2025年高考数学一模试题分类汇编 专题09 平面向量（解析版）

专题09平面向量题型概览题型01平面向量线性运算题型02数量积及求模问题题型03求夹角问题题型04平行垂直问题题型05投影向量及平面向量的几何应用题型01平面向量线性运算题型011．（2025·河南安阳·一模）已知平行四边形的对角线的交点为，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据给定条件，利用平面向量线性运算计算得解.【详解】在中，.故选：C2．（2025·北京平谷·一模）已知是平面内两个非零向量，，那么“”是“”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据充分必要条件的定义，结合向量平行定理，即可判断.【详解】若，，所以，，当时，，当时，，此时故“”是“”的不充分条件，因为，若，则，当且仅当方向相同时取到等号，则恒成立，故，所以是必要条件，综上可知，，那么“”是“”的必要不充分条件，故选：B3．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）已知在边长为2的等边所在平面内，有一点满足，则（

）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】设的中点为，由向量的线性运算可得，由数量积的计算公式即可求解.【详解】设的中点为，则，因为，所以，所以，因为等边的边长为2，则，所以，所以.故选：.4．（2025·山东烟台·一模）在中，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先得出向量线性关系，结合向量数量积公式计算求解模长即可.【详解】在中，，所以，则.故选：C.5．（2025·广东江门·一模）在矩形中，成等差数列，，则矩形的周长为（

）A．10 B．12 C．14 D．16【答案】C【分析】根据向量加法三角形法则，得到，再由等差数列的性质和矩形的性质即可求得结果.【详解】因为，所以,故，又成等差数列，所以,即①,在矩形中，由②,将①式代入②式解得：或(舍去)，把结果代入①式得，故矩形的周长为,故选：C6．（2025·山东临沂·一模）在中，点是的中点，点在上，若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意，，根据点在上，即可列方程求解.【详解】由题意点是的中点，所以，又，所以，解得，又因为点在上，所以，解得或（舍去）.故选：B.7．（2025·贵州毕节·一模）已知正方形ABCD的边长为2，且，，则．【答案】/0.5【分析】由平面向量的线性运算及数量积运算即可求解．【详解】由题意，，则，所以，，所以，解得．故答案为：．8．（2025·山西·一模）在中，，，．(1)若，求；(2)若，，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据向量的线性运算，利用向量的模长公式即可求解，（2）根据正弦定理可得①式和②式，即可作商求解..【详解】（1）∵，∴，∴，即，∴．又，∴，∴．（2）在中，①，在中，②，①÷②得又，，∴，所以9．（2025·重庆·一模）在平行四边形中，与相交于，若，，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由三点共线，则可设，由三点共线，则可设，然后根据题意都用表示，从而可求出的值，进而可求得答案【详解】因为三点共线，所以可设，所以，因为三点共线，所以可设，因为，，所以，所以，所以，即，解得，，所以，故选：A.10．（2025·山东青岛·一模）已知向量，，，若点不能构成三角形，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求得的坐标，再根据三点共线求出的值，即可得到结果.【详解】由题意可得,，若点三点共线，则点不能构成三角形,即，解得：，所以的值为.故选：B.题型02数量积及求模问题题型021．（2025·河北邢台·一模）若向量，满足，，则．【答案】【分析】由两边平方结合数量积运算律可求，再结合关系求结论.【详解】因为，，所以，所以，所以，所以．故答案为：．2．（2025·天津武清·一模）已知正方形的边长为，，若，其中，为实数，则；设是线段上的动点，为线段的中点，则的最小值为.【答案】/【分析】结合图形，根据向量的线性运算法则可得，再根据平面向量基本定理求，，由此可得；根据向量线性运算法则结合数量积运算律可得，结合图形确定的最小值，由此可求的最小值.【详解】因为，所以，因为，，所以，，所以，因为为线段的中点，所以，又，所以，又，所以，因为设是线段上的动点，又为钝角，所以，因为正方形的边长为，，所以，所以，所以当点与点重合时，取最小值，最小值为.故答案为：；.3．（2025·广东深圳·一模）已知向量满足，则（

）A． B． C．0 D．1【答案】D【分析】根据模长公式即可求解.【详解】由可得，故，故选：D4．（2025·江苏宿迁·一模）若，，则等于（

）A． B． C．5 D．7【答案】A【分析】先求出，，再利用空间向量的数量积运算求解即可．【详解】，，则，，，，故选：A5．（2025·甘肃兰州·一模）与向量反向的单位向量是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】反向单位向量即为，代入计算即可.【详解】与反向的单位向量为.故答案为：A.6．（2025·江西萍乡·一模）已知向量，，若与垂直，则（

）A． B． C． D．2【答案】A【分析】由与垂直求出，再求出的坐标，利用坐标的模长公式可得答案.【详解】由已知，得；由与垂直，得，即，可得.因为，所以.故选：A.7．（2025·云南昭通·一模）已知向量，是单位向量，且，则为（

