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文档简介
专题06概率与统计题型概览题型01频率分布直方图求平均数、中位数、众数、方差、标准差、极差题型02回归分析题型03条件概率题型04正态分布与相互独立题型05古典概型题型06独立性检验题型07求离散型随机变量的分布列与期望题型08概率综合问题题型01频率分布直方图求平均数、中位数、众数、方差、标准差、极差题型011.(2025·山东青岛·一模)为了研究与的线性相关关系,收集了5组样本数据(见下表),假设经验回归方程为,则(
)123450.50.811.21.5A.B.当时的残差为C.样本数据的%分位数为0.8D.去掉样本点后,与的样本相关系数不变2.(2025·安徽滁州·一模)下列说法中正确的是()A.一个样本(数据不全为3)的平均数为3,若添加一个新数据3组成一个新样本,则新样本的平均数不变,方差变小B.在成对样本数据中,两个变量间的样本相关系数越小,则它们的线性相关程度越弱C.数据,53,56,69,70,72,79,65,80,45,41的极差为40,则这组数据的第m百分位数为79D.依据小概率值的独立性检验推断两个分类变量X与Y之间是否有关联,经计算得,则可以认为“X与Y没有关联”3.(2025·宁夏银川·一模)下列说法正确的是(
)A.若随机变量服从正态分布,且,则B.一组数据的第百分位数为C.若线性相关系数越接近1,则两个变量的线性相关性越强D.对具有线性相关关系的变量,其线性回归方程为,若样本点的中心为,则实数的值是4.(2025·甘肃兰州·一模)在某班级的一次测验后,随机抽取7名同学的成缆作为样本,这7名同学的成领分别为78,80,81,84,87,88,90,则(
)A.估计这次考试全班成绩的平均分为84B.从样本中任取两人的成绩,均大于平均分的概率是C.样本的分位数是87D.当该样本中加入84形成新样本时,新样本方差小于原样本方差5.(2025·黑龙江·一模)在高三某次调研考试时,某学习小组对本组6名同学的考试成绩进行统计,其中数学试卷上有一道满分为12分的解答题,6名同学的得分按从低到高的顺序排列为,若该组数据的中位数是这组数据极差,则该组数据的第60百分位数是(
)A.7 B.7 C.9 D.106.(2025·山东聊城·一模)某学校为了调动学生学习数学的积极性,在高二年级举行了一次数学有奖竞赛,对考试成绩优秀(即考试成绩不小于分)的学生进行了奖励.学校为了掌握考试情况,随机抽取了部分考试成绩,并以此为样本制作了如图所示的样本频率分布直方图.已知第一小组的频数为.(1)求的值和样本容量;(2)估计所有参赛学生的平均成绩;(3)假设在抽取的样本中,男生比女生多人,女生的获奖率为,填写下列列联表,并依据小概率值的独立性检验,判断男生与女生的获奖情况是否存在差异?性别奖励合计获奖未获奖男女合计附:,7.(2025·黑龙江·一模)已知一组样本数据分别为:31,6,12,19,17,16,11,则该组样本数据的(
)A.极差为27 B.上四分位数为19 C.平均数为15.5 D.方差为8.(2025·陕西西安·一模)某校组织1000名学生参加“新中国成立75周年”知识竞赛,经统计这1000名学生的成绩都在区间内,按分数分成5组:,,,,,得到如图所示的频率分布直方图,根据图中数据,下列结论正确的是(
)A.1000名学生成绩的平均数是77B.成绩不低于80分的学生所占比例为40%C.用分层抽样从该校学生中抽取容量为100的样本,则应在内抽取30人D.这1000名学生成绩的第50百分位数是809.(2025·福建泉州·一模)有一组样本数据1,2,3,4,5,现加入两个正整数,构成新样本数据,与原样本数据比较,下列说法正确的是(
)A.若平均数不变,则 B.若极差不变,则C.若,则中位数不变 D.若,则方差不变10.(2025·山东济宁·一模)为了解高三,1班和2班的数学建模水平,现从两个班级中各随机抽取10名学生参加数学建模能力比赛(满分100分),成绩如下:数据Ⅰ(高三,1班):68,80,58,75,65,70,54,90,88,92;数据Ⅱ(高三,2班):72,55,83,59,56,90,83,52,80,95.(1)求数据Ⅰ(高三,1班)的第80百分位数;(2)从上述成绩在60分以下的学生中随机抽取3人作下一步调研,设被抽到的3人中来自于高三,2班的学生人数为,求的概率分布列和数学期望.题型02回归分析题型021.(2025·广东湛江·一模)已知,,,,,5个数据的散点图如图所示,采用一元线性回归模型建立经验回归方程.经分析确定为“离群点”,故将其去掉,将数据去掉后,下列说法正确的有(
).
