2023-2024学年北京市石景山区七年级（上）期末数学试卷（含解析）

第1页（共1页）2023-2024学年北京市石景山区七年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．（2分）的相反数是（）A． B． C．2 D．﹣22．（2分）以河岸边步行道的平面为基准，河面高﹣1.8m，河岸上地面高5m，则地面比河面高（）A．3.2m B．﹣3.2m C．6.8m D．﹣6.8m3．（2分）依据第三方平台统计数据，2022年12月至2023年5月，石景山区共有350人享受养老助餐服务（其中基本养老服务对象90人，其他老年人260人），累计服务10534人次．其中，数字10534用科学记数法可表示为（）A．10.534×103 B．1.0534×104 C．1.0534×103 D．0.10534×1054．（2分）如图，从左面看图中四个几何体，得到的图形是四边形的几何体的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．45．（2分）将三角尺与直尺按如图所示摆放，若∠α的度数比∠β的度数的三倍多10°，则∠α的度数是（）A．20° B．40° C．50° D．70°6．（2分）下列运算正确的是（）A．3a+2b＝5ab B．2c2﹣c2＝2 C．﹣2（a﹣b）＝﹣2a+b D．x2y﹣4yx2＝﹣3x2y7．（2分）已知：如图O是直线AB上一点，OD和OE分别平分∠AOC和∠BOC，∠BOC＝50°，则∠AOD的度数是（）A．50° B．60° C．65° D．70°8．（2分）有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A．ab＞0 B．a＜﹣b C．a+2＞0 D．a﹣2b＞0二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）对单项式“0.5a”可以解释为：一块橡皮0.5元，买了a块，共消费0.5a元．请你再对“0.5a”赋予一个实际意义．10．（2分）如图是一数值转换机的示意图，若输入x＝﹣1，则输出的结果是．11．（2分）若3x2ym﹣3与﹣x2y5﹣3m是同类项，则m的值为．12．（2分）若x＝2是关于x的一元一次方程2x﹣m＝5的解，则m的值为．13．（2分）如图，要在河边修建一个水泵站，分别向A村和B村送水，修在（请在D，E，F中选择）处可使所用管道最短，理由是．14．（2分）如图，正方形广场边长为a米，广场的四个角都设计了一块半径为r米的四分之一圆形花坛，请用代数式表示图中广场空地面积平方米．（用含a和r的字母表示）15．（2分）规定一种新运算：a⊕b＝a+b﹣ab+1，例如：2⊕3＝2+3﹣2×3+1＝0．（1）请计算：2⊕（﹣1）．（2）若﹣3⊕x＝2，则x的值为．16．（2分）a是不为1的有理数．我们把称为a的差倒数，如2的差倒数是＝﹣1，﹣1的差倒数是，已知a1＝﹣，a2是a1的差倒数．a3是a2的差倒数．a4是a3的差倒数，…，以此类推，则a2023＝．三、解答题（本题共68分，第17-22小题，每小题5分，第23-26题，每个小题6分，第27，28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（5分）计算：﹣3+|﹣12|．18．（5分）计算：．19．（5分）计算：．20．（5分）本学期学习了一元一次方程的解法，下面是小亮同学的解题过程：解方程：．解：原方程可化为：．…第①步方程两边同时乘以15，去分母，得：3（20x﹣3）﹣5（10x+4）＝15．…第②步去括号，得：60x﹣9﹣50x+20＝15．…第③步移项，得：60x﹣50x＝15+9﹣20．…第④步合并同类项，得：10x＝4．…第⑤步系数化1，得：x＝0.4．…第⑥步所以x＝0.4为原方程的解．上述小亮的解题过程中（1）第②步的依据是；（2）第（填序号）步开始出现错误，请写出这一步正确的式子．21．（5分）解方程：5x+2＝3x﹣18．22．（5分）解方程：．23．（6分）先化简，再求值：2（x2﹣2x﹣8）﹣（1﹣4x），其中x＝﹣2．24．（6分）如图，已知直线l和直线外两点A，B，按下列要求作图并回答问题：（1）画射线AB，交直线l于点C；（2）画直线AD⊥l，垂足为D；（3）在直线AD上画出点E，使DE＝AD；（4）连接CE；（5）通过画图、测量：点A到直线l的距离d≈cm（精确到0.1）；图中有相等的线段（除DE＝AD以外）或相等的角，写出你的发现：．