第30讲：直线的倾斜角与斜率直线的方程（知识梳理+题型总结）（教师版）

【第31讲：直线的倾斜角与斜率，直线的方程】【新高考课程标准要求】1.直线的倾斜角与斜率：理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式，能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直。2.直线的方程：掌握直线方程的点斜式、两点式及一般式，了解直线方程与一次函数的关系，会用代数的方法解决直线的有关问题，如求两直线的交点，判断两条直线的位置关系等。【知识梳理】一、直线的倾斜角与斜率（一）核心知识梳理1.倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴正方向按逆时针方向绕着交点旋转到和直线重合时所转过的最小正角，叫做直线的倾斜角。当直线与x轴平行或重合时，其倾斜角为，倾斜角的取值范围是。2.斜率：当直线的倾斜角时，其斜率；当直线的倾斜角时，直线的斜率不存在。过两点，（）的直线的斜率公式为。3.斜率与倾斜角的关系：倾斜角在时，斜率，且越大，越大；倾斜角在时，斜率，且越大，越大。4.两直线斜率与位置关系：设两条不重合直线，的斜率分别为，，若，则（当两直线斜率都不存在时，两直线也平行）；若，则（当一条直线斜率为，另一条直线斜率不存在时，两直线也垂直）。（二）常用结论1.若直线的斜率为，则倾斜角满足：当时，；当时，。2.已知两点，，若，则直线垂直于x轴，倾斜角为，斜率不存在；若，则直线平行于x轴，倾斜角为，斜率为。3.若两条直线：，：，则且；与重合且。（三）微点提醒1.倾斜角的范围是，不是，解题时切勿忽略该范围导致错误，比如认为倾斜角为，这是不符合定义的。2.斜率不存在的直线是垂直于x轴的直线，在求直线方程或判断直线位置关系时，不能只考虑斜率存在的情况，要兼顾斜率不存在的特殊情形，否则易漏解。3.利用斜率公式计算时，要注意两点横坐标不能相等，若横坐标相等，直接判断斜率不存在，避免因代入公式计算导致无意义的结果。二、直线的方程（一）核心知识梳理1.点斜式：已知直线过点，斜率为（斜率存在），则直线方程为。该形式不能表示垂直于x轴的直线。2.斜截式：已知直线斜率为，在y轴上的截距为（斜率存在），则直线方程为。同样不能表示垂直于x轴的直线。3.两点式：已知直线过两点，（，），则直线方程为。不能表示垂直于x轴和垂直于y轴的直线。4.截距式：已知直线在x轴上的截距为，在y轴上的截距为（，），则直线方程为。不能表示过原点、垂直于x轴和垂直于y轴的直线。5.一般式：任何直线都可以表示为（，不同时为）的形式。当时，直线斜率为；当时，直线垂直于x轴，斜率不存在。（二）常用结论1.过定点的直线方程：若直线方程中含有参数，可通过整理方程，将参数分离，令参数的系数和常数项分别为，求解方程组得到直线恒过的定点。例如，直线（为参数），整理为，令，得定点。2.直线在坐标轴上截距的求法：在直线方程中，令，得x轴截距（）；令，得y轴截距（）。3.两直线交点坐标的求法：求两条直线：，：的交点，只需解方程组，方程组的解即为交点坐标。（三）微点提醒1.利用不同形式的直线方程求解时，要注意各自的适用条件，避免因忽略限制条件而导致漏解或错解。比如用截距式求直线方程时，不能遗漏过原点的直线情况。2.直线的截距是直线与坐标轴交点的横（纵）坐标，可正、可负、可为，不要误认为截距一定是正数，比如直线在x轴和y轴上的截距都为。3.将直线方程化为一般式时，要保证，不同时为，且通常使为非负数，若为负数，可两边同乘进行整理，符合一般式的规范形式，方便后续计算和判断。【课前自测】一、单选题1．（2025·宁夏中卫·三模）若直线：与直线：平行，则（

）A．4 B．1 C．1或-4 D．-1或4【答案】D【分析】根据直线一般方程的平行关系求的值，并代入检验即可.【详解】依题意得，，得，解得或，若时，直线与直线平行，符合题意；若时，直线与直线平行，符合题意；综上所述：或．故选：D2．（2024·河北·模拟预测）点到直线的最大距离是（

）A． B．2 C． D．不存在【答案】D【分析】求出直线l所过的定点，利用两点间距离公式并结合判断是否存在最值，即可求解答案.【详解】直线即，令，解得，即直线过定点，设为B，当直线与l垂直时，点到直线的距离最大，即为，此时的斜率为，则l的斜率为2，故，方程无解，即直线l和不可能垂直，则点到直线l的距离小于，不存在最大值，故选：D二、多选题3．（25-26高二上·全国·期中）已知直线：，直线：，则（