）A． B． C．3 D．5【答案】B【分析】由，两边平方可得，再将平方即可得答案.【详解】因为向量，是单位向量，所以由则，所以，故选：B.8．（2025·江西上饶·一模）在平行四边形中，，，，，则（

）A．1 B． C．2 D．3【答案】D【分析】以为基底，表示，，结合向量数量积的概念和运算律可求的值.【详解】如图：以为基底，则，，.且，，所以.故选：D9．（2025·湖北·一模）若非零向量，满足，且向量与向量的夹角，则的值为（

）A．-24 B．24 C． D．0【答案】D【分析】根据已知条件可判断为直角三角形，从而求得的值.【详解】令，，则，则由及,在中，，，，由正弦定理：,解得,故得为直角三角形，且，所以.故选：D10．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）已知等边三角形的边长是，、分别是、的中点，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】将向量、用基底表示，然后利用平面向量数量积的运算性质可求得的值.【详解】如下图所示：

因为等边三角形的边长是，、分别是、的中点，则，由得，可得，由平面向量数量积的定义可得，因此，.故选：B.题型03求夹角问题题型031．（2025·山东泰安·一模）已知向量，且，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由两边平方可得，再结合向量夹角的计算可得.【详解】，所以，两边平方可得，又，所以，所以.故选：D2．（2025·黑龙江·一模）已知平面向量，满足，且在上的投影向量为，则向量与向量的夹角为.【答案】【分析】根据条件，利用投影向量的定义得到，再利用向量夹角公式，即可求解.【详解】因在上的投影向量为，即，则，又，则得，所以，又，故向量与向量的夹角为，故答案为：.3．（2025·福建泉州·一模）已知向量满足，且，则与的夹角为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用数量积的运算律求出，进而求出夹角.【详解】由，得，而，则，，而，所以与的夹角.故选：C4．（2025·黑龙江·一模）已知平面向量满足，则．【答案】/【分析】利用平面向量数量积的定义结合给定条件得到方程，求解夹角即可.【详解】因为，所以，得到，即，而，故，解得.故答案为：5．（2025·山东日照·一模）下列说法正确的是（

）A．已知为非零向量，若，则的夹角为锐角B．展开式中的常数项为C．若方程表示椭圆，则D．点在直线上运动，的最大值是【答案】BD【分析】对于A，将已知条件两边同时平方，整理得到，结合平面向量的数量积的定义得到，由平面向量的夹角范围，进而可以判断选项；对于B，由二项式在的展开式的通项公式为，令，即可判断；对于C，根据椭圆的定义列出不等式组进行求解；对于D，利用对称性，结合三点共线，即可求解．【详解】对于A选项，已知，将两边同时平方可得.展开化简可得，即.可知.当与同向时，，此时夹角为，不是锐角，所以A选项错误.对于B选项，对于展开式的通项为.令，解得.将代入通项公式可得常数项为，所以B选项正确.对于C选项，若方程表示椭圆，则需满足.解得的取值范围是且，C选项错误.对于D选项，设点关于直线的对称点为.根据对称点的性质可得，解得，则，即.根据三角形两边之差小于第三边可知.根据两点间距离公式，所以的最大值是，D选项正确.故选：BD.6．（2025·江苏南通·一模）若非零向量，满足，且向量在向量上的投影向量是，则向量与的夹角为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】运用投影向量的公式，结合数量积运算即可.【详解】在上投影向量，，，则，由于，，故选：B．7．（2025·四川·一模）如图，设、是平而内相交成角的两条数轴，、分别是与轴、轴正方向同向的单位向量．对于平面内任意一点，若向量，则记，．已知平面内两点、，其中，则点的轨迹围成的图形面积为；若，则的最大值为．【答案】【分析】对、的符号进行分类讨论，确定点的轨迹，作出其图形，计算出该图形的面积，即为所求；计算得出，要求其最大值，令，由已知得出，利用二次函数的基本性质可求得的最大值.【详解】当，时，，此时，点的轨迹表示以点、的线段；当，时，，此时，点的轨迹表示以点、的线段；当，时，，此时，点的轨迹表示以点、的线段；当，时，，此时，点的轨迹表示以点、的线段；如下图所示：记点、、、，则点的轨迹为四边形，因为，，同理可得，故四边形为矩形，且，所以，点的轨迹围成的图形面积为；由平面向量数量积的定义可得，所以，，因为，要求其最大值，令，不妨设，，于是，则，所以，，当且仅当时，等号成立，故的最大值为.故答案为：；.8．（2025·广东茂名·一模）向量与在单位向量上的投影向量均为，且，当与的夹角最大时，（