25．（6分）列方程解应用题：某公司计划为员工购买一批运动服，已知A款运动服每套180元，B款运动服每套210元，公司购买了这两种运动服共计50套，合计花费9600元，求公司购买两种款式运动服各多少套？26．（6分）已知：线段AB＝10，C为线段AB上的点，点D是BC的中点．（1）如图，若AC＝4，求CD的长．根据题意，补全解题过程：∵AB＝10，AC＝4，CB＝AB﹣，∴CB＝．∵点D是BC的中点，∴CD＝CB＝．（理由：）（2）若AC＝3CD，求AC的长．27．（7分）已知：OA⊥OB，射线OC是平面上绕点O旋转的一条动射线，OD平分∠BOC．（1）如图，若∠BOC＝40°，求∠AOD．（2）若∠BOC＝α（0°＜α＜180°），直接写出∠AOD的度数．（用含a的式子表示）28．（7分）对于点M，N，给出如下定义：在直线MN上，若存在点P，使得MP＝kNP（k＞0），则称点P是“点M到点N的k倍分点”．例如：如图，点Q1，Q2，Q3在同一条直线上，Q1Q2＝3，Q2Q3＝6，则点Q1是点Q2到点Q3的倍分点，点Q1是点Q3到点Q2的3倍分点．已知：在数轴上，点A，B，C分别表示﹣4，﹣2，2．（1）点B是点A到点C的倍分点，点C是点B到点A的倍分点；（2）点B到点C的3倍分点表示的数是；（3）点D表示的数是x，线段BC上存在点A到点D的4倍分点，写出x的取值范围．

2023-2024学年北京市石景山区七年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．（2分）的相反数是（）A． B． C．2 D．﹣2【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数．据此解题即可．【解答】解：﹣的相反数是．故选：A．【点评】本题考查相反数，掌握相反数的定义是解题的关键．2．（2分）以河岸边步行道的平面为基准，河面高﹣1.8m，河岸上地面高5m，则地面比河面高（）A．3.2m B．﹣3.2m C．6.8m D．﹣6.8m【分析】根据正数和负数的实际意义列式计算即可．【解答】解：5﹣（﹣1.8）＝5+1.8＝6.8（m），即地面比河面高6.8m，故选：C．【点评】本题考查正数和负数，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键．3．（2分）依据第三方平台统计数据，2022年12月至2023年5月，石景山区共有350人享受养老助餐服务（其中基本养老服务对象90人，其他老年人260人），累计服务10534人次．其中，数字10534用科学记数法可表示为（）A．10.534×103 B．1.0534×104 C．1.0534×103 D．0.10534×105【分析】科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．【解答】解：10534＝1.0534×104．故选：B．【点评】本题主要考查了科学记数法，熟练掌握科学记数法是关键．4．（2分）如图，从左面看图中四个几何体，得到的图形是四边形的几何体的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】四个几何体的左视图：长方体是四边形，圆柱是四边形，三棱柱是四边形，三棱锥是等腰三角形，由此可确定答案．【解答】解：因为长方体是四边形，圆柱是四边形，三棱柱是四边形，三棱锥是等腰三角形，所以，左视图是四边形的几何体有3个；故选：C．【点评】本题主要考查三视图的左视图的知识；考查了学生的空间想象能力，属于基础题．5．（2分）将三角尺与直尺按如图所示摆放，若∠α的度数比∠β的度数的三倍多10°，则∠α的度数是（）A．20° B．40° C．50° D．70°【分析】根据余角的性质即可得到结论．【解答】解：根据题意得，，解得，答：∠α的度数是70°，故选：D．【点评】本题考查了余角和补角，熟练掌握余角和补角的性质是解题的关键．6．（2分）下列运算正确的是（）A．3a+2b＝5ab B．2c2﹣c2＝2 C．﹣2（a﹣b）＝﹣2a+b D．x2y﹣4yx2＝﹣3x2y【分析】根据合并同类项法则一一判断即可．【解答】解：A、3a，2b不是同类项，不能合并，本选项错误不符合题意；B、2c2﹣c2＝c2，本选项错误，不符合题意；C、﹣2（a﹣b）＝﹣2a+2b，本选项错误，不符合题意；D、x2y﹣4yx2＝﹣3x2y，本选项正确，符合题意．