福建省部分高中学校高考适应性练习（一模）数学试题

2026届高中毕业班适应性练习卷数学注意事项：1．答题前，考生务必在练习卷、答题卡规定的地方填写自己的学校、准考证号、姓名．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本练习卷上无效．3．答题结束后，考生必须将练习卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据集合与集合中的元素特征可知两集合没有公共元素，可得结论.【详解】因为集合中所有元素为奇数，集合中的元素是集合中两个元素之和，而两个奇数之和必为偶数，所以集合中所有元素均为偶数。因此和没有公共元素，故．故选：D2.若复数满足，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先利用复数模的性质将所求式子进行化简，再结合已知条件求出，进而得到结果.【详解】．故选：D.3.设函数，则（）A8 B.9 C.5 D.4【答案】B【解析】【分析】分段函数根据不同的定义区间，计算出相应的函数值.【详解】由解析式可知，，可得．故选：B.4.若数据1，0，5，8，5的第百分位数为5，则正实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先将5个数按从小到大排序，再讨论是否为整数，从而得出范围.【详解】将5个数从小到大排序为：0，1，5，5，8.因为，要使第百分位数为5，进行如下讨论：如果为整数，则需取数据中第个和第个的数的平均数，只可能，即．如果为非整数，则需取数据中将整数部分加1所在位置的数，所以得到或解得，综上可得.故选C.5.在的展开式中的系数为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出展开式的通项公式，再结合多项式乘法法则求出展开式中含的项即可.【详解】依题意，，二项式展开式的通项为，因此的展开式中含的项为，所以所求系数为.故选：A6.设数列和分别是公差为45的等差数列和公比为45的等比数列，则（）A.2025 B.1980 C.2115 D.2070【答案】A【解析】【分析】利用等差数列、等比数列的通项公式计算即可.【详解】设，则，则，于是，解得，经检验满足条件，所以，故．故选：A7.已知平面与单位正方体相交得到一个六边形，若该六边形有3个内角是，则它的周长为（）A.3 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先借助正方体对面平行的性质，得出截面六边形的对边平行，进而推得六边形所有内角均为120°；再通过三线共点、角度关系得到相关线段相等，结合勾股定理表示出六边形各边的长度；最后利用正方体棱长为1，计算出六边形的周长.【详解】设单位正方体为正方体，截面为六边形EFGHIJ．因为这六点共面，而正方体的对面相平行，所以有．因此．又由于六边形有3个内角是，所以其所有内角均为．设，因为平面，而平面，，所以，即三线共点，同理可得两点．因为，所以，由勾股定理，可得，同理，，．进而，．所以六边形的周长为．故选：B8.已知双曲线与过轴正半轴上的一点的直线交于两点，直线分别和直线及直线交于两点，且在直线上顺次排列．设为坐标原点，若，那么直线的斜率为（）A. B.-5 C. D.【答案】D【解析】【分析】根据直线方程和所给角度可知，联立直线与双曲线方程并根据韦达定理以及射影定理可求得以，再由倾斜角定义以及两角和的正切公式代入计算可得直线的斜率.【详解】依题意作图如下：由，知．又，所以．因为直线与轴相交，可设直线的方程为．联立双曲线与直线的方程，整理得．故而．再将直线与直线及直线分别联立，得．所以，因此线段有相同的中点，故．因为，故由射影定理，有，所以．于是直线的斜率．故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知，若,分别表示中的较大者和较小者，则下列选项中，是命题“”的充要条件的有（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】首先明确充要条件的定义：若是的充要条件，则（能推出，也能推出）；再由已知的含义是且，逐一分析选项即可.【详解】选项A：若且，则，，是其中较大的数，一定大于这个较大的数，充分性成立；若，说明和都不为0（若其中一个为0，比如，则，不满足不等式），即且，必要性成立；因此A是充要条件；选项B：若且，则，，故，充分性成立；若，则且，即且，必要性成立；因此B是充要条件；选项C：若且，则，分式有意义且分子，故分式≠0，充分性成立；若，则（分母不为0）且，因此且，必要性成立；因此C是充要条件；选项D：存在反例：取，，此时，满足，但，故，不满足“”，所以充分性不成立，因此D不是“”的充要条件.综上，符合条件的选项是ABC.故选：ABC.10.设，且．若随机变量满足，则（已知若随机变量，则）（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】利用二项分布的期望与方差公式可判定A，利用随机变量的期望与方差公式可判定B、C，由正态分布的对称性可判定D.