）A．当时，与的交点是B．直线与都恒过C．若，则D．，使得【答案】ABC【分析】将代入，联立两直线方程即可求得交点，则A可解；由直线过定点问题可求B；由直线垂直的条件可判断C；由直线平行的条件可判断D.【详解】对于A，当时，直线，直线，联立，解得，所以两直线的交点为，故A正确；对于B，将点代入的方程，两方程对任意参数都成立，所以直线与都恒过，故B正确；对于C：若，则，解得，故C正确；对于D，假设存在，使，则，解得或，当，，，两直线重合，舍去，当时，，即，，即，两直线重合，舍去，所以不存在，使，故D错误.故选：ABC.4．（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线，，则下列说法正确的是（

）A．的充要条件为或B．若，则C．若直线不经过第四象限，则D．若，则将直线绕坐标原点按逆时针方向旋转，再向右平移一个单位长度，所得直线方程为【答案】BCD【分析】利用两直线平行的结论结合充要条件的定义可判断A；.根据两直线垂直的结论可判断B；由直线方程，求得斜率与截距，建立不等式组，求解即可判断；先得到逆时针旋转后的直线方程，再根据左右平移求出平移后的直线方程，即可判断D.【详解】对于A，显然直线的斜率存在，若，则，解得或，经检验时，这两条直线重合，所以，故充要条件不是“或”．故A不正确；对于B，若，则，解得．故B正确；对于C，若直线不经过第四象限，则，解得．故C正确；对于D，若，则直线，将其绕坐标原点按逆时针方向旋转，得到直线，再向右平移一个单位长度，所得直线方程为，故D正确.故选：BCD三、填空题5．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）若直线的截距之和为2，且，则的最小值为.【答案】【分析】将直线方程化成截距式，依题得到，利用“1”的妙用结合基本不等式即可求得答案.【详解】将直线转换为截距式，即，则，由，当且仅当，即时取等号，故得的最小值为.故答案为：.6．（2025·陕西汉中·三模）若直线过点，且其一个方向向量为，则直线的方程为.【答案】【分析】用直线的方向向量可以确定直线的斜率，然后利用点斜式方程求出直线方程.【详解】由题意可知，直线的斜率为.而直线过点，所以直线方程为，即：.故答案为：.7．（2025高三·全国·专题练习）直线倾斜角的取值范围是．【答案】【分析】先求斜率的取值范围，根据倾斜角和斜率的关系，分情况讨论即可.【详解】由.所以直线的斜率为：.设倾斜角为，则（）.所以当时，；当时，.综上，倾斜角的取值范围为：.故答案为：8．（25-26高二上·全国·课后作业）函数的最大值为，最小值为．【答案】/0【分析】方法一，利用辅助角公式：（为辅助角）；方法二，利用几何意义求解.【详解】方法一：可化为，即，即，解得．方法二：的几何意义是过和两点的直线的斜率，而在单位圆上，因此表示过点与圆上一点的直线的斜率，如图所示，要求的最值在直线和圆相切时取得．显然直线的斜率存在，令直线方程为，即，则原点到直线的距离为，即，解得或，故函数的最大值为，最小值为0．故答案为：①；②0.题型题型分类知识讲解与常考题型【考点一：直线的倾斜角与斜率】【例题】1．（25-26高二上·全国·课后作业）下列叙述正确的是（

）A．平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率B．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为C．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或D．若直线与轴相交，其向上的方向与轴正方向所成的角为，则其倾斜角为【答案】C【分析】根据倾斜角与斜率的关系，数形结合依次判断各项的正误.【详解】A：任意一条直线都存在倾斜角，但倾斜角为的直线不存在斜率，错；B：由于直线倾斜角的取值范围是，因此不在此范围内时不是直线的倾斜角，如当时，直线斜率，但直线倾斜角为，错；C：与轴垂直的直线的倾斜角是，与轴垂直的直线的倾斜角是，对；D：如图，当向上方向的部分在轴左侧时，倾斜角为；当向上方向的部分在轴右侧时，倾斜角为，错．故选：C2．