第课时等比数列的性质及应用课件-高二上学期数学人教A版选择性

4.3等比数列4.3.1等比数列的概念第2课时

等比数列的性质及应用学习目标1.能根据等比数列的定义推出等比数列的性质，并能运用这些性质简化运算.(重点)2.灵活应用等比数列通项公式的推广形式及变形.3.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题.(难点)导语在我们学习等比数列的过程中，发现它与等差数列有相似之处，这其实就是我们在这两类数列之间无形之中产生了类比思想，类比的前提大多为结论提供线索，它往往能把人的认知从一个领域引申到另一个共性的领域，由此推出另一个对象也具有同样的其他特定属性的结论，今天我们就用类比的思想来研究等比数列具有哪些性质.新知探究问题1

你能把等差数列里面的an=am+(n-m)d类比出等比数列中相似的性质吗？

课本30页例2新知探究问题2

结合上面的类比，你能把等差数列里面的am+an=ak+al(m+n=k+l，m，n，k，l∈N*)类比出等比数列中相似的性质吗？等差数列的性质等比数列的性质m+n=s+tm+n=2k

l

等式左右两边的项数相同与首末项“等距”的两项之积相等

知识梳理

amqn-mak·al=am·anam，ap，anaman

典例分析学习笔记24页例1

已知{an}为正项等比数列.(1)若a2a4+2a3a5+a4a6=25，求a3+a5；

(2)若a5a6=9，求log3a1+log3a2+…+log3a10的值.根据等比数列的性质，得a5a6=a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=9，∴a1a2…a9a10=(a5a6)5=95，∴log3a1+log3a2+…+log3a10=log3(a1a2…a9a10)=log395=10.

延伸探究1

在本例(1)中，添加条件a1a7=4，求an.

典例分析典例分析

延伸探究2

把(2)的条件改为“公比q为3，a1a2a3…a30=3300”，求log3a1+log3a2+…+log3a10的值.a1a2a3…a30=(a1a2a3…a10)·q100(a1a2a3…a10)·q200(a1a2a3…a10)=q300(a1a2a3…a10)3=3300，故a1a2a3…a10=1，则log3a1+log3a2+…+log3a10=log3(a1a2…a10)=log31=0.新知探究

结论：数列{an}是等差数列⇔数列

是等比数列.数列{an}是正项等比数列⇔数列{logban}是等差数列.b>0且b≠1

问题四：你能得到一般性的结论吗？

lp

p2pq|p|

思考：仍为等比数列.是否仍为等比数列？公比

知识梳理q|q|qmq1·q2

典例分析

√

跟踪训练1

设{an}是各项为正数的无穷数列，Ai是边长为ai，ai+1的矩形面积(i=1，2，…)，则{An}为等比数列的充要条件为A.{an}是等比数列B.a1，a3，…，a2n-1，…或a2，a4，…，a2n，…是等比数列C.a1，a3，…，a2n-1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列D.a1，a3，…，a2n-1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比相同√

典例分析(课本30页例3)数列{an}共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于80，第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132.求这个数列.

跟踪训练学习笔记26页例3

有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且首末两数的和是16，中间两数的和是12.求这四个数.

学习笔记26页例3

有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且首末两数的和是16，中间两数的和是12.求这四个数.

学习笔记26页例3

有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且首末两数的和是16，中间两数的和是12.求这四个数.延伸探究

若将本例中“和是16”改为“积是-128”，将“和是12”改为“积是16”，如何求解？

(课本31页例4)

用10

000元购买某个理财产品一年.(1)若以月利率0.400%的复利计息，12个月能获得多少利息(精确到0.01元)？设这笔钱存n个月以后的本利和组成一个数列{an}，则{an}是等比数列，首项a1=104(1+0.400%)，公比q=1+0.400%，所以a12=104(1+0.400%)12≈10

490.702.所以12个月后的利息为10

490.702-104≈490.70(元).(2)若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率为多少时，按季结算的利息不少于按月结算的利息(精确到10-5)？设季度利率为r，这笔钱存n个季度以后的本利和组成一个数列{bn}，则{bn}也是一个等比数列，首项b1=104(1+r)，公比为1+r，于是b4=104(1+r)4.因此，以季度复利计息，存4个季度后的利息为[104(1+r)4-104]元.解不等式104(1+r)4-104≥490.70，得r≥1.205%.所以当季度利率不小于1.205%时，按季结算的利息不少于按月结算的利息.学习笔记26页例4

某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值.(1)用一个式子表示n(n∈N*)年后这辆车的价值；从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为a1，a2，a3，…，an，…，由题意，得a1=13.5，a2=13.5×(1-10%)，a3=13.5×(1-10%)2，….由等比数列的定义，知数列{an}是等比数列，首项a1=13.5，公比q=1-10%=0.9，∴an=a1·qn-1=13.5×0.9n-1.∴n年后车的价值为an+1=(13.5×0.9n)万元.(2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？由(1)得a5=a1·q4=13.5×0.94≈8.9(万元)，∴用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到8.9万元.跟踪训练2

窗花(俗称剪纸)蕴含着辞旧迎新、接福纳祥的美好寓意.一位艺术家把一张厚度(单位：cm)为0.012

5的纸对折了三次，开始进行剪纸创作，若不计纸与纸之间的间隙，则对折后的半成品厚度是

mm.1由题设，对折了三次后半成品厚度为0.012

5×23=0.1(cm)，即1

mm.课堂小结

随堂演练1.已知{an}，{bn}都是等比数列，那么A.{an+bn}，{anbn}都一定是等比数列B.{an+bn}一定是等比数列，但{anbn}不一定是等比数列C.{an+bn}不一定是等比数列，但{anbn}一定是等比数列D.{an+bn}，{anbn}都不一定是等比数列√当两个数列都是等比数列时，这两个数列的和不一定是等比数列，比如取两个数列是互为相反数的数列，两者的和就不是等比数列.两个等比数列的积一定是等比数列.随堂演练2.(多选)记等比数列{an}的前n项积为Tn，且a6，a7∈N*，若T12=212，则a6+a7的可能取值为A.4 B.5 C.6

D.7√√3.画一个边长为2的正方形，再以这个正方形的一条对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的一条对角线为边画第3个正方形……这样共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于A.2

024 B.1

012 C.2

048 D.4

096√4.有四个数，前三个数成等比数