置为多少厘米？（注：≈0.618）【分析】根据装裱后的矩形宽与长之比等于0.6列出方程，解方程得到答案．【解答】解：设边衬的宽度设置为x厘米，由题意得：＝0.6，解得：x＝10，经检验：x＝10是原方程的解，答：边衬的宽度应设置为10厘米．【点评】本题考查的是分式方程的应用，列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．27．（7分）已知：在△ABC中，∠CAB＝2∠B．点D与点C关于直线AB对称，连接AD，CD，CD交直线AB于点E．（1）当∠CAB＝60°时，如图1．用等式表示，AD与AE的数量关系是：AE＝AD，BE与AE的数量关系是：BE＝3AE；（2）当∠CAB是锐角（∠CAB≠60°）时，如图2；当∠CAB是钝角时，如图3．在图2，图3中任选一种情况，①依题意补全图形；②用等式表示线段AD，AE，BE之间的数量关系，并证明．【分析】（1）在Rt△ADE中，∠D＝30°，可得AE＝AD；在Rt△BCE中，∠B＝30°，可得CE＝BE，在Rt△AEC中，∠CAB＝60°，可得CE＝AE，则BE＝3AE；（2）①根据轴对称的性质画出图形即可；②如图2，在BE上截取EG＝AE，连接CG，BE＝GB+EG＝AD+AE；如图3，在BA的延长线上截取AH＝AC，连接CH，AD＝BE+AE．【解答】解：（1）由对称性可知∠ADE＝∠ACE，∠CAB＝∠CAB，CD⊥AB，∵∠CAB＝60°，∴∠DAE＝60°，在Rt△ADE中，∠D＝30°，∴AE＝AD；∵∠CAB＝2∠B，∴∠B＝30°，在Rt△BCE中，CE＝BE，在Rt△AEC中，CE＝AE，∴BE＝AE，∴BE＝3AE；故答案为：AE＝AD，BE＝3AE；（2）①如图：②如图2，在BE上截取EG＝AE，连接CG，由对称性可知AC＝AD，CE⊥AG，∴AC＝CG，∴∠CAG＝∠CGA，∵∠CAB＝2∠B，∴∠CGA＝2∠B，∴∠B＝∠BCG，∴CG＝GB，∴BG＝AD，∴BE＝GB+EG＝AD+AE；如图3，在BA的延长线上截取AH＝AC，连接CH，∴∠AHC＝∠ACH，AH＝AD，∴∠BAC＝2∠CHA，∵∠CAB＝2∠B，∴∠B＝∠CHA，∵CE⊥BH，∴HE＝BE，∴AH﹣AE＝BE，∴AD＝BE+AE．【点评】本题考查几何变换的综合应用，熟练掌握轴对称的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质是解题的关键．28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于点P和正方形OABC，给出如下定义：若点P关于y轴的对称点P'到正方形OABC的边所在直线的最大距离是最小距离的k倍，则称点P是正方形OABC的“k倍距离点”．已知：点A（a，0），B（a，a）．（1）当a＝4时，①点C的坐标是（0，4）；②在P1（﹣1，1），P2（﹣2，2），P3（2，2）三个点中，P1，P3是正方形OABC的“3倍距离点”