（25-26高二上·全国·课后作业）若过点，的直线的倾斜角的取值范围是，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】结合倾斜角与斜率的关系，分斜率不存在与斜率存在计算即可得.【详解】当时，直线的斜率不存在，两点横坐标相等，即；当时，直线的斜率存在，则或，解得或；综上所述，实数的取值范围是.故选：B.【针对训练】3．（25-26高二上·全国·课后作业）经过点作直线，若直线与连接点，的线段没有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是．【答案】【分析】根据直线与线段无交点，应用数形结合求倾斜角的范围.【详解】如图所示，直线与线段没有公共点，若为直线的倾斜角，

直线可从直线逆时针旋转到直线的位置，注意包含直线倾斜角为的情况，，，直线的区域包含倾斜角为的情况，斜率或，从而或，又，结合正切曲线可得．故答案为：4．（25-26高二上·全国·课后作业）已知点，，若，则直线的倾斜角的取值范围为．【答案】【分析】利用斜率的两点公式及已知得，结合正切函数的图象及倾斜角的范围确定直线的倾斜角的取值范围.【详解】若直线的倾斜角为，则且，如下图示，

由图知，直线的倾斜角的取值范围为.故答案为：5．（2025高三·全国·专题练习）过点的直线倾斜角，那么的取值范围是．【答案】【分析】先根据倾斜角的取值范围确定直线斜率的取值范围，在利用表示斜率，解不等式即可.【详解】因为直线倾斜角的取值范围为，所以直线斜率的取值范围为：或.又，由；由.所以.故答案为：【解题策略】题型1：求直线的斜率（已知两点/倾斜角/直线方程）解题步骤：1.判存在性 两点：若，则斜率不存在，此时倾斜角；若，则可计算斜率。 倾斜角：当时，斜率不存在；否则，利用公式计算斜率。 直线方程（）：若，斜率不存在；若，则。2.代公式计算 两点：运用公式，注意坐标差值与坐标差值顺序需一致。 倾斜角：当时，为负值，例如时，。 方程：可将直线方程化为斜截式，注意符号问题，如，。3.验结果：确保斜率正负与倾斜角区间相匹配，斜率为正，倾斜角；斜率为负，倾斜角。关联内容： 教材（人教版必修二）：P89例1（通过两点求斜率）、P90例2（由倾斜角求斜率）。 高考真题：2023年全国甲卷文T7（已知倾斜角为另一直线倾斜角的2倍，求该直线斜率，需注意）。题型2：求直线的倾斜角（已知斜率/两点/直线方程）解题步骤：1.求斜率：已知斜率直接使用；若已知两点或直线方程，先计算斜率。若斜率不存在，则倾斜角。2.定倾斜角 当时，，例如时，。 当时，，例如时，。3.验边界：需排除倾斜角计算结果超出的情况，如、等。当时，。关联内容： 教材：P90例3（根据负斜率求倾斜角）。 高考真题：2024年浙江高考T3（对于分段直线，需分（此时）和（此时）两种情况分析倾斜角）。题型3：斜率与倾斜角的范围互化（含参数）解题步骤：1.明确转化方向 已知求：将的范围分为和两部分，利用正切函数在和上的单调性进行求解。 已知求：若区间包含，则；若不包含，直接利用正切函数单调性求的范围。2.画图像辅助：借助在的函数图像，直观辅助分析，避免推导错误。3.合并区间：注意合并区间时端点是否包含，例如当时，。关联内容： 教材：P91练习T6（已知求的范围）。 高考真题：2022年新高考I卷T14（已知，求的范围为）。题型4：两直线平行/垂直的斜率判定（含参数）解题步骤：1.分情况判斜率 均存在（设为）：两直线平行，则且截距不相等；两直线垂直，则。 一存一不存：这种情况下两直线不可能平行；若一条直线斜率存在，另一条不存在，则两直线一定垂直。 均不存在：两直线一定平行，不可能垂直。2.列方程求解（含参数）：先根据直线方程求出斜率（注意方程中系数为0的特殊情况），再依据平行或垂直条件列出方程求解。3.验结果：对于平行的情况，需排除两直线重合的可能性，例如若两直线方程系数成比例，则两直线重合。关联内容： 教材：P93例5（判断直线与是否平行）。 高考真题：2024年北京高考T8（已知含参数直线垂直，解得或）。三、避坑思维链1.读题时圈画出“垂直轴”“倾斜角”等特殊条件。2.解题前先判断“斜率是否存在”，再代入相应公式计算。3.计算过程中关注符号（如）和范围。4.对于平行问题，必须验证两直线是否重合；倾斜角的取值范围必须在内。【考点二：直线方程】【例题】1．