A.样本相关系数r变大B.残差平方和变小C.决定系数变大D.若经验回归直线过点,则其经验回归方程为2.(2025·黑龙江哈尔滨·一模)由样本数据,求得回归直线方程为,且,若去除偏离点后,得到新的回归直线方程为,则去除偏离点后,相应于样本点的残差值为.3.(2025·山东烟台·一模)已知变量线性相关,其一组样本数据,满足,用最小二乘法得到的经验回归方程为.若增加一个数据后,得到修正后的回归直线的斜率为2.1,则数据的残差的绝对值为(
)A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.44.(2025·四川巴中·一模)下列命题正确的有(
)A.回归直线过样本点的中心,且至少过一个样本点B.两个变量相关性越强,则相关系数越接近C.将一组数据中的每一个数据都加上同一个正数,则其方差不变D.将个数的一组数去掉一个最小和一个最大数,则中位数不变5.(2025·广东·一模)一组样本数据.其中,,,求得其经验回归方程为:,残差为.对样本数据进行处理:,得到新的数据,求得其经验回归方程为:,其残差为、,分布如图所示,且,则(
)A.
样本负相关 B.C. D.处理后的决定系数变大6.(2025·广东汕头·一模)在政府发布的光伏发电补贴政策的引导下,西北某地光伏发电装机量急剧上升,现对2016年至2023年的新增光伏装机量进行调查,根据散点图选择了两个模型进行拟合,并得到相应的经验回归方程.为判断模型的拟合效果,甲、乙、丙三位同学进行了如下分析:(1)甲同学通过计算残差作出了两个模型的残差图,如图所示;(2)乙同学求出模型①的残差平方和为0.4175、模型②的残差平方和为1.5625;(3)丙同学分别求出模型①的决定系数、模型②的决定系数为;经检验,模型①拟合效果最佳,则甲、乙、丙三位同学中,运算结果肯定出错的同学是.(填“甲”或“乙”或“丙”)7.(2025·山东日照·一模)近期根据中国消费者信息研究报告显示,超过的消费者更加频繁地使用网上购物,某网购专营店统计了2025年1月5日到9日这5天到该专营店购物的人数和时间第天间的数据,列表如下:1234575849398100(1)由表中给出的数据判断是否可以用线性回归模型拟合人数和时间第天之间的关系?若可用,估计1月10日到该专营店购物的人数;若不可用,请说明理由(人数用四舍五入法取整数,若相关系数,则线性相关程度很高,可以用线性回归模型拟合,精确到0.01);(2)该专营店为了吸引顾客,推出两种促销方案.方案一:购物金额每满100元可减5元;方案二:一次性购物金额超过800元可抽奖三次,每次中奖的概率均为,且每次抽奖互不影响,中奖一次打9折,中奖两次打8折,中奖三次打6折.某顾客计划在此专营店购买1000元的商品,请从实际付款金额的数学期望的角度分析选哪种方案更优惠.参考数据:.附:相关系数.8.(2025·浙江·一模)下列说法正确的是(
)A.数据的上四分位数为9B.若,,且,则相互独立C.根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关,由最小二乘法求得其回归直线方程为,若其中一个散点坐标为,则D.将两个具有相关关系的变量的一组数据,,…,调整为,,…,,决定系数不变(附:,,)题型03条件概率题型031.(2025·天津武清·一模)长时间玩手机可能影响视力,据调查,某学校学生中大约有的学生,每天玩手机超过1小时,这些人近视率约为,其余学生的近视率约为,现从该校任意调查一名学生,他近视的概率大约是.2.(2025·广东深圳·一模)学校要举办足球比赛,现在要从高一年级各班体育委员中挑选4名不同的裁判员(一名主裁判,两名不同的助理裁判,一名第四裁判),其中高一共13个班,每个班各一名体育委员,共4个女生,9个男生,要求四名裁判中既要有男生,也要有女生,那么在女裁判员担任主裁判的条件下,第四裁判员是男生的概率为.3.(2025·福建泉州·一模)编号为的个球依次被等可能地涂成黑色或白色,设编号为奇数的黑色球的个数为,编号为偶数的白色球的个数为,记事件“”为.(1)求;(2)当时,求;(3)当时,设,证明:.4.