故选：D．【点评】本题考查整式是加减，解题的关键是掌握整式是加减法则．7．（2分）已知：如图O是直线AB上一点，OD和OE分别平分∠AOC和∠BOC，∠BOC＝50°，则∠AOD的度数是（）A．50° B．60° C．65° D．70°【分析】先求∠AOC，因为OD平分∠AOC，可得∠AOD．【解答】解：∠AOC＝180﹣∠BOC＝130°，∵OD平分∠AOC，∴∠AOD＝∠AOC＝65°，故选：C．【点评】本题考查了角平分线，关键是掌握角平分线的性质．8．（2分）有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A．ab＞0 B．a＜﹣b C．a+2＞0 D．a﹣2b＞0【分析】根据数轴上点的位置，先确定a、b对应点的数的正负，再逐个判断得结论．【解答】解：由图可知，a＜﹣2＜0＜b＜2，所以ab＞0，a＜﹣b，a+2＜0，a﹣2b＜0，故选：B．【点评】此题考查了数轴，掌握有理数的四则运算法则是解题的关键．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）对单项式“0.5a”可以解释为：一块橡皮0.5元，买了a块，共消费0.5a元．请你再对“0.5a”赋予一个实际意义练习本每本0.5元，小明买了a本，共付款0.5a元，（答案不唯一）．【分析】根据生活实际作答即可．【解答】解：练习本每本0.5元，小明买了a本，共付款0.5a元，故答案为：练习本每本0.5元，小明买了a本，共付款0.5a元，（答案不唯一）．【点评】本题考查了代数式的意义，此类问题应结合实际，根据代数式的特点解答．10．（2分）如图是一数值转换机的示意图，若输入x＝﹣1，则输出的结果是3．【分析】根据题意列式为（﹣1﹣2）2÷3，然后进行计算即可．【解答】解：若输入x＝﹣1，则（﹣1﹣2）2÷3＝9÷3＝3，故答案为：3．【点评】本题考查代数式求值及有理数的运算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键．11．（2分）若3x2ym﹣3与﹣x2y5﹣3m是同类项，则m的值为2．【分析】根据同类项的定义进行解题即可．【解答】解：∵3x2ym﹣3与﹣x2y5﹣3m是同类项，∴m﹣3＝5﹣3m，解得m＝2．故答案为：2．【点评】本题考查同类项，掌握同类项的定义是解题的关键．12．（2分）若x＝2是关于x的一元一次方程2x﹣m＝5的解，则m的值为﹣1．【分析】把x＝2代入方程计算即可求出m的值．【解答】解：把x＝2代入方程得：4﹣m＝5，解得：m＝﹣1，故答案为：﹣1．【点评】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．13．（2分）如图，要在河边修建一个水泵站，分别向A村和B村送水，修在E（请在D，E，F中选择）处可使所用管道最短，理由是两点之间线段最短．【分析】直接利用线段的性质分析得出答案．【解答】解：要在河边修建一个水泵站，分别向A村和B村送水，修在E（请在D，E，F中选择）处可使所用管道最短，理由是两点之间线段最短．故答案为：E；两点之间线段最短．【点评】此题主要考查了线段的性质，正确掌握线段的性质是解题关键．14．（2分）如图，正方形广场边长为a米，广场的四个角都设计了一块半径为r米的四分之一圆形花坛，请用代数式表示图中广场空地面积（a2﹣πr2）平方米．（用含a和r的字母表示）【分析】根据图可知：图中广场空地面积＝正方形的面积﹣半径为r的圆的面积，然后代入字母计算即可．【解答】解：由图可得，图中广场空地面积为（a2﹣πr2）平方米，故答案为：（a2﹣πr2）．【点评】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．15．（2分）规定一种新运算：a⊕b＝a+b﹣ab+1，例如：2⊕3＝2+3﹣2×3+1＝0．（1）请计算：2⊕（﹣1）4．（2）若﹣3⊕x＝2，则x的值为1．【分析】（1）按照定义的新运算进行计算，即可解答；（2）根据定义的新运算可得﹣3+x﹣（﹣3x）+1＝2，然后进行计算即可解答．【解答】解：（1）由题意得：2⊕（﹣1）＝2+（﹣1）﹣2×（﹣1）+1＝2﹣1+2+1＝4，故答案为：4；（2）∵﹣3⊕x＝2，∴﹣3+x﹣（﹣3x）+1＝2，﹣3+x+3x+1＝2，x+3x＝2+3﹣1，4x＝4，x＝1，故答案为：1．