（2025高二·全国·专题练习）已知的三个顶点分别为，，，求：(1)边和所在直线的方程；(2)边上的中线所在直线的方程；(3)边上的垂直平分线所在直线的方程；(4)边上的高所在直线的方程．【答案】(1)，(2)(3)．(4)．【分析】（1）解法1：利用两点式和截距式将点坐标代入即可求解；解法2：先利用斜率公式求出直线斜率，再利用点斜式求解即可；（2）先利用中点坐标公式求出点坐标，再利用两点式或利用斜率公式和点斜式求解即可；（3）由垂直平分线的定义，利用斜率公式和点斜式求解即可；（4）由高的定义求得高所在直线的斜率，利用点斜式求解即可.【详解】（1）解法1：由两点式得边所在直线方程为，即．由截距式得边所在直线方程为，即．解法2：因为，所以边所在直线方程为，即．因为，所以边所在直线方程为，即．（2）解法1：设的中点为，由中点坐标公式可得，由两点式得所在直线方程为，即．解法2：设的中点为，由中点坐标公式可得，则，所以所在直线方程为，即．（3）因为，的中点，所以边上的垂直平分线所在直线方程为，即．（4）因为，，所以边上的高所在直线方程为，即．2．（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线，，其中为实数．(1)当时，求的值；(2)当时，求过直线的交点，且垂直于直线的直线方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据两直线平行，列出关于m的方程，即可求得答案；（2）解方程组求出直线的交点，再根据直线的垂直关系，利用直线的点斜式，即可求得答案.【详解】（1）由得，解得，经检验，符合题意,故；（2）当时，，联立，解得，即直线的交点为，又直线的斜率为，故过直线的交点，且垂直于直线的直线方程为，即．【针对训练】1．（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线l过点．(1)从下面两个条件中任选一个，求直线l的方程．条件①：直线l的倾斜角比直线的倾斜角大；条件②：直线l的一个方向向量为．(2)若点在直线l上，且，求的取值范围．注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．【答案】(1)所选条件见解析，；(2).【分析】（1）根据所选条件，由倾斜角与斜率的关系或方向向量求，再应用点斜式写出直线方程；（2）根据的几何意义，数形结合法求其范围即可.【详解】（1）选①：因为直线的斜率为，所以其倾斜角为，则l的倾斜角为，可知l的斜率，所以l的方程为，即．选②：由直线l的一个方向向量为，可知l的斜率，所以l的方程为，即；（2）表示与点连线的斜率．又是直线l在部分上的动点，作图如下：则，直线AB的斜率不存在，则，即的取值范围为.2．（24-25高二上·江苏镇江·阶段练习）设m为实数，直线在x轴、y轴上截距之和等于1，且与x轴的交点记作A．(1)求点A的坐标；(2)直线过点A且倾斜角是直线倾斜角的2倍，求直线的方程【答案】(1)(2)【分析】（1）把直线一般式化为截距式方程，结合题意进行求解即可；（2）根据直线斜率与倾斜角的关系，结合二倍角的正切公式、直线的点斜式方程进行求解即可.【详解】（1）因为，所以由，由题意可知：，因为，所以点A的坐标为；（2）由（1）可知，所以有直线，设直线倾斜角为，则有，所以直线的倾斜角为，设直线的斜率为，则有，所以直线直线的方程为：.3．（23-24高二下·上海·期中）已知点，．(1)设，若直线与直线垂直，求的值；(2)求过点且与直线夹角的余弦值为的直线方程．【答案】(1)(2)或【分析】（1）根据直线垂直即可求解；（2）先对用正弦定理，得到的正弦值，对用正弦定理，得到，设出交点求解二次方程即可求解.【详解】（1）直线的斜率为，因为直线与直线垂直，所以，所以；（2）如图点为过点且与直线夹角的余弦值为的直线与直线的交点，点为直线与轴的交点，点为直线与直线的交点，点为过点作轴的垂线交直线的交点，，，设夹角为，因为，所以，因为，，所以在中，，所以，因为，所以在中，，所以，所以，易知，设交点坐标为，所以，所以或，所以交点坐标为或，所以直线方程为或，即或.【解题策略】题型1：求直线方程（已知点、斜率、截距等）1.高频错因 忽略方程适用条件：用点斜式求斜率不存在的直线（如垂直x轴的直线）；用截距式求过原点的直线（截距为0）。 符号计算失误：化一般式为斜截式时错算斜率；两点式中分子分母顺序颠倒。2.