(2025·甘肃兰州·一模)“春雨惊春清谷天,夏满芒夏暑相连,秋处露秋寒霜降,冬雪雪冬小大寒.”这二十八字节气歌是我国古人智慧的结晶.某文具店试销二十四节气书签,每套书签24张,分别印有春夏秋冬四季节气各6张.文具店为促销进行抽奖活动,凡购买一套二十四节气书签可参加抽奖,抽奖规则如下:从一套书签中挑出6张春季卡,6张夏季卡,将其中3张春季卡和3张夏季卡装在一个不透明的盒中,剩余的3张春季卡和3张夏季卡放在盒外.现从盒中随机抽出一张卡,若抽出春季卡,则把它放回盒子中,若抽出夏季卡,则该卡与盒外的一张春季卡置换.如此操作不超过4次,将盒中的夏季卡全部置换为春季卡,则停止抽卡并获得2套二十四节气书签,否则不获奖.(1)求只抽3次即获奖的概率;(2)若促销的30天中预计有360人参加活动,从数学期望的角度分析商家准备多套少书签作为奖品更为合理?5.(2025·山东济宁·一模)甲,乙两人进行乒乓球比赛,比赛采用3局2胜制,如果每局比赛甲获胜的概率为0.7,乙获胜的概率为0.3,且各局比赛结果相互独立,那么在甲获胜的条件下,比赛进行了3局的概率为(
)A. B. C. D.6.(2025·四川·一模)某保险公司随机选取了200名不同驾龄的投保司机,调查他们投保后一年内的索赔情况,结果如下:单位:人一年内是否索赔驾龄合计不满10年10年以上是10515否9095185合计100100200(1)依据小概率值的独立性检验,分析表中的数据,能否据此推断司机投保后一年内是否索赔与司机的驾龄有关?(2)保险公司的大数据显示,每年投保的新司机索赔的概率为,投保的老司机索赔的概率均为.假设投保司机中新司机的占比为.随机选取一名投保司机,记事件“这名司机在第年索赔”为,事件“这名司机是新司机”为.已知.(i)证明:;(ii)证明:,并给出该不等式的直观解释.附:,题型04正态分布与相互独立题型041.(2025·天津河东·一模)下列说法中,正确的有(
)①回归直线恒过点,且至少过一个样本点;②根据列列联表中的数据计算得出,而,则有的把握认为两个分类变量有关系,即有的可能性使得“两个分类变量有关系”的推断出现错误;③是用来判断两个分类变量是否相关的随机变量,当的值很小时可以推断两类变量不相关;④某项测量结果服从正态分布,则,则.A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2.(2025·黑龙江·一模)坐位体前屈(SitAndReach)是一种体育锻炼项目,也是大中小学体质健康测试项目,通常使用电动测试仪进行测试,为鼓励和推动学生积极参加体育锻炼,增强学生体质,我国于2002年开始在全国试行《学生体质健康标准》,坐位体前屈属于该标准规定的测试内容之一,已知某地区进行体育达标测试,统计得到高三女生坐位体前屈的成绩(单位:cm)服从正态分布,且,现从该地区高三女生中随机抽取3人,记在区间的人数为,则正确的有(
)A. B.C. D.3.(2025·山东泰安·一模)下列选项正确的是(
)A.若随机变量,则B.若根据分类变量与的成对样本数据,计算得到,则依据的独立性检验,认为变量与不独立,该推断犯错误的概率不超过0.05C.若随机变量,且,则D.数据的第75百分位数是94.(2025·江西·一模)已知随机变量,若,则.5.(2025·全国·一模)某公司为考核员工,采用某方案对员工进行业务技能测试,然后统计并分析测试成绩以确定员工绩效等级.(1)已知该公司甲部门有3名负责人,乙部门有4名负责人,该公司从甲、乙两部门中随机选取3名负责人做测试分析,记负责人来自甲部门的人数为,求最有可能的取值.(2)该公司统计了七个部门测试的平均成绩(满分100分)与绩效等级优秀率,如表所示.324154687480920.280.340.440.580.660.740.94根据数据绘制散点图,初步判断,选用作为经验回归方程.令,经计算得,.(i)已知某部门测试的平均成绩为60分,估计其绩效等级优秀率;(ii)根据统计分析,大致认为各部门测试平均成绩,其中近似为样本平均数近似为样本方差.经计算,求某个部门绩效等级优秀率高于0.7875的概率.参考公式与数据:①.②经验回归方程中,.③若随机变量,则.6.(2025·江西·一模)比较两组测量尺度差异较大数据的离散程度时,常使用离散系数,其定义为:离散系数.某地区进行调研考试,共名学生参考,测试结果(单位:分)近似服从正态分布,且平均分为,离散系数为,则下列说法正确是(
