第31讲 数列的递推式问题（讲义）（解析版）

第31讲数列的递推式问题1.推递式求数列通项(1)构造法：，要点：变形为(可用待定系数法求)，可得以为公比的等比数列的通项公式，进而可求.(2)赋值法：，要点：由①，得②，再①②可得(注意对的情况进行讨论).2.推递式求数列最值(1)单调性法：构造函数，研究的单调性，从而求得其最值；常用技巧：将前若干个代入便于研究其单调性.(1)不等法：当（或）最大时，有（或），解不等式组确定的取值范围，从而求得（或）中的最大项.考点一构造法求数列通项考点二赋值法求数列通项考点三单调性法求数列最值考点四不等法求数列最值考点一：构造法求数列通项例1．已知数列满足，其中，则（

）A．2 B．4 C．9 D．15【答案】D【分析】利用构造法证明数列为等比数列，即可求解.【详解】因为，所以，即，所以数列是公比为2的等比数列，所以，所以，则，故选:D.例2．（2023秋·江苏扬州·高三校考期末）已知数列满足，且，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知可得数列是以为首项，为公差的等差数列.进而求出的通项公式，求出，即可得出结果.【详解】依题意，所以有.又，，所以，数列是以为首项，为公差的等差数列.所以，.所以，，所以.故选：C.考点二：赋值法求数列通项例3．已知数列的前项和为，且满足，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据所给递推关系化简可得，再利用等比数列求和公式求解即可.【详解】，可得时，，时，，又，两式相减可得，即，上式对也成立，可得数列是首项为1，公比为的等比数列，可得．故选：B例4．已知数列满足，若，则数列的前项和（）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用数列的递推关系及对数的运算，结合裂项相消法即可求解.【详解】当时，，解得，当时，，，由，得，即，取时，，此式也满足，所以数列的通项公式为，所以，.故选：C.考点三：单调性法求数列最值例5．已知等差数列为单调递增数列，且前三项和为，前三项积为，数列的前项和为且，则（

）A．当时，的值最小 B．当时，的值最大C．当时，的值最小 D．无最值【答案】C【分析】根据等差数列的定义可得，进而可得，再根据数列的单调性可判断各选项.【详解】设等差数列的公差为，则，解得，或，即或，又数列为单调递增数列，则，所以，所以数列在和时分别单调递减，所以，当时，，当时，，且，所以当时，得值最大为，故B，D选项错误；当时，得值最小，A选项错误，C选项正确；故选：C.考点四：不等法求数列最值例6．（2023·北京·北京市八一中学校考模拟预测）已知为等差数列的前项和，满足，，则数列中（

）A．有最大项，无最小项 B．有最小项，无最大项C．有最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项【答案】C【分析】通过已知条件先算出等差数列的首项，公差，然后写出的通向公式，最后写出数列的通项公式分析即可.【详解】在等差数列中，设首项为，公差为，因为，，解得，所以等差数列的通项公式为：，所以，当时，，当时，，所以数列有最大项为第1项，有最小项第7或第8项，故选：C.例7．（2023·全国·高三专题练习）已知为等差数列的前项和，，则数列的最大项为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先根据等差数列的求和公式和通项公式求出首项与公差，求出等差数列的通项公式，代入中，利用基本不等式性质分析即可.【详解】设等差数列的首项为，公差为，因为，所以，所以，则，所以，所以等差数列的通项公式为：，所以，当且仅当时取等号，又，所以当或时取最大值为，故选：B.一、单选题1．已知数列的前项和为，若，则（

）A． B． C． D．2023【答案】A【分析】根据与的关系，可推得数列是等比数列，进而得出的表达式，即可求出，代入对数式，根据对数的运算，即可得出答案.【详解】因为，即.当时，，即；当时，，所以，所以.又，所以数列是等比数列，首项为，公比为，所以，所以，所以.故选：A.2．（2023·河南·校联考模拟预测）已知数列的前n项和为，且，则（

）A． B．2n C． D．【答案】D【分析】首先令求出数列首项，再根据得，两式相减得，然后构造等差数列，通过等差数列通项公式求解数列的通项公式，进而求出的通项公式.【详解】令，由可得：，两式作差可得：，化简整理可得：，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，所以，进而可得：．故选：D．3．已知在数列中，，则（

）A． B．1 C．3 D．2【答案】B【分析】由题意可得数列是以6为周期的周期数列，且，由此计算即可得出结果.【详解】由，可得，，，所以数列是以6为周期的周期数列，且，因为，则.故选：B．4．已知数列满足，前项的和为，关于，叙述正确的是（

）．A．，都有最小值 B．，都没有最小值C．，都有最大值 D．，都没有最大值【答案】A【分析】利用数列通项的单调性和正负即可判断出答案．【详解】因为，所以当时，且单调递减；当时，，且单调递减，故当时，为最小值；又因为当时，；当时，，故可得最小，综上可知，都有最小值．故选：A5．数列通项公式为：，则中的最大项为（