方法提炼 选方程形式前，先判断斜率是否存在、截距是否为0，确保形式与条件匹配。 已知一点+倾斜角（非90°），优先用点斜式；倾斜角为90°，直接写。 已知一点+垂直关系，先求垂直直线斜率，再用点斜式。 最终方程优先化为一般式（，非负），方便后续计算。3.防错要点 草稿纸标注适用条件，如“斜率存在→用点斜式”“过原点→不用截距式”。 计算时反复核对符号，尤其是一般式化斜截式的斜率计算。题型2：直线方程与截距、距离结合（含参数）1.高频错因 截距概念混淆：将截距等同于距离（忽略截距可负）；忽略截距为0的情况（如“截距相等”漏解过原点的直线）。 参数讨论不全面：含参数直线求定点时，不会分离参数，错认为参数无法消去。2.方法提炼 明确截距定义：x轴截距是令的x值，y轴截距是令的y值，截距可正、可负、可为0。 截距相等问题分两类：截距不为0时用；截距为0时用。 含参数直线求定点，用参数分离法：将含参数与不含参数的项分开，令系数均为0，解方程组得定点。 涉及截距的面积计算，需对截距取绝对值，避免符号错误。3.防错要点 遇“截距”相关题目，先写清截距定义，含“截距相等/互为相反数”必分“截距为0”和“不为0”两类。 参数分离时，确保参数前系数整理完整，再令系数和常数项为0。题型3：两直线位置关系与直线方程结合1.高频错因 平行判断忽略“不重合”验证：仅看斜率相等，未确认截距或方程系数是否成比例，误将重合当平行。 垂直判断漏算特殊情况：只考虑斜率均存在的情况，忽略“一存一不存”的垂直情形。2.方法提炼 判断平行：先分斜率“均存在”“一存一不存”“均不存在”三类，斜率相等时必验证截距是否相等（或系数是否成比例），排除重合。 判断垂直：先讨论斜率是否存在，“一存一不存”时直接判定垂直；“均存在”时验证斜率乘积是否为-1。 求过两直线交点且满足特定条件的直线方程：先解方程组求交点，再根据平行/垂直关系定斜率，最后用点斜式写方程。3.防错要点 平行判断必补“不重合”验证，垂直判断必覆盖“斜率不存在”情况。 含参数的位置关系题，求出参数后必代入原直线方程验证。【考点三：直线方程的综合应用】【例题】1．（24-25高二上·辽宁沈阳·阶段练习）已知动直线过定点.(1)求的坐标：(2)若直线与、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，是否存在直线满足下列条件：①的周长为；②的面积为.若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.(3)若直线与、轴的正半轴分别交于、两点，当取得最小值时，求直线的方程.【答案】(1)(2)存在，且直线的方程为(3)【分析】（1）将直线的方程可化为，解方程组，可得出点的坐标；（2）设直线的截距式方程，代入定点，再分别表示的周长和面积，求解参数、即可；（3）由（1）直线的倾斜角，再根据三角函数表达出，令，再根据三角函数的范围与函数的单调性求解即可【详解】（1）解：直线的方程可化为，由，解得，故直线过定点．（2）解：设直线l的方程为，将代入得．①由、，的周长为，面积为，得，令，则，所以，即，化简得，解得，所以有，解得或．其中不满足①，满足①．所以存在直线的方程为，即满足条件．（3）解：由（1）可知直线l过定点，直线与轴、轴的正半轴分别交于、两点，所以直线的倾斜角，所以，，所以，②令，因为，所以，所以，所以．则，因为在上为减函数，所以在上为增函数，故当，即时，取得最小值．此时直线l的方程为，即．【点睛】关键点点睛：解本题第（3）问的关键在于引入角，利用几何关系将、用含的三角函数式表示，再结合三角恒等变换结合三角函数的有界性来求最值.2．（23-24高二上·安徽六安·期中）过定点的直线与过定点的直线交于点（与不重合），则面积的最大值为（