【详解】依据二项分布相关公式，．依据正态分布定义，．故而由期望可加性，A选项正确．由随机变量数学期望和方差的相关性质，，，因此B选项正确，C选项错误．由正态分布的相关性质，有，而，所以，D选项正确．故选：ABD11.已知函数（）的部分图象如图所示，将方程的所有正实数根从小到大排列得到，，，则（）A.B.存在正整数使得C.D.【答案】CD【解析】【分析】根据图象，可求得，判断A；由已知条件，可求得，进而可求得的值判断B；由，可求得和的值，再根据正弦函数的周期性和单调性，即可判断和的大小判断C；由，可得或判断D．【详解】由图可知，，，所以，即，所以，故A选项错误；因为，，所以，由图，，，解得，所以，又由于对任意正整数，除以4的余数总是0或1，所以，故B选项错误；由，所以，，又因，所以，故C选项正确；令，则或，其中为整数，则或，按大小排序后，可知，代入知满足D项等式，故D选项正确．故选：CD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知圆被轴分成长度比为的两段圆弧，则___________．【答案】【解析】【分析】根据给定条件，确定圆截轴所得弦对应圆心角大小，再按弦心距与半径的关系列式计算得解.【详解】圆，即的圆心在直线上，因此该圆在轴左侧的圆弧为劣弧，所对圆心角为，该圆圆心到轴距离是其半径的一半，则，所以.故答案为：13.若实数使得命题：“，使得，均有”是假命题，则的取值范围是___________．【答案】【解析】【分析】先将原命题的假命题转化为其否命题为真命题，再把式子视为关于的方程，利用判别式得到关于的不等式，最后分和两种情况分析，确定的取值范围.【详解】由题意可知，原命题的否命题：“，使得”是真命题．所以对任意实数，方程都有实数解．故而对任意固定的实数都有解．即关于的不等式对任意固定的实数都有解．对不等式分情况讨论：①.若,即.当时,不等式为,对任意显然有解.当时,关于的二次函数开口向上,其值域包含正数,故对任意,总存在使得.所以符合题意.②.若,即.关于的二次函数开口向下,其最大值为.要使不等式对任意都有解则需要其最大值对任意都非负,即对任意恒成立,这显然是不可能的.故不符合题意.因此，的取值范围是．故答案为：14.已知在四棱锥中，，，若，则四棱锥体积的最大值为___________．【答案】【解析】【分析】先由确定四点共圆且在平面上的射影为圆心，结合三角函数值与余弦定理推导边长关系，再用正弦定理求外接圆半径，通过勾股定理表示出高，将四棱锥体积转化为函数，利用求导求其最大值.【详解】由条件可知，四点共圆，点在平面上的射影即为该圆的圆心，并且为全等的等腰三角形．设，则．由上可知，，所以由余弦定理得，．两式相减，得，所以．两式相加，得，所以．所以．设圆的半径为，则由正弦定理知，所以．由条件，，所以由勾股定理，，可知．于是四棱锥的体积设函数，其中，求导得，可知在时取最大值，所以故，当时等号成立．故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．15.记的内角的对边分别为，已知．（1）求；（2）点在直线上，且．若，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用余弦定理得出，结合已知等式化简得，进而求出.（2）通过三角函数诱导公式确定角的大小，再借助与的面积比值关系，结合已知条件计算出的长度.【小问1详解】由余弦定理得，.所以由，故所以，又，所以，故而.小问2详解】由，知或.又或，所以只可能是或，分别解得或（舍去）,故只有如图情况，即在线段上，且．于是，，故.16.在统计一些敏感性问题的回答时，往往很难得到受调查者的诚实性答复．为了解决这一问题，我们往往需要适当地采用一些统计学方法，下面的例子给出了一个有效的手段．某地卫生部门派遣调查组前往当地某校问询校内学生的吸烟情况，很明显，如果直接询问这样的问题很难得到学生的诚实回答．为此，调查组成员想到了一个统计方法，首先设计了如下的调查问卷形式：问题甲：你父亲的生日日期是奇数吗？请用铅笔填涂相关选项：是□否□问题乙：你是否有吸烟的习惯？请用铅笔填涂相关选项：是□否□而后，准备好一个不透明盒子，其中放入足够多质量、大小、质地相同的小球，且其中红白两色小球各占一半，在受调查学校高一、高二、高三三个年段采用分层随机抽样的方式抽取共200名学生作为样本．让参与调查的学生轮流抽取盒子里的一个球，如果抽到了红色球，则需要回答问题甲；如果抽到了白色球，则需要回答问题乙．抽球和回答问卷时不安排人员监督，提交问卷时，只需上交其答案，而不需要透露其回答的问题内容．依据此方法，调查过程中共拿到了54张填涂“是”的答卷．（1）请说明此调查方式的合理性，并估计该校吸烟学生在总人数中所占的百分比；（2）为了更精确地了解该校学生的吸烟状况，调查组经商议决定让全校共6000名学生参与此次问卷调查．调查过程中共拿到了1836张填涂“是”的答卷，且其中有720张答卷来自女生．