）A．第1项 B．第1010项 C．第1011项 D．第1012项【答案】B【分析】数列的通项公式为，所以．由得，从而求得结果.【详解】解：依题意，数列的通项公式为，所以．由，即且，，解得，故最大项为第1010项，故选：B．二、填空题6．已知数列中，，（为正整数），则______．【答案】【分析】构造等比数列，利用等比数列的通项公式可求出结果.【详解】由得，又，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，所以.故答案为：.7．若，则数列的最大项是第______项．【答案】【分析】将看作定义域为正整数集的二次函数求解即可.【详解】由已知，，∵，∴当取与最接近的正整数即时，取最大值，∴数列的最大项是第项.故答案为：．8．（2023·全国·高三专题练习）已知，若存在常数，使得对任意的正整数n都有，则的最小值为______.【答案】/4.5【分析】讨论的单调性和最值，即可确定，，进而可求的最小值.【详解】因为，由已知，所以，，设，则，，，所以，，所以，所以，故，所以，，，所以，所以B－A的最小值为，故答案为：.9．（2023·全国·高三专题练习）在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n＝8时Sn取得最大值，则d的取值范围为_____．【答案】【分析】根据数列最大值的性质，结合等差数列前n项和公式进行求解即可.【详解】∵Sn＝7n，当且仅当n＝8时Sn取得最大值，∴，即，解得：，综上：d的取值范围为．故答案为：三、解答题10．已知数列中，，且.(1)求，并证明是等比数列；(2)求的通项公式.【答案】(1)，证明见解析；(2)【分析】（1）根据已知分别令，即可求得，在证明为定值即可得证；（2）由（1）结合等比数列的通项即可得解.【详解】（1）由，，得，，，∴，是首项为1，公比为2的等比数列；（2）由（1）知.11．（2023·浙江嘉兴·统考二模）已知是首项为2，公差为3的等差数列，数列满足.(1)证明是等比数列，并求的通项公式；(2)若数列与中有公共项，即存在，使得成立.按照从小到大的顺序将这些公共项排列，得到一个新的数列，记作，求.【答案】(1)证明见解析，，(2)【分析】（1）利用等差数列与等比数列的定义即可求其通项公式；（2）利用通项公式找出公共项，再分组求和即可.【详解】（1）由题意可得：，而，变形可得：，故是首项为3，公比为3的等比数列.从而，即.（2）由题意可得：，，令，则，此时满足条件，即时为公共项，所以.12．已知数列满足．(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列前项和．【答案】(1)(2)【分析】（1）当时，可求；当时，用代替，写出等式，利用作差法求出数列的通项公式，并写成分段函数的形式；（2）由数列的通项公式，利用分组求和法结合等差数列和等比数列的求和公式计算即可．【详解】（1）由题意，①当时，；当时，用代替，②，①－②得：，所以，当时不成立．所以数列的通项公式；（2）根据题意，，所以所以13．在数列中，.(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前项和.【答案】(1)；(2).【分析】（1）运用数列的递推式，求得首项，再将换为，两式相减，即可得到所求通项公式；（2）由题可得，根据分组求和法即得．【详解】（1）∵，当时，，当时，，所以，即（），又∵也适合，∴；（2）由（1）知，，∴.14．（1）已知数列满足，求；（2）已知数列的前n项和为，若，，且，求．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根据给的表达式，当时构造，求出，将代入验证即可.（2）令n＝1时，通过表达式求出首项，利用条件判断取舍，，当时构造，化简得到关于的表达式，从而判断出数列成等差数列，利用等差数列通项公式求解即可.【详解】（1）设，当n＝1时，；当时，，得，而，也满足此等式．所以．（2）当n＝1时，，即，解得或，因为，所以．当时，，整理得，由，则，得，于是数列是以2为首项，3为公差的等差数列，所以．15．已知数列满足，，.(1)求证：数列是等比数列；(2)若，求数列中的最小项.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据等比数列的定义证明；（2）由（1）求得后可得，利用作商的方法得出，从第2项开始递增，从而易得最小项．【详解】（1）因为，,所以是首项为1，公比为的等比数列；（2）由（1）得，所以，则当时，，；②当时，，，又，所以，所以，即.16．已知数列的前n项和为Sn，满足．(1)求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；(2)若不等式2对任意的正整数n恒成立，求实数λ的取值范围．【答案】(1)证明见详解；(2)【分析】（1）利用得，变形得，则可证明等比数列，根据等比数列的通项公式可得答案；（3）令，通过计算的正负，求出的最大值，将题目转化为，解不等式即可.【详解】（1）①②①-②得，即，变形可得，又，得故数列是以-1为首项，为公比的等比数列，由等比数列的通项公式可得，.（2）令，则当或时，，当时，又，，因为不等式对任意的正整数恒成立，，解得.17．已知数列满足，，且.(1)求证：数列是等比数列，并求的通项公式；(2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)证明过程见解析，(2)【分析】（1）根据题意结合等比数列定义证明为等比数列，得到，再证明为等比数列，进而可