）A．4 B． C．2 D．【答案】B【分析】根据方程可得定点A、B，并且可判断两直线垂直，然后利用基本不等式可得.【详解】动直线化为，可知定点，动直线化为，令，解得，可知定点，又，所以直线与直线垂直，为交点，.则，当且仅当时，等号成立.即面积的最大值为.故选：B.【针对训练】1．（23-24高二上·江苏常州·阶段练习）已知圆，．(1)求过点且与相切的直线方程；(2)直线l过点，且与x轴、y轴正半轴分别交于A、B两点．求的最小值，并求此时直线l的方程．【答案】(1)和；(2)最小值为12，直线l的方程为x+y-5＝0.【分析】（1）分斜率存在和斜率不存在两种情况考虑，当斜率存在时，根据相切时圆心到直线的距离等于半径求切线方程；（2）设直线的方程为，根据A，P，B三点共线得到，然后利用基本不等式求最值即可.【详解】（1）因为圆，圆心为，半径为2，，由题知点在圆外，故过点作的切线有两条，当切线斜率不存在时，，显然是的切线；当切线斜率存在时，可设切线方程为，即，由点到直线的距离公式可得：，解得，即，综上，可得切线方程为：和.（2）设直线l的方程为，其中a>0，b>0，，因为过点P（2，3），所以，因为A，P，B三点共线，所以，因为，当且仅当a＝5，b＝5时取等号，所以，此时直线l的方程为x+y-5＝0，综上，的最小值为12，直线l的方程为x+y-5＝0.2．（22-23高二上·福建福州·期中）已知直线的方程为，若直线在轴上的截距为，且．(1)求直线和的交点坐标；(2)已知直线经过与的交点，且与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积为，求直线的方程．【答案】(1)；(2)或.【分析】（1）由，可得直线的斜率，从而可得，联立方程组即可求得交点；（2）由题意知的斜率k存在，设，求得与坐标轴的交点坐标，再结合面积公式即可求解.【详解】（1）（1）因为，又直线的斜率,所以直线的斜率,则.由所以直线和的交点坐标为.（2）由题意知的斜率k存在，设令得，令得，因为直线与两坐标轴的正半轴相交，所以，解得，，解得或，即或.3．（22-23高二上·河北邢台·阶段练习）已知直线：，.(1)证明直线过定点，并求出点的坐标；(2)在（1）的条件下，若直线过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的，求直线的方程；(3)若直线不经过第四象限，求的取值范围.【答案】(1)证明见解析，点的坐标为(2)或(3)【分析】（1）化简方程为直线系方程的形式，组成方程组解出直线过的点；（2）根据题意分直线过原点、不过原点讨论，分析解决即可；（3）分①，②，③，且三种情况进行讨论分析解决.【详解】（1）证明：整理直线的方程，得，所以直线过直线与的交点，联立方程组，解得，所以直线过定点，点的坐标为.（2）当截距为0时，直线的方程为，即，当截距不为0时，设直线的方程为，则，解得，直线的方程为，即，故直线的方程为或.（3）当时，直线的方程为，符合题意；当时，直线的方程为，不符合题意；当，且时，，所以解得或，综上所述，当直线不经过第四象限时，的取值范围是：.【解题策略】一、核心解题思路总纲直线方程的综合题（常融合距离、参数、位置关系），需遵循“先拆解条件→再选工具（方程形式/公式）→最后验证约束（参数范围/几何意义）”三步原则。核心是：以教材基础公式（如点到直线距离、斜率与位置关系）为“根”，以高考真题中“多条件融合”的变形为“枝”，避免因忽略“特殊情况（斜率不存在、截距为0）”或“公式适用前提”导致漏解。二、分题型解题策略（含教材/真题衔接）题型1：直线方程与距离结合（点到直线、两平行线距离）解题步骤（固化流程）：1.定“已知”与“待求”：明确已知条件（如定点、已知直线、距离值）和待求目标（如直线方程、参数值），标注关键数据（如点坐标、距离）。2.设直线方程（选最优形式）： 若已知定点，优先设点斜式（），需补“斜率不存在”的特殊情况（直线垂直x轴，方程为）； 若已知直线与某直线平行/垂直，先求斜率（平行→斜率相等，垂直→斜率乘积为-1），再设对应形式（如平行于，设为，避免重复计算斜率）。3.用距离公式列方程： 点到直线距离：将待求直线化为一般式（），代入公式（必化一般式，否则公式用错）； 两平行线距离：确保两直线x、y系数对应相等（如与），代入公式（系数不相等时先整理，如与，先化为与）。4.解方程+验证：求解距离方程得参数（如斜率、截距），代入直线方程，验证是否符合所有已知条件（如是否过定点、是否与已知直线平行）。教材衔接（基础溯源）： 核心公式来自教材中“点到直线的距离”“两平行线的距离”定义（如人教版必修二“平面解析几何”章节），教材例题多为“单条件距离计算”（如已知直线和点，求距离），综合题是在此基础上增加“待求直线”的条件（如已知距离和定点，求直线方程），本质是“公式逆用+分类讨论”。高考适配（变形应对）： 真题常考“多距离条件融合”，如“求过点且到点距离为2，同时到点距离为的直线方程”——需先设方程，列两个距离方程，联立求解，最后验证直线是否存在（避免方程无解的情况）。 