北京市东城区2025-2026学年上学期九年级期末数学试卷（含答案）

东城区2025－2026学年度第一学期期末统一检测初三数学学校__________班级__________姓名__________教育ID号__________考

生

须

知1.本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分，考试时间120分钟。2.在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和教育ID号。3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。4.在答题卡上选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。5.考试结束后，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。一、选择题（本题共16分，每题2分）第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1.在下列事件中，不可能事件是A.投掷一枚硬币，正面向上B.从只有红球的袋子中摸出黄球C.通常加热到100°CD.射击运动员射击一次，命中靶心2.2025年4月24日，神舟二十号载人飞船成功发射.下列航天图案是中心对称图形的是3.如图，将∆ABC绕点A逆时针旋转90°得到∆ADE，若

A.3 B.6C.62 4.一元二次方程2xA.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根C.没有实数根 D.无法判断根的情况5.如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=30°。分别以点A和点B为圆心，大于1

A.30° B.50° C.60° D.75°6.已知点A(−2，y₁)，B(1，y₂)在抛物线y=2x²A.1<；y₁=y₂ B.y₁=yC.y₁<；1<；y₂ D.y₂<；1<；y₁7.在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度y(厘米/天)和光照强度x(勒克斯)之间存在一定关系。在低光照强度范围(200≤x<；1000)内，y与x近似成一次函数关系；在中高光照强度范围(xA.当y≥0.6时，x≥3000B.当xC.当x=2000时，y有最大值D.当y=0.4时，8.如图，在⊙O中，点C是直径AB上的动点(不与点A，B重合)，分别以AC和BC为直径作半圆，记阴影部分Ⅰ的面积为S₁，周长为C₁。过点C作CD⊥AB交⊙O于点D，以CD为直径作圆，记此圆(阴影部分Ⅱ)的面积为S₂，周长为C给出下面四个结论：①S₁=S₂；②S₁与S₂之和为定值；③C₁为定值；④C₂不超过C₁的一半。上述结论中，所有正确结论的序号是A.①② B.③④ C.①②③ D.①③④二、填空题（本题共16分，每题2分）9.已知关于x的方程x²+mx10.写出一个二次函数，使其图象满足：①开口向下；②经过点（0，2）。这个二次函数的解析式可以是______。11.某林业部门考察银杏树苗在一定条件下移植的成活率，所统计的银杏树苗移植成活的相关数据如下表所示：移植的棵数a1003006001000700015000成活的棵数b87279535887633713581成活的频率ba0.8700.9300.8920.8870.9050.905根据表中的信息，估计银杏树苗在这个条件下移植成活的概率约为______（精确到0.1）。12.我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”。如图是研究“割圆术”的一个图形，弧AB所在圆的圆心为点O，四边形ABCD为矩形，边CD与⊙O相切于点E，连接BE，∠ABE=15°，连接OE交AB于点F。若AB=413.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠BCD=120°，⊙14.如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)15.如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，在△CDE中，∠DCE=90°，∠E16.某工厂用甲、乙两种原料生产A，B两种产品。每日原料供应量如表一所示，每件产品所需原料及利润如表二所示：表一原料甲乙日供应量（kg）6080表二产品类型甲原料(kg/件)乙原料(kg/件)利润(元/件)A2450B4260应市场需求，工厂要求每天生产的B产品数量不少于A产品数量。（1）若全部生产B产品，每日最多可生产______件；（2）工厂每日最大总利润为______元。三、解答题（本题共68分，第17—22题每题5分，第23—26题每题6分，第27—28题每题7分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.解方程：x218.如图1，月洞门是中国古典建筑中的一种圆形门洞，形如满月，故称“月洞门”，其形制可追溯至汉代，但真正在美学与功能上成熟于宋代，北宋建筑学家李诫编修的《营造法式》是中国古代最完整的建筑技术典籍之一。如图2，是古人根据《营造法式》中的“五举法”作出的月洞门的设计图，月洞门呈圆弧形，用弧ACB表示，点O是弧ACB所在圆的圆心，AB是月洞门的横跨，如图3，已知月洞门的横跨为AB，拱高为a。作法如下：①作线段AB的垂直平分线MN，垂足为点D；②在射线DM上截取DC=③连接AC，作线段AC的垂直平分线交CD于点O；④以点O为圆心，OC的长为半径作弧ACB则弧ACB解答下列问题：（1）请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图3中作出月洞门的设计图（保留作图痕迹，不写作法）；（2）若AB=1