)(附:若随机变量服从正态分布,,)A.学生考试成绩标准差为B.学生考试成绩近似服从正态分布C.约有名学生的成绩低于分D.全体学生成绩的第百分位数约为题型05古典概型题型051.(2025·山东青岛·一模)《周易》反映了中国古代的二进制计数的思想方法,可以解释为:把阳爻“”当做数字“”,把阴爻“”当做数字“”,例如,成语“否极泰来”包含了“否”卦和“泰”卦,“否”卦所表示的二进制数为,转化为十进制数是,“泰”卦所表示的二进制数为,转化为十进制数是(1)若某卦的符号由五个阳爻和一个阴爻构成,求所有这些卦表示的十进制数的和;(2)在由三个阳爻和三个阴爻构成的卦中任取一卦,若三个阳爻均相邻,则记分;若只有两个阳爻相邻,则记分;若三个阳爻互不相邻,则记分,设任取一卦后的得分为随机变量,求的分布列和数学期望.2.(2025·北京平谷·一模)某科研团队研发了一款快速检测某种疾病的试剂盒.为了解该试剂盒检测的准确性,科研团队从某地区(人数众多)随机选取了40位患者和60位非患者,用该试剂盒分别对他们进行了一次检测,结果如下:抽样人群阳性人数阴性人数患者364非患者258(1)试估计使用该试剂盒进行一次检测结果正确的概率;(2)若从该地区的患者和非患者中分别抽取2人进行一次检测,求恰有一人检测结果错误的概率;(3)假设该地区有10万人,患病率为0.01.从该地区随机选取一人,用该试剂盒对其检测一次.若检测结果为阳性,能否判断此人患该疾病的概率超过0.2?并说明理由.3.(2025·山东聊城·一模)将四个不同的小球,放入四个编号为、、、的盒子中,每个小球放入各个盒子的可能性都相等,设表示空盒的个数,表示号盒子中小球的个数,则(
)A.每个盒子中恰有球的概率为B.事件“号是空盒”与事件“号是空盒”不独立C.随机变量的方差为D.随机变量的均值为4.(2025·黑龙江·一模)已知正项数列满足:对任意的正整数,都有,其中为非零常数.(1)若,求数列的通项公式;(2)证明:;(3)若且,从(且)中任取两个数,记事件A:“取出的两个数是无理数且中间仅包含一个整数”,其概率为,若,求正整数的最小值.公式:(其中为正整数).5.(2025·江西上饶·一模)将编号为的4个小球随机放入编号为的4个凹槽中,每个凹槽放一个小球,则至少有1个凹槽与其放入的小球编号相同的概率是(
)A. B. C. D.题型06独立性检验题型061.(2025·宁夏银川·一模)数学中的概率概念最早起源于对赌博问题的研究.一个数学兴趣小组随机调查了名成年人,对关于赌博是否感兴趣的话题进行了统计,其中被选取的男女人数之比为.(1)请补充完整列联表,并依据小概率值的独立性检验,能否认为对赌博感兴趣的情况与性别有关.感兴趣不感兴趣合计成年男性成年女性合计(2)假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏,每一局赌徒赌赢的概率为,且每局赌赢可以赢得元,每一局赌徒赌输的概率为,且赌输就要输掉元.赌徒会一直玩下去,直到遇到如下两种情况才会结束赌博游戏:一种是手中赌金为元,即赌徒输光:一种是赌金达到预期的元,赌徒停止赌博.记赌徒的本金为,当赌徒手中有元时,最终输光的概率为,请回答下列问题:①请直接写出与的数值.②证明是一个等差数列,当时,分别计算时,的数值,并结合实际,解释当时,的统计含义.附:.0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.8282.(2025·山东淄博·一模)某地为调查大型水域的水质情况,设置若干站点检测水质指数(“M指数”.),以这些站点所测“M指数”的平均值为依据,接报此大型水域的水质情况.下图是2024年11月份30天内该大型水域“M指数”的频率分布直方图,其中分组区间分别为:,,,,,,,.