防错要点：①距离公式中直线必化一般式；②设点斜式必补“斜率不存在”的情况（如求过且到距离为2的直线，斜率不存在时，距离为2，符合条件，易漏解）。题型2：含参数的直线方程综合题（平行/垂直+定点+距离）解题步骤（固化流程）：1.分离参数：先找“定点”或“不变关系”： 若直线方程含参数（如），用“参数分离法”整理为“参数×（含x,y的项）+（不含参数的项）=0”（如），令参数的系数和常数项均为0，解得定点（如）——这是解决“含参数直线过定点”的核心方法。2.列条件方程：结合位置关系/距离： 若涉及平行/垂直，按位置关系条件列方程（平行→斜率相等且截距不等，垂直→斜率乘积为-1或一存一不存）； 若涉及距离，代入距离公式列方程（注意直线化一般式）； 若含多个条件，联立方程求解参数（需注意参数的取值范围，如斜率不存在时的参数值）。3.验证：排除“无效参数”： 代入参数值，检查直线是否满足所有条件（如平行时是否重合、距离是否符合要求），避免因“忽略约束条件”导致增解（如参数使直线斜率不存在，但题目隐含斜率存在的条件，需排除）。教材衔接（基础溯源）： 教材中“含参数的直线方程”多为“单条件求解”（如已知平行求参数），综合题是“多条件叠加”（如过定点+平行+距离），但核心方法仍基于“直线方程形式”“位置关系判定”“距离公式”，需将教材中的“单考点方法”整合为“多考点联立方法”。高考适配（变形应对）： 真题常考“参数的范围问题”，如“已知直线与圆相交，求k的取值范围”——先找直线定点，再计算定点到圆心的距离（2，等于半径），可知直线过圆上一点，故k的取值范围为全体实数（除斜率不存在的情况，此处直线斜率为k，存在），避免错用“圆心到直线距离小于半径”的常规方法（虽也可解，但找定点更简便）。 防错要点：①参数分离时确保“参数项与常数项完全分离”；②联立方程后必验证参数是否使直线方程有意义（如分母不为0、斜率存在与否符合条件）。三、通用解题思维链（避坑版）1.读题标条件：用“△”标注“定点”“距离值”“平行/垂直”“参数”等关键信息，尤其注意“隐含条件”（如“直线与圆相交”→圆心到直线距离小于半径）；2.选工具匹配：根据条件选直线方程形式（如定点→点斜式，平行→平行直线系）、选公式（距离→点到直线公式）；3.分情况讨论：优先考虑“斜率不存在”“截距为0”“参数使方程无意义”等特殊情况，再处理一般情况；4.验证收尾：解完后代入所有已知条件，检查是否漏解（如两解只算一解）、错解（如符号错误）、增解（如参数使直线重合）。四、实战备考建议1.基础阶段：抓教材“单考点”迁移 先练教材中“直线方程+距离”“直线方程+位置关系”的基础题，确保能快速写出直线方程形式、准确代入距离公式，如“求过点且平行于的直线方程”，熟练后再叠加条件。2.提升阶段：攻高考“多条件”变形 聚焦近5年高考真题中的综合题，总结“定点+距离”“参数+平行/垂直”等常见组合，如“过定点的直线与两坐标轴围成三角形，求面积最小值”，提炼“先设方程→求截距→列面积函数→求最值”的固定流程。3.冲刺阶段：练“动态参数”分析 针对“参数变化时直线的位置变化”（如变化时，直线的运动轨迹），用“定点法”分析，避免硬算，提升解题速度。课后针对训练课后针对训练一、单选题1．（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线经过两点，直线的倾斜角为，若与平行，则（）A． B．2 C．3 D．62．（24-25高二下·河南南阳·期末）已知直线与直线垂直，则实数的值为（

）A． B． C． D．3．（25-26高二上·全国·课后作业）下列说法一定正确的是（

）A．过点的直线方程为B．直线在轴上的截距为2C．直线的倾斜角为D．过，两点的直线方程为4．（25-26高二上·全国·课后作业）已知直线，当变化时，直线总是经过定点，则定点坐标为（

）A． B． C． D．5．（25-26高二上·全国·课后作业）设A，是轴上的两点，点的横坐标为2，且，若直线的方程为，则直线的方程是（）．A． B．C． D．二、多选题6．（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线l过点，，则（