已知该校男女比例为1：1，请估计该校吸烟学生中男、女生的人数，并据此判断能否有99.9%的把握认为吸烟行为和性别相关联．附：，【答案】（1）答案见解析，3%（2）120；186；有99.9%的把握认为吸烟行为和性别有关联【解析】【分析】（1）根据题意，摸出1个白球或1个红球的概率都是0.5，根据题意，得到在回答问题甲的人中，大约有51人回答了“是”，在回答问题乙的人中，大约有3人回答了“是”，即可求解；（2）根据题意，得到女生人数约为人，男生人数约为人，里列出列联表，利用公式求得，结合附表，即可得到结论.【小问1详解】解：此调查方式的合理性在于，受调查者在调查过程中完全匿名，他们可以诚实地回答敏感性问题．每个学生从袋子里摸出1个白球或1个红球的概率都是0.5，即我们期望有100人回答了问题甲，因为回答父亲的生日日期是奇数的概率为，所以在回答问题甲的人中，大约有51人回答了“是”，因此在回答问题乙的人中，大约有3人回答了“是”，由此估计该校学生中大约有3%的人会吸烟.【小问2详解】解：依题意知，该校男生和女生各有3000人，同（1），可以估计该校对问题甲回答“是”的人数约为人，所以对问题乙回答“是”的人数约为人，即吸烟人数约为306人，其中女生人数约人，男生人数约为人，故有吸烟行为的女生约有120人，没有吸烟行为的女生约有2880人，有吸烟行为的男生约有186人，没有吸烟行为的男生约有2814人.作出列联表如下：性别吸烟情况合计有吸烟无吸烟男生12028803000合计30656946000零假设：吸烟行为和性别没有关联，由列联表，可知，所以，根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为吸烟行为和性别有关联，且该推断犯错误的概率不超过0.001，所以有99.9%的把握认为吸烟行为和性别有关联.17.如图，在圆锥中，为底面圆的直径，点为的中点，点在劣弧上，线段交于点，且．（1）证明：；（2）若，求直线和平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）.【解析】【分析】（1）连接，证得，得到，证得，再由平面，得到，利用线面垂直的判定定理，证得平面，即可证得.（2）法一：作，由勾股定理求得，得到，设为到平面的距离，利用等体积法，求得，结合线面角的定义法，即可求解；法二：以为原点，建立空间直角坐标系，不妨设，求得向量和平面的一个法向量为，结合向量的夹角公式，即可求解.【小问1详解】证明：连接，因为为的中点，知，又因为为直径，知，因为，所以，所以，又因为，所以，由圆锥的定义，可得平面，因为平面，所以，又因为，平面，，所以平面，因为平面，所以.【小问2详解】解法一：由，可得，所以．又由，所以，即，所以，故，设，则，且如图所示，作于，因为，所以，在直角中，由勾股定理得，所以，又因为，设为到平面的距离，则，所以，设直线和平面所成角为，可得，所以直线和平面所成角的正弦值为.解法二：因为为的中点，知，且平面，以为原点，以的方向分别为三轴的方向，建立空间直角坐标系，如图所示，不妨设，可得且为等边三角形，则，所以向量，设平面的法向量为，则，取，则．所以，设直线与平面的所成角为，则，所以直线和平面所成角的正弦值为.18.已知椭圆和圆，当椭圆与圆恰好只有两个交点时，或4．（1）求椭圆的方程；（2）当时，设直线与圆交于两点，与椭圆交于两点，且点不在轴上．（i）若为中点，求；（ii）求的最大值．【答案】（1）（2）（i）；（ii）.【解析】【分析】（1）由椭圆与圆恰好只有两个交点时，或4，画出分析得出的值即可；（2）（i）解法一：由题意画出图形，设，联立直线的方程与圆方程，解出的坐标，设点，利用点差法以及中点公式得出关于的方程解出即可；（i）解法二：由题意画出图形，设，联立直线的方程与圆方程，解出的坐标，设点，将直线的方程与椭圆联立，结合韦达定理以及中点公式得出关于的方程解出即可；（ii）解法一：作于，画出图形，利用平面向量基本定理以及向量数量积的坐标表示出，再结合点到线的距离公式以及基本不等式求最值即可；（ii）解法二：画出图形，利用平面向量数量积的坐标表示出，再结合基本不等式求最值即可；【小问1详解】由椭圆与圆恰好只有两个交点时，或4，如图所示：由图可得：则，所以椭圆的方程为.【小问2详解】解法一（i）由题意如图所示：设，将直线的方程与圆联立，得到：，消去，并整理得，因为不在轴上，所以，且，故，设点，因为都在椭圆上，所以，两式相减，得，因为是中点，所以，所以，即，又，代入得.因为，所以，解得，故所求的值为.（ii）作于，如图所示由垂径定理知，为中点，所以，故因为，所以由点到直线距离为：，即，所以，所以，将直线的方程与椭圆联立，得到消去，并整理得，其中，，根据韦达定理，有，所以，故，令，则，，当且仅当即，即时，等号成立，故的最大值为.解法二：（i）由题意如图所示：设，将直线的方程与圆联立，得到：，消去，并整理得，因为不在轴上，所以，且，故，所以，设点，将直线的方程与椭圆联立，得到：，消去，并整理得，其中，，根据韦达定理，有，因为是中点，所以，因为，所以，解得.故所求的值为.（ii）