m，CD=2.5

19.已知关于x的一元二次方程x2（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若x1，x2是此方程的两个实数根，且2x20.在二次函数y=ax2+x…−201…y…−2−21…（1）求二次函数的表达式；（2）求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象；（3）将二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后所得图象与直线y=2相交于A，B两点，请直接写出线段AB21.已知在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC(1)如图1，以边AC的中点O为旋转中心，将△ABC旋转180°，得到△A₁B₁C₁，画出△A₁B₁(2)如图2，在图中找一个格点E，使∠AEC22.某班开展“我爱北京”的综合实践活动，班委会决定设置“山水”“历史”“文学”“艺术”（分别记作A，B，C，D）四个研究主题，并采取小组合作的研究方式。同学们在四张完全相同的不透明卡片的正面分别写上这四个研究主题，卡片背面保持完全相同。（1）将这四张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“历史”的概率为______；（2）各小组从这四张卡片中随机抽取一张，将卡片内容作为本小组的研究主题。将这四张卡片背面朝上洗匀后，小明代表第一小组从中随机抽取一张，记下结果后放回，背面朝上洗匀后，小红代表第二小组从中随机抽取一张。请用列表或画树状图的方法，求这两个小组研究主题不同的概率。23.在全球新能源汽车产业蓬勃发展的浪潮中，中国凭借强大的产业实力和技术创新能力脱颖而出，已连续10年保持新能源汽车年产销量全球第一。随着技术迭代加速发展，某新能源汽车的电池成本持续下降，2023年电池成本约为1200元/千瓦时，2025年电池成本约为972元/千瓦时，求这两年该电池成本的年平均下降率。24.2025年世界人形机器人运动会在北京举行，其中“篮球投篮人机挑战赛”成为热门项目。篮球飞行的轨迹可近似看作抛物线。以机器人站立点为原点建立平面直角坐标系，篮球飞行的竖直高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）满足二次函数关系y=机器人某次投篮，篮球飞行的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：水平距离x（米）012345竖直高度y（米）2.02.73.23.53.63.5挑战者在同样地点投篮，篮球飞行的竖直高度y与水平距离x近似满足二次函数关系y=−0.08(（1）根据上述数据，直接写出机器人投篮时，篮球飞行的竖直高度的最大值为____米，满足的函数关系y=（2）若篮球在水平距离5米处的竖直高度y满足3.2≤y25.如图，在Rt∆ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D是BC上一点，⊙O是∆ACD的外接圆。过点（1）求证：∠E（2）若B是AE的中点，且AB=22，求26.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+3经过点(2,3)。点M为抛物线上任意一点，其横坐标为m，过点M作（1）求b的值；（2）当线段MP与抛物线有两个公共点时，求出m的取值范围；（3）过点P作PQ⊥x轴交抛物线y=x2+bx+3于点Q，点27.如图，在∆ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，AD为∆ABC的中线，E是AD上一点，连接CE，将线段CE绕点C顺时针旋转90°得到CF，过点F作（1）求证：AD=（2）连接BF，取BF的中点H，连接AH，DH。