）A．点在直线l上B．直线l的两点式方程为C．直线l的一个方向向量的坐标为D．直线l的截距式方程为7．（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线，则下列结论正确的是（）A．直线可能与轴垂直 B．当时，直线的倾斜角为C．当时，直线与直线平行 D．当时，直线与直线垂直三、填空题8．（24-25高二上·上海·阶段练习）直线的倾斜角为．9．（25-26高二上·全国·课后作业）已知定点，若直线过定点且方向向量是，直线过定点且方向向量是，直线在轴上的截距是，直线在轴上的截距是，则．10．（2025高三·全国·专题练习）设，若点在线段上，则的取值范围是．11．（2025高二·全国·专题练习）若三点，，共线，则．四、解答题12．（24-25高二下·上海杨浦·开学考试）已知直线.(1)若直线不经过第四象限，求的取值范围；(2)已知，若点到直线的距离为，求最大时直线的一般式方程.13．（25-26高二上·全国·单元测试）已知的两条边所在直线的方程分别是：，且它的对角线的交点是．(1)求顶点的坐标；(2)求这个平行四边形另外两条边所在直线的斜截式方程；(3)求的面积．14．（25-26高二上·全国·单元测试）已知两直线，．(1)求直线与的交点的坐标；(2)求过直线交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程；(3)若直线与直线能构成三角形，求实数的取值范围．15．（2025高二·全国·专题练习）求适合下列条件的直线方程：(1)过点且在两坐标轴上的截距相等；(2)过点且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形．参考答案题号1234567答案DBDBABDBD1．D【分析】根据A，B两点坐标得出的斜率，根据直线的倾斜角为得出的斜率，由与平行得出，可解出.【详解】直线的斜率，直线的斜率．与平行，，即，解得．故选：D.2．B【分析】根据直线垂直的充要条件可求解.【详解】因为直线与直线垂直，所以，解得.故选：B.3．D【分析】根据直线方程的不同形式以及直线的相关性质，结合倾斜角、截距等概念，需要对每个选项逐一进行分析判断.【详解】对A，当直线斜率不存在时，直线方程为，故A错误．对B，令，，则直线在轴上的截距为，故B错误．对C，直线,其斜率(为倾斜角)，但是倾斜角，而的取值范围是，若，则直线的倾斜角不是，故C错误．对D，当过点，的直线斜率存在且不为零时，该直线的两点式方程为，可化为；当直线与轴垂直时，方程为，满足；当直线与轴垂直时，方程为，满足．综上所述，过，两点的直线方程为，故D正确.故选：D4．B【分析】通过分离参数将问题转化为过直线交点的直线系方程，即可求解.解法一：直线方程可化为，解方程组，即可求解；解法二（取特殊值）：直线方程中，令，得；令，得.解方程组，即可求解；解法三：设直线过定点，则，即，解方程组，即可求解.【详解】解法一：直线方程可化为，分离参数后直线交点即为定点.令，解得，所以直线过定点.解法二（取特殊值）：直线方程中，令，得；令，得.由，解得，所以直线过定点.解法三：设直线过定点，则，即，则，解得，所以直线过定点.故选：B.5．A【分析】求得P、A两点的坐标，根据，可得点在直线上，从而可得B点的坐标，从而可求得直线的方程.【详解】由直线PA的方程为，当时，；当时，，所以，∵，∴点在线段的垂直平分线，即直线上，∴，∴直线的斜率，∴直线的方程为，即．故选：A.6．BD【分析】应用两点式、方向向量求斜率判断A、C；写出直线的两点式和截距式判断B、D.【详解】A：因为直线l过点，，所以直线l的斜率为，设，则，故点不在直线l上，错；B：直线l的两点式方程为，对；C：若直线l的一个方向向量的坐标为，则，与A分析不符，错；D：由B中两点式方程，整理得截距式方程为，对.故选：BD7．BD【分析】由直线的方程得其斜率，由点A、B的坐标得直线的斜率，逐项判断即可.【详解】因为直线的方程为，所以直线的斜率存在且为，不可能与轴垂直，A错误；当时，直线的斜率为，故其倾斜角为，B正确；，当时，直线的斜率为2，故直线与直线不平行，C错误；当时，直线的斜率为，因为，故此时直线与直线垂直，D正确.故选：BD.8．【分析】利用直线方程来判断斜率的大小，再利用反三角来表示倾斜角大小即可.【详解】由直线化为斜截式可得：，所以该直线的斜率为，设直线的倾斜角为，则，即，故答案为：9．2【分析】根据点以及方向向量分别求解出，的方程，再得到截距即可得出结果.【详解】因为直线方向向量是，所以的的