【点评】本题考查了解一元一次方程，有理数的混合运算，理解定义的新运算是解题的关键．16．（2分）a是不为1的有理数．我们把称为a的差倒数，如2的差倒数是＝﹣1，﹣1的差倒数是，已知a1＝﹣，a2是a1的差倒数．a3是a2的差倒数．a4是a3的差倒数，…，以此类推，则a2023＝．【分析】根据题意中差倒数的定义分别计算出a2、a3、a4…，找出相应的数字变化规律，从而解答本题．【解答】解：∵a1＝﹣，∴a2＝，a3＝，a4＝，…，由此可知：该数列是以﹣，，4这三个数循环，∵2023÷3＝674……1，∴a2023＝．故答案为：．【点评】本题考查了数字的变化规律，理解题目所给出的运算，找出数字相应的变化规律是解本题的关键．三、解答题（本题共68分，第17-22小题，每小题5分，第23-26题，每个小题6分，第27，28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（5分）计算：﹣3+|﹣12|．【分析】根据绝对值的性质和有理数的加法法则进行解题即可．【解答】解：﹣3+|﹣12|＝﹣3+12＝9．【点评】本题考查有理数的加法和绝对值，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．18．（5分）计算：．【分析】利用乘法的分配律进行运算即可．【解答】解：＝﹣24×﹣24×（﹣）﹣24×＝﹣3+8﹣6＝﹣1．【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键对相应的运算法则的掌握．19．（5分）计算：．【分析】先算乘方，除法转为乘法，再算乘法，最后算加减即可．【解答】解：＝﹣8+2×（﹣7）×2＝﹣8﹣28＝﹣36．【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键对相应的运算法则的掌握．20．（5分）本学期学习了一元一次方程的解法，下面是小亮同学的解题过程：解方程：．解：原方程可化为：．…第①步方程两边同时乘以15，去分母，得：3（20x﹣3）﹣5（10x+4）＝15．…第②步去括号，得：60x﹣9﹣50x+20＝15．…第③步移项，得：60x﹣50x＝15+9﹣20．…第④步合并同类项，得：10x＝4．…第⑤步系数化1，得：x＝0.4．…第⑥步所以x＝0.4为原方程的解．上述小亮的解题过程中（1）第②步的依据是等式基本性质2；（2）第③（填序号）步开始出现错误，请写出这一步正确的式子60x﹣9﹣50x﹣20＝15．【分析】（1）根据解一元一次方程的基本步骤和依据逐一判断即可得；（2）依次去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．【解答】解：（1）等式基本性质2；故答案为：等式基本性质2；（2）③；60x﹣9﹣50x﹣20＝15．故答案为：③；60x﹣9﹣50x﹣20＝15．【点评】本题主要考查解一元一次方程，去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化．21．（5分）解方程：5x+2＝3x﹣18．【分析】按照解一元一次方程的步骤：移项，合并同类项，系数化为1进行计算，即可解答．【解答】解：5x+2＝3x﹣18，移项，得5x﹣3x＝﹣18﹣2，合并同类项，得2x＝﹣20，系数化为1，得x＝﹣10．【点评】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．22．（5分）解方程：．【分析】方程去分母，去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求出解．【解答】解：去分母得：3（2x+1）﹣2（x﹣1）＝6，去括号得：6x+3﹣2x+2＝6，移项得：6x﹣2x＝6﹣3﹣2，合并得：4x＝1，系数化为1得：x＝．【点评】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项，合并同类项，把未知数系数化为1．23．（6分）先化简，再求值：2（x2﹣2x﹣8）﹣（1﹣4x），其中x＝﹣2．【分析】先去括号，再合并同类项得到最简结果，最后将x的值代入计算即可．【解答】解：原式＝（2x2﹣4x﹣16）﹣（1﹣4x）＝2x2﹣4x﹣16﹣1+4x＝2x2﹣17．当x＝﹣2时，原式＝2×（﹣2）2﹣17＝8﹣17＝﹣9．