探索平行四边形的面积

汇报人:xxxx2025年11月06日探索平行四边形的面积CONTENTS目录01

情境导入与问题提出02

复习旧知与方法迁移03

探究平行四边形面积计算方法04

平行四边形面积公式推导CONTENTS目录05

巩固练习与应用06

拓展延伸与思维训练07

课堂总结与作业布置情境导入与问题提出01生活中的平行四边形校园中的平行四边形学校操场西边的花坛规划图中，有一个平行四边形花坛，可通过计算面积比较与长方形花坛的大小，其面积计算是本节课的研究重点。停车位中的平行四边形停车场里的平行四边形停车位，底和高是计算其面积的关键数据，如已知底为5米，高为2.5米，可利用公式求出面积解决停车空间规划问题。农田中的平行四边形近似平行四边形的菜地，底43米，高20.1米，计算其面积能帮助农民合理规划种植面积，体现数学与农业生产的联系。生活物品中的平行四边形伸缩晾衣架、活动铁门等物品的结构中常包含平行四边形，利用其易变形的特性，同时也需要计算相关平行四边形部件的面积来设计制作。比较花坛大小的问题

观察图形特征学校操场西边空地新建两个花坛，分别为长方形和平行四边形。长方形花坛长6米、宽4米，平行四边形花坛底6米、邻边5米。

提出比较方法要比较两个花坛大小，需计算它们的面积。长方形面积可直接用公式“长×宽”计算，平行四边形面积计算方法待探究。

引发认知冲突学生可能猜测平行四边形面积=底×邻边（6×5=30平方米），与长方形面积（6×4=24平方米）产生矛盾，激发探究欲望。学习目标与重难点知识与技能目标理解并掌握平行四边形面积计算公式，能正确运用公式计算平行四边形的面积，解决简单的实际问题。过程与方法目标通过操作、观察、比较等数学活动，经历平行四边形面积公式的推导过程，渗透转化的数学思想，发展空间观念和初步的推理能力。情感态度与价值观目标在自主探究和合作交流中体验成功的喜悦，激发学习数学的兴趣，培养合作意识和严谨的科学态度，感受数学与生活的密切联系。教学重点探索并掌握平行四边形面积计算公式，能正确运用公式计算平行四边形的面积。教学难点理解平行四边形面积计算公式的推导过程，体会转化思想，明确平行四边形底和高与转化后长方形长和宽的对应关系。复习旧知与方法迁移02长方形面积公式回顾

01长方形面积公式长方形面积=长×宽，用字母表示为\(S=a\timesb\)，其中\(a\)表示长，\(b\)表示宽，\(S\)表示面积。

02公式推导方法通过数方格法推导：在方格纸上，长方形的长对应方格数量为长，宽对应方格数量为宽，总方格数即面积，验证得出长×宽=面积。

03基础应用示例若长方形花坛长6米，宽4米，根据公式计算面积为\(6\times4=24\)平方米，为后续平行四边形面积推导提供参照。转化思想的初步渗透

转化思想的定义转化思想是指将未知问题转化为已知问题来解决的数学思想方法，通过变形、转换等手段，化繁为简、化难为易。

平行四边形与长方形的联系观察发现，平行四边形可以通过剪拼转化为长方形，转化后图形的形状改变，但面积不变，为推导面积公式奠定基础。

生活中的转化实例如：将不规则的布料通过裁剪拼接成规则形状计算面积，将复杂的数学问题分解为简单问题逐步解决，体现转化思想的应用价值。探究平行四边形面积计算方法03数方格法初步探究

数方格法操作规则每个方格代表1平方厘米，不满一格的按半格计算。通过数完整方格和半格数量，累加得出平行四边形面积。

对比观察数据规律填写表格记录平行四边形的底、高、面积与长方形的长、宽、面积，发现：平行四边形的底=长方形的长，高=宽时，两者面积相等。

数方格法局限性分析适用于小图形估算，对大平行四边形（如校园花坛）操作繁琐，无法满足实际需求，需推导通用计算公式。数方格法的局限性适用范围有限数方格法仅适用于较小的、规则的平面图形面积估算，对于较大的平行四边形（如校园花坛、农田）或非标准尺寸的图形，无法通过方格纸测量。操作效率低下需逐格计数并处理不满格（按半格计算），耗时较长。例如一个底10米、高8米的平行四边形，若用1平方米方格纸需数80个格子，实际应用中极为不便。精度误差较大不满格按半格估算会导致结果偏差，且方格单位越小误差累积越多。如底6cm、高4cm的平行四边形，数方格可能因视觉误差导致结果与24cm²存在偏差。无法推广公式数方格仅能得到特定图形的面积数值，无法推导出适用于所有平行四边形的通用计算公式，缺乏数学规律的提炼与应用价值。割补法转化思想01割补法的操作步骤1.画高：在平行四边形中画出任意一条高；2.裁剪：沿高将平行四边形剪成一个直角三角形和一个直角梯形（或两个直角梯形）；3.平移拼接：将剪下的部分平移到另一边，拼成一个长方形。02转化前后的关系分析形状改变：平行四边形转化为长方形；面积不变：转化前后图形的面积相等；对应关系：长方形的长=平行四边形的底，长方形的宽=平行四边形的高。03转化思想的数学价值将未知图形（平行四边形）转化为已知图形（长方形），利用旧知识（长方形面积=长×宽）解决新问题，体现“转化”的重要数学思想，为后续学习三角形、梯形面积奠定方法基础。04操作要点与注意事项必须沿高剪开才能拼成长方形；平移时保持图形各部分完整，确保拼接后无重叠、无空隙；通过多次操作不同形状的平行四边形，验证转化方法的普遍性。动手操作：剪拼平行四边形操作准备与要求准备平行四边形纸片、剪刀、直尺、三角板；沿平行四边形任意一条高剪开，将图形转化为学过的平面图形。剪拼方法示范方法一：沿顶点处高剪