小学《数学与彩票》数学建模知识点试卷

小学《数学与彩票》数学建模知识点试卷一、填空题（每题3分，共30分）彩票号码通常由数字组成，常见的彩票类型有乐透型、数字型等。例如，某彩票要求从1到35的数字中选择7个不重复的数字，这种彩票属于（）型彩票。在彩票游戏中，“中奖概率”指的是（）的可能性大小，通常用分数或百分数表示。假设某彩票的中奖号码由3个0-9的数字组成，每个数字可重复，那么总共有（）种可能的号码组合。数学建模的核心是将实际问题转化为（）问题，通过建立模型来分析和解决问题。在分析彩票中奖概率时，常用的数学方法包括（）、排列组合等。某彩票规定，中一等奖的条件是选中所有7个号码，若总共有35个号码可供选择，则中一等奖的概率为（）（用分数表示）。彩票的“返奖率”是指（）与彩票销售额的比例，通常用于衡量彩票的吸引力和公平性。在数学建模中，“模型假设”是为了简化问题而设定的前提条件，例如在分析彩票时，我们通常假设每个号码被选中的概率（）。假设某彩票的一等奖奖金为100万元，中一等奖的概率为1/500万，那么购买一张彩票的期望收益为（）元（不考虑其他奖项）。数学建模的步骤通常包括问题分析、（）、模型求解、模型检验和模型应用等。二、选择题（每题4分，共20分）以下关于彩票中奖概率的说法，正确的是（）。A.购买的彩票数量越多，中奖概率就一定越高B.彩票号码的选择与中奖概率无关，因为每个号码被选中的概率相等C.选择“热门号码”（如近期经常出现的号码）可以提高中奖概率D.彩票中奖是必然事件，只要坚持购买就一定会中奖某彩票游戏要求从1到10的数字中选择3个不重复的数字，若中奖号码与所选号码完全一致（不考虑顺序），则中一等奖。请问中一等奖的概率是多少？（）A.1/120B.1/1000C.3/10D.1/30数学建模在彩票分析中的作用不包括（）。A.计算中奖概率B.预测中奖号码C.分析彩票的公平性D.优化彩票的奖金设置假设某彩票的返奖率为50%，若某期彩票销售额为1000万元，则返奖奖金总额为（）。A.500万元B.1000万元C.2000万元D.无法确定在分析彩票问题时，以下哪种方法不属于数学建模的范畴？（）A.统计历史中奖号码的出现频率B.用计算机模拟彩票开奖过程C.凭直觉选择号码D.建立方程计算中奖概率三、简答题（每题10分，共30分）请简述数学建模的基本步骤，并结合彩票问题举例说明。某彩票游戏规则如下：从1到20的数字中选择5个不重复的数字，中奖号码由5个数字组成。若选中的数字与中奖号码完全一致（不考虑顺序），则中一等奖；若选中4个数字，则中二等奖；若选中3个数字，则中三等奖。请计算中一等奖、二等奖、三等奖的概率，并分析该彩票的中奖难度。结合实际生活，谈谈你对彩票的认识，以及数学建模在理性看待彩票中的作用。四、应用题（共10分）某地区发行了一种新的彩票，规则如下：彩票号码由4个0-9的数字组成，每个数字可重复。购买一张彩票需要2元，中奖规则如下：一等奖：4个数字完全相同，奖金10000元；二等奖：3个数字相同，奖金1000元；三等奖：2个数字相同，奖金100元；四等奖：1个数字相同，奖金10元；未中奖：无奖金。请你通过数学建模的方法，分析该彩票的中奖概率、返奖率，并对该彩票的合理性进行评价。参考答案及评分标准一、填空题（每题3分，共30分）乐透中奖1000数学概率统计1/C(35,7)（或1/6724520）返还给中奖者的奖金总额相等0.2模型假设二、选择题（每题4分，共20分）BABAC三、简答题（每题10分，共30分）参考答案：数学建模的基本步骤包括：问题分析：明确问题的目标和条件。例如，在彩票问题中，需要明确彩票的规则、中奖条件等。模型假设：简化问题，设定前提条件。例如，假设每个号码被选中的概率相等，中奖号码的产生是随机的。建立模型：将实际问题转化为数学问题。例如，利用排列组合计算中奖概率。模型求解：运用数学方法求解模型。例如，计算中一等奖的概率为1/C(n,k)（n为总号码数，k为选中的号码数）。模型检验：验证模型的合理性。例如，通过统计历史数据检验中奖概率的计算是否正确。模型应用：利用模型解决实际问题。例如，通过模型分析彩票的中奖难度，指导理性购买彩票。评分标准：步骤描述完整得6分，举例说明恰当得4分。参考答案：中一等奖的概率为1/C(20,5)=1/15504≈0.00645%；中二等奖的概率为C(5,4)C(15,1)/C(20,5)=515/15504≈0.0484%；中三等奖的概率为C(5,3)C(15,2)/C(20,5)=10105/15504≈0.677%。分析：中一等奖的概率极低，说明该彩票的中奖难度很大；中二等奖和三等奖的概率也较低，整体中奖难度较高。评分标准：概率计算正确得6分，分析合理得4分。参考答案：彩票是一种娱乐方式，同时也是一种公益事业（部分彩票收入用于公益事业）。但需要理性看待彩票，认识到中奖概率极低，不能将其视为一种投资方式。数学建模可以帮助我们计算中奖概率，分析彩票的返奖率，从而理性看待彩票，避免过度投入。评分标准：认识全面得5分，数学建模的作用分析合理得5分。四、应用题（共10分）参考答案：计算中奖概率：一等奖：4个数字完全相同，共有10种可能（0000、1111、…、9999），概率为10/10000=0.1%；二等奖：3个数字相同，例如“AAAB”形式，共有10（A的选择）*9（B的选择）*4（位置的选择）=360种，概率为360/10000=3.6%；三等奖：2个数字相同，例如“AABB”或“AABC”形式。其中“AABB”形式有C(10,2)C(4,2)=456=270种；“AABC”形式有10C(9,2)C(4,2)=10366=2160种。总共有270+2160=2430种，概率为2430/10000=24.3%；四等奖：1个数字相同，即只有1个数字与中奖号码相同，共有C(4,1)999=4729=2916种，概率为2916/10000=29.16%；未中奖：概率为1-0.1%-3.6%-24.3%-29.16%=42.84%。计算返奖率：返奖率=（一等奖奖金一等奖概率+二等奖奖金二等奖概率+三等奖奖金三等奖概率+四等奖奖金四等奖概率）/彩票价格=（100000.001+10000.036+1000.243+100.2916）/2=（10+36+24.3+2.916）/2=73.216/2≈36.61%。评价：该彩票的返奖率约为36.61%，低于常见彩票的返奖率（通常在50%左右），说明该彩票的中奖收益较低。同时，一等奖的概率极低，中奖难度较大。因此，该彩票的合理性有待商榷，购买时需谨慎。评分标准：概率计算正确得4分，返奖率计算正确得3分，评价合理得3分。试卷设计说明本试卷以