高一数学（人教A版）学案必修二8-6-直线与直线垂直

8.6.1直线与直线垂直——(教学方式：深化学习课—梯度进阶式教学)[课时目标]1．借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线的垂直关系．2．理解异面直线所成的角，并掌握两异面直线所成角的求法．1．异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线________所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．(2)空间两条直线所成角α的取值范围：____________.|微|点|助|解|(1)两条异面直线所成角的大小，是由这两条异面直线的相互位置决定的，与点O的位置选取无关．(2)两条异面直线所成的角θ∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).(3)找出两条异面直线所成的角，要作平行移动(作平行线)，把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角．2．两条异面直线垂直如果两条异面直线所成的角是______，那么我们就说这两条异面直线互相垂直．直线a与直线b互相垂直，记作______．|微|点|助|解|两条直线互相垂直，这两条直线可能是相交的，也可能是不相交的，即有共面垂直和异面垂直两种情形．eq\a\vs4\al(基础落实训练)1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)异面直线所成角的大小与点O的位置有关．即点O位置不同时，这一角的大小也不同．()(2)异面直线a与b所成的角可以是0°.()(3)如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么另一条直线也与这条直线垂直．()2．若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c()A．一定平行 B．一定垂直C．一定是异面直线 D．一定相交3．已知正方体ABCD－EFGH，则AH与FG所成的角是________．题型(一)求异面直线所成的角[例1]如图，在三棱锥A－BCD中，AC⊥BD，E在棱AB上，F在棱CD上，并使AE∶EB＝CF∶FD＝m(m＞0)，设α为异面直线EF和AC所成的角，β为异面直线EF和BD所成的角，试求α＋β的值．听课记录：[变式拓展]将本例变为：如图所示，点A是平面BCD外一点，AD＝BC＝2，E，F分别是AB，CD的中点，且EF＝eq\r(2)，求异面直线AD和BC所成的角．|思|维|建|模|求异面直线所成的角的一般步骤(1)找出(或作出)适合题设的角——用平移法，遇题设中有中点，常考虑中位线；若异面直线依附于某几何体，且直线对异面直线平移有困难时，可利用该几何体的特殊点，使异面直线转化为相交直线．(2)求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角．(3)结论——设由(2)所求得的角的大小为θ.若0°＜θ≤90°，则θ为所求；若90°＜θ＜180°，则180°－θ为所求．[针对训练]1.在正方体ABCD－A′B′C′D′中，E，F分别为面A′B′C′D′与面AA′D′D的中心，则EF与CD所成角的度数是__________．2.在正四棱锥P－ABCD中，AB＝PA＝2，E为PC的中点，求异面直线AP与DE所成角的余弦值．

题型(二)证明直线与直线垂直[例2]如图，在正三棱柱ABC－A′B′C′中，E为棱AC的中点，AB＝BB′＝2.求证：BE⊥AC′.听课记录：|思|维|建|模|证明两条直线垂直的策略(1)对于共面垂直的两条直线的证明，可根据勾股定理证明．(2)对于异面垂直的两条直线的证明，可转化为求两条异面直线所成的角为90°来证明．[针对训练]3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是A1B1，B1C1的中点，求证：DB1⊥EF.题型(三)异面直线所成角的综合问题[例3]如图，在空间四边形ABCD中，AB＝CD＝8，M，N分别是BC，AD的中点．若异面直线AB与CD所成的角为60°，求MN的长．听课记录：|思|维|建|模|当已知条件中含有异面直线所成角时，应先作出该角，才能应用此条件，但要注意作出的角不一定是已知异面直线所成角，也可能是已知角的补角，应分情况讨论．[针对训练]4.如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧面都是矩形，底面四边形ABCD是菱形，且AB＝BC＝2eq\r(3)，∠ABC＝120°，若异面直线A1B和AD1所成的角是90°，则AA1的长度是________．eq\a\vs4\al(课下请完成课时跟踪检测三十五)8．6.1直线与直线垂直课前预知教材1．(1)a′与b′(2)0°≤α≤90°2.直角a⊥b[基础落实训练]1．(1)×(2)×(3)√2．B3．解析：连接BG，则BG∥AH，所以∠BGF为异面直线AH与FG所成的角．因为四边形BCGF为正方形，所以∠BGF＝45°.答案：45°课堂题点研究[题型(一)][例1]解：过点F作MF∥BD，交BC于点M，连接ME，则CM∶MB＝CF∶FD＝m，又因为AE∶EB＝CF∶FD＝m，所以CM∶MB＝AE∶EB，所以EM∥AC，所以α＝∠MEF，β＝∠MFE，AC与BD所成的角为∠EMF.因为AC⊥BD，所以∠EMF＝90°，所以α＋β＝90°.[变式拓展]解：如图，设G是AC的中点，连接EG，FG.因为E，F分别是AB，CD的中点，所以EG∥BC且EG＝eq\f(1,2)BC＝1，FG∥AD，且FG＝eq\f(1,2)AD＝1，即∠EGF为所求．又EF＝eq\r(2)，由勾股定理逆定理可得∠EGF＝90°.[针对训练]1．解析：连接B′D′，则E为B′D′的中点，连接AB′，则EF∥AB′.又CD∥AB，所以∠B′AB为异面直线EF与CD所成的角，即∠B′AB＝45°.答案：45°2．解：如图，连接AC，BD相交于O，连接OE，则O为AC的中点．又E为PC的中点，所以OE∥AP，所以∠DEO为异面直线AP与DE所成的角或其补角．又△PCD为等边三角形，且边长为2，故DE＝eq\r(3).又OE＝eq\f(1,2)PA＝1，OD＝eq\f(1,2)BD＝eq\r(2)，所以DE2＝OE2＋OD2，即∠EOD＝90°.所以cos∠DEO＝eq\f(OE,DE)＝eq\f(1,\r(3))＝eq\f(\r(3),3).故异面直线AP与DE所成角的余弦值为eq\f(\r(3),3).[题型(二)][例2]证明：如图，取CC′的中点F，连接EF，BF，∵E为AC的中点，F为CC′的中点，∴EF∥AC′，∴∠BEF即为异面直线BE与AC′所成的角，且EF＝eq\f(1,2)AC′.在正三棱柱ABC­A′B′C′中，AB＝BB′＝2，∴AC′＝2eq\r(2)，∴EF＝eq\r(2).在等边△ABC中，BE＝eq\r(22－12)＝eq\r(3)，在Rt△BCF中，BF＝eq\r(22＋12)＝eq\r(5).在△BEF中BE2＋EF2＝BF2，∴BE⊥EF，故BE⊥AC′.[针对训练]3．证明：如图，连接A1C1，B1D1，并设它们相交于点O，取DD1的中点G，连接OG，A1G，C1G.则OG∥B1D，EF∥A1C1.∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角．∵GA1＝GC1，O为A1C1的中点，∴GO⊥A1C1.∴异面直线DB1与EF所成的角为90°，即DB1⊥EF.[题型(三)][例3]解：如图所示，取BD的中点E，连接ME，NE.因为M，N分别是BC，AD的中点，所以ME∥CD且ME＝eq\f(1,2)CD＝4，NE∥AB且NE＝eq\f(1,2)AB＝4，从而∠MEN(或其补角)即为AB与CD所成的角．又异面直线AB与CD所成的角为60°，所以∠MEN＝60°或120°.当∠MEN＝60°时，由余弦定理可知MN＝eq\r(EN2＋EM2－2×EN×EM×cos60°)＝4.当∠MEN＝120°时，由余弦定理可知MN＝eq\r(EN2＋EM2－2×EN×EM×cos120°)＝4eq\r(3).[针对训练]4．解析：连接CD1，AC.在四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，A1D1綉BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形．所以A1B∥CD1.所以∠AD1C(或其补角)为A1B和AD1所成的角．因为异面直线A1B和AD1所成的角为90°，所以∠AD1C＝90°.因为四棱柱A