(1)规定:“指数”不超过50为“优质水源日”,否则称为“非优质水源日”.对该地区50名外出郊游的市民进行调查,得到如下列联表:男市民女市民合计优质水源日出游1230非优质水源日出游6合计50请完成上述列联表,并根据的独立性检验,能否认为优质水源日出游与性别有关?(2)从“指数”在第一组和第二组的所有天数中选取3天的数据进行评价,记这3天的数据来自第一组的数据有天,求的分布列和数学期望.附:.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.8283.(2025·黑龙江·一模)第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨圆满落下帷幕.在这场盛大的亚洲冰雪盛会中,奖牌榜见证了各国运动员的荣耀与拼搏.中国队以32金27银26铜,总计85枚奖牌的傲人成绩,强势登顶奖牌榜,成为最大赢家.这一成绩不仅创造了中国队亚冬会历史最佳,更是追平了单届金牌数纪录,书写了中国冰雪运动的崭新篇章.冰球深受广大球迷的喜爱,每支球队都有一个或几个主力队员,现有一支冰球队,其中甲球员是其主力队员,经统计该球队在某阶段所有比赛中,甲球员是否上场时该球队的胜负情况如表:甲球员是否上场球队的胜负情况合计胜负上场3845未上场3合计40(1)完成列联表,并判断根据小概率值的独立性检验,能否认为球队的胜负与甲球员是否上场有关联?(2)由于队员的不同,甲球员主打的位置会进行调整,根据以往的数据统计,甲球员上场时,打边锋,中锋,后卫的概率分别为0.4,0.5,0.1,相应球队赢球的概率分别为0.7,0.9,0.5.(ⅰ)当甲球员上场参加比赛时,求球队赢球的概率;
(ⅱ)当甲球员上场参加比赛时,在球队赢了某场比赛的条件下,求甲球员打中锋的概率.附:.0.150.100.050.0250.0100.0012.0722.7063.7415.0246.63510.7284.(2025·山东菏泽·一模)在春节联欢晚会上进行了机器人团体舞蹈表演,某机构随机抽取了100名观众进行问卷调查,得到了如下数据:喜欢不喜欢男性4010女性2030(1)依据的独立性检验,试分析对机器人表演节目的喜欢是否与性别有关联?(2)从这100名样本观众中任选1名,设事件“选到的观众是男性”,事件“选到的观众喜欢机器人团体舞蹈表演节目”,比较和的大小,并解释其意义.,.0.0500.0100.0013.8416.63510.8285.(2025·江西·一模)一家调查机构在某地随机抽查1000名成年居民对新能源车与燃油车的购买倾向,得到如下表格:倾向于购买燃油车倾向于购买新能源车合计女性居民150250400男性居民350250600合计5005001000(1)能否有99%的把握认为对新能源车与燃油车的购买倾向存在性别差异?(2)从倾向于购买燃油车的居民中按性别采用分层随机抽样的方法抽取10人,再从中抽取4人进行座谈,求在有女性居民参加座谈的条件下,恰有2名男性居民也参加座谈的概率.(3)从所有参加调查的男性居民中按购买这两种车的倾向性,采用分层随机抽样的方法抽出12人,再从中随机抽取3人进行座谈,记这3人中倾向于购买新能源车的居民人数为,求的分布列与数学期望.参考公式:,其中.在统计中,用以下结果对变量的独立性进行判断:当时,没有充分的证据判断变量,有关联,可以认为变量,是没有关联的;当时,有90%的把握判断变量,有关联;当时,有95%的把握判断变量,有关联;当时,有99%的把握判断变量,有关联.题型07求离散型随机变量的分布列与期望题型071.