【点评】本题考查整式的加减﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．24．（6分）如图，已知直线l和直线外两点A，B，按下列要求作图并回答问题：（1）画射线AB，交直线l于点C；（2）画直线AD⊥l，垂足为D；（3）在直线AD上画出点E，使DE＝AD；（4）连接CE；（5）通过画图、测量：点A到直线l的距离d≈4.8cm（精确到0.1）；图中有相等的线段（除DE＝AD以外）或相等的角，写出你的发现：CA＝CE，∠ACD＝∠ECD，∠CAD＝∠CED，∠ADC＝∠EDC．【分析】（1）根据射线的定义画图即可．（2）根据垂线的作图方法作图即可．（3）以点D为圆心，AD的长为半径画弧，交射线AD于点E．（4）根据线段的定义画图即可．（5）直接测量线段AD的长即可得答案；由题意可得，直线l为线段AE的垂直平分线，进而可得答案．【解答】解：（1）如图所示．（2）如图所示．（3）如图所示．（4）如图所示．（5）点A到直线l的距离d≈4.8cm（以答题卡上实际测量距离为准）．图中相等的线段和相等的角有：CA＝CE，∠ACD＝∠ECD，∠CAD＝∠CED，∠ADC＝∠EDC．故答案为：4.8；CA＝CE，∠ACD＝∠ECD，∠CAD＝∠CED，∠ADC＝∠EDC．【点评】本题考查作图—复杂作图、直线、射线、线段、点到直线的距离，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．25．（6分）列方程解应用题：某公司计划为员工购买一批运动服，已知A款运动服每套180元，B款运动服每套210元，公司购买了这两种运动服共计50套，合计花费9600元，求公司购买两种款式运动服各多少套？【分析】设公司购买A款式运动服x套，则购买B款式运动服（50﹣x）套，利用总价＝单价×数量，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：设公司购买A款式运动服x套，则购买B款式运动服（50﹣x）套，根据题意得：180x+210（50﹣x）＝9600，解得：x＝30，∴50﹣x＝50﹣30＝20．答：公司购买A款式运动服30套，购买B款式运动服20套．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．26．（6分）已知：线段AB＝10，C为线段AB上的点，点D是BC的中点．（1）如图，若AC＝4，求CD的长．根据题意，补全解题过程：∵AB＝10，AC＝4，CB＝AB﹣AC，∴CB＝6．∵点D是BC的中点，∴CD＝CB＝3．（理由：线段中点的定义）（2）若AC＝3CD，求AC的长．【分析】（1）根据线段的和差和点的中点的定义即可得到结论；（2）根据线段的和差和点的中点的定义即可得到结论．【解答】解：（1）补全解题过程如下：∵AB＝10，AC＝4，CB＝AB﹣AC，∴CB＝6，∵点D是BC的中点，∴CD＝CB＝3（理由：线段中点的定义）；故答案为：AC，6，，3，线段中点的定义；（2）∵点D是BC的中点，∴CD＝BD（线段中点的定义），∵AC＝3CD，∴设CD＝BD＝x，AC＝3x，∴AB＝AC+CD+BD＝10．即3x+x+x＝10．解得，x＝2．∴AC＝6．【点评】本题考查了两点间的距离，线段中点的意义及线段的和差运算，难度较小．27．（7分）已知：OA⊥OB，射线OC是平面上绕点O旋转的一条动射线，OD平分∠BOC．（1）如图，若∠BOC＝40°，求∠AOD．（2）若∠BOC＝α（0°＜α＜180°），直接写出∠AOD的度数．（用含a的式子表示）【分析】（1）根据垂直的定义和角平分线的定义以及角的和差即可得到结论；（2）根据垂直的定义和角平分线的定义以及角的和差即可得到结论．【解答】解：（1）∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90°，∵OD平分∠BOC，∴∠BOD＝BOC，∵∠BOC＝40°，∴∠BOD＝20°，∵∠AOD＝∠AOB﹣∠BOD，∴∠AOD＝70°；（2）当OC在∠AOB的内部时，∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90°，∵OD平分∠BOC，∴∠BOD＝BOC，∵∠BOC＝α，∴∠BOD＝，∴∠AOD＝∠AOB﹣∠BOD＝90°﹣，当OC在∠AOB的外部时，同理得∠AOD＝∠A