依题意补全图形，用等式表示线段AH与DH之间的数量关系，并证明。28.在平面直角坐标系xOy中，对于点P、点M和图形G，给出如下定义：在图形G上存在点Q，使得点M是线段PQ的中点（P，Q不重合），则称点P为图形G关于点M的“映射点”。已知正方形ABCD的顶点为A(−1,2)，B(3,2)，C(3,−2)（1）已知点M的坐标为(4,1)，在点P1(5,3)，P2(6,−1)，P3(8,4)中，正方形（2）已知点M(m,−m+4)，若x轴上存在正方形ABCD（3）已知点T(t,0)，点M在半径为1的⊙T上，若⊙T上存在正方形ABCD参考答案一、选择题1.B解析：不可能事件指一定不发生的事件。A、C、D均为随机事件或必然事件，B中袋子无黄球，必然不发生。2.D解析：中心对称图形需绕某点旋转180°后与原图重合，仅D选项满足。3.C解析：旋转后△ADE≅△ABC，∠CAE=90°，AC=AE=6，由勾股定理得CE=6√2。4.A解析：判别式Δ=(-3)²-4×2×1＞0，故有两个不等实根。5.C解析：由作图知MN垂直平分AB，则BE为直径。圆周角∠BAC=30°，圆心角∠AOE=2∠BAC=60°。6.D解析：抛物线y=2x²+2x+1对称轴x=-0.5。A(-2,y₁)距对称轴较远，y₁＞1；B(1,y₂)在对称轴右侧，y₂=5＞1，但计算得y₁=13＞y₂。7.D解析：由图象，低光照时y=0.4对应x=600；中高光照时y随x增大先增后减，x=2000时非最大值。8.D解析：由几何关系得S₁=S₂（阴影面积相等），C₁=π(AC+BC)=πAB（定值），C₂=πCD⩽πAB/2。二、填空题9.m=2解析：代入x=1得1+m-3=0，解得m=2。10.y=-x²+2（满足a＜0且c=2即可）解析：开口向下需a＜0，过(0,2)则c=2。11.0.9解析：观察频率稳定值约为0.905，精确到0.1为0.9。12.π解析：由切线性质及∠ABE=15°得圆心角∠AOB=30°，弧长=30°/360°×2π×6=π。13.6√3解析：∠BAD=60°，BD为直径所对圆周角，BD=2×6×sin60°=6√3。14.x=-2或x=5解析：交点P、Q的横坐标为方程解。15.15°解析：旋转后A落在DE上，由几何关系得∠ACD=15°。16.（1）20；（2）1100解析：（1）全生产B，乙原料限制：4=20件。（2）设生产A为x件，B为y件，约束条件为2x+4y⩽60，4x+2y⩽80，y⩾x。利润最大化时x=10，y=10，总利润=50×10+60×10=1100元。三、解答题17.x=1±√2解析：配方得(x-1)²=2，解得x=1±√2。18.（2）半径=2.6m解析：设半径r，由勾股定理得(r-2.5)²+0.5²=r²，解得r=2.6。19.（1）Δ=9m²-8m²=m²⩾0；（2）m=1或3解析：（1）判别式非负，恒有实根。（2）由根与系数关系及2x₁-x₂=3，解得m=1或3。20.（1）y=x²+3x-2；（2）顶点(-1.5,-4.25)；（3）AB=4解析：（1）代入点解方程组得a=1，b=3。（3）平移后抛物线y=(x-3.5)²-3.25与y=2交点横坐标差为4。21.（1）作图略；（2）格点E需满足圆周角互补解析：旋转180°后对称作图；格点E需使A、B、C、E共圆。22.（1）1/4；（2）3/4解析：（1）四张卡片等概率，P=1/4。（2）树状图得不同主题概率=12/16=3/4。23.10%解析：设下降率为x，1200(1-x)²=972，解得x=0.1。24.（1）3.6，y=-0.1(x-4)²+3.6；（2）有效，无效解析：（1）顶点(4,3.6)。（2）机器人y(5)=3.5∈[3.2,3.5]有效；挑战者y(5)≈3.43∉[3.2,3.5]无效。25.（1）证∠E=∠DAB（弦切角定理）；（2）CD=2解析：（2）由中点及A