(2025·广西·一模)在某校举办的学科文化节系列活动中,数学组老师设计了一个答题挑战活动供全校数学爱好者挑战.挑战题目由逻辑推理题和运算求解题两部分构成,用于考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力.现有名同学报名依次发起挑战,每位同学成功解答出逻辑推理题和运算求解题的概率均为,两题能否解出相互独立,每位同学解题过程相互独立,挑战规则如下:①每位同学均先答逻辑推理题,逻辑推理题答对才能答运算求解题;②记第位同学挑战为本次挑战活动的第轮,若第位同学在规定时间内未完成逻辑推理题,则认为本次活动的第轮挑战失败,该同学退出由第位同学挑战;③若第位同学在规定时间内完成逻辑推理题,则该同学继续答运算求解题,若该同学在规定时间内未完成运算求解题,则也认为本次活动的第轮挑战失败,该同学退出,由第位同学挑战;若该同学在规定时间内完成了运算求解题,则挑战成功,本次答题挑战活动结束,后续同学不再进行答题挑战.④挑战进行到第轮,则不管第位同学是否完成两题的解答,答题挑战活动结束.令随机变量表示这名同学在进行第轮挑战后结束挑战活动.(1)求随机变量的分布列;(2)若把挑战规则①去掉,换成规则⑤:挑战的同学先挑战逻辑推理题,若有同学在规定时间内完成逻辑推理题,以后挑战的同学不再挑战逻辑推理题,直接挑战运算求解题.令随机变量表示这名同学在第轮挑战后结束挑战活动.(i)求随机变量的分布列;(ii)证明:.2.(2025·广东湛江·一模)甲参加了一场智力问答游戏,每轮游戏均有两类问题(难度系数较低的类问题以及难度系数较高的类问题)供选择,且每轮游戏只回答两类问题中的其中一个问题.甲遇到每类问题的概率均为,甲遇到类问题时回答正确的概率为,回答正确记1分,否则记0分;甲遇到类问题时回答正确的概率为,回答正确记2分,否则记0分,总得分记为X分,甲回答每个问题相互独立.(1)当进行完2轮游戏时,求甲的总分X的分布列与数学期望.(2)设甲在每轮游戏中均回答正确且累计得分为n分的概率为.(ⅰ)证明:为等比数列.(ⅱ)求的最大值以及对应n的值.3.(2025·辽宁·一模)随机变量服从参数为的二项分布,即,其概率分布可用下图直观的表示,则(
)A. B.C. D.4.(2025·山东烟台·一模)为加强中小学科学教育,某市科协,市教育局拟于2025年4月联合举办第四届全市中小学机器人挑战赛.比赛共设置穿越障碍、搬运物品两个项目.每支参赛队先挑战穿越障碍项目,挑战成功后,方可挑战且必须挑战搬运物品项目.每支参赛队每个项目至多挑战两次,若第一次挑战成功,则获得奖金2000元,该项目不再挑战:若第一次挑战失败,则必须第二次挑战该项目,若第二次挑战成功,则获得奖金1000元,否则,不获得奖金.假设甲参赛队在每个项目中,第一次挑战成功的概率为,第一次挑战失败但第二次挑战该项目成功的概率为;两个项目是否挑战成功相互独立.(1)设事件“甲参赛队两个项目均挑战成功”,求;(2)设比赛结束时,甲参赛队获得奖金数为随机变量,求的分布列;(3)假设本届比赛共有36支参赛队,且根据往届比赛成绩,甲参赛队获得奖金数近似为各参赛队获得奖金数的平均水平.某赞助商计划提供全部奖金,试估计其需提供的奖金总额.5.(2025·黑龙江哈尔滨·一模)“冰雪同梦,亚洲同心”,年第九届亚冬会在哈尔滨举办,本次赛事共有个大项,个分项,个小项,有来自个国家和地区,多名运动员参赛,是一场令人回味无穷的冬季体育盛会,亚冬会圆满结束后,我校团委组织
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