）A．8 B．5 C． D．【答案】D【分析】建立适当的平面直角坐标系，用坐标表示出、，利用余弦定理确定，利用面积得到，由此推断最大时，最大，取最小值，利用坐标运算得到：，由二次函数性质求最值即可.【详解】设为轴正半轴上的单位向量，令，，，如图所示，设与的夹角为，若，在中，由余弦定理有：则，而，所以，所以，因为，所以，有根据正弦定理有：，即，整理有：，所以，当与的夹角最大时，最大，取最小值，因为，当且仅当时，取等号，所以当与的夹角最大时，.故选：D9．（2025·安徽合肥·一模）已知向量，满足，且，，，则与的夹角为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用向量的数量积公式计算得到，从而得到与的夹角.【详解】，，且，，，，，，，且，，即与的夹角为故选:10．（2025·湖南邵阳·一模）已知向量，，与的夹角为，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先根据向量数量积公式求出，再利用三角函数诱导公式求出结果.【详解】根据向量数量积公式.先求，.再求..所以.根据三角函数诱导公式，所以.故选：C.题型04平行垂直问题题型041．（2025·江西赣州·一模）已知向量，，且，则=．【答案】【分析】先根据坐标线性运算得出坐标，再应用垂直的坐标运算计算求参，最后应用坐标求模长即可.【详解】因为向量，，则，因为，则，所以，所以．故答案为：2．（2025·广东湛江·一模）已知向量，，若，则（

）．A． B．2 C． D．5【答案】C【分析】根据垂直向量的数量积以及其坐标表示，建立方程，求得参数，利用模长公式，可得答案.【详解】因为，所以，所以，所以．故选：C．3．（2025·广西·一模）已知直线与椭圆交于、两点，为坐标原点．(1)证明：；(2)已知，证明：点到直线的距离为定值．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【分析】（1）联立直线与椭圆方程，利用判别式列出不等式推理即得.（2）利用韦达定理，结合数量积的坐标表示及点到直线距离公式推理即得.【详解】（1）由消去，得，由直线与椭圆交于两点，得，所以.（2）设，由（1）知，，，由，得，整理得，因此点到直线的距离为定值，所以点到直线的距离为定值．4．（2025·山西吕梁·一模）已知向量，若，则实数（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用垂直关系的向量表示，数量积的坐标表示列式计算得解.【详解】向量，则，，由，得，所以.故选：B5．（2025·江西·一模）若向量，，且，则（

）A． B．45 C． D．【答案】C【分析】直接利用向量的坐标运算和向量垂直的充要条件求出，从而进一步求出.【详解】因为，所以，解得，故，故.故选：C.6．（2025·陕西·一模）若向量，，，则（

）A． B．C． D．在上的投影向量是【答案】CD【分析】利用向量模长公式判断A；根据向量平行的性质判断B；根据向量垂直数量积为零判断C；利用投影向量的定义判断D.【详解】因为向量，，，对于A，，故A错误；对于B，，与不平行，故B错误；对于C，因为，则，，故C正确；对于D，在上的投影向量为，故D正确．故选：CD.7．（2025·广东·一模）已知向量，若，则（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【分析】由向量垂直的坐标表示即可求解；【详解】由于，则，则；故选：B8．（2025·贵州六盘水·一模）设，则（

）A．1 B． C． D．2【答案】C【分析】利用向量模长的坐标表示以及垂直关系的向量表示，结合勾股定理计算即可.【详解】由可得，又可得，在中，由勾股定理可得，解得.故选：C9．（2025·浙江·一模）已知向量，，若，则（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】C【分析】根据向量垂直的坐标运算即可求解.【详解】由，，，，由得，解得.故选：C.10．（2025·广东·一模）已知向量满足，则（

）A．2 B． C． D．3【答案】C【分析】根据给定条件，利用垂直关系的向量表示及向量数量积运算律计算得解.【详解】由，得，则，所以.故选：C题型05投影向量及平面向量的几何应用题型051．（2025·云南昆明·一模）已知，，则在上的投影向量为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据投影向量公式求解即可.【详解】由题意，在上的投影向量为.故选：A2．（2025·山东菏泽·一模）已知平面向量，，则下列说法正确的有（

）A．向量，不可能垂直 B．向量，不可能共线C．不可能为3 D．若，则在上的投影向量为【答案】BD【分析】根据向量垂直的坐标表示可判断A；根据向量平行的坐标表示可判断B；根据向量模长坐标公式可判断C；根据在上的投影向量为可判断D.【详解】由题意知，.对于选项A，若向量，则，即，显然此式能成立，故A错；对于选项B，若向量，则有，即，即，显然此式不成立，故B正确；对于选项C，，则当时，，故C错；对于选项D，若，则，，则在上的投影向量为，故D正确.故选：BD3．（2025·安徽滁州·一模）已知单位向量，满足，则在上的投影向量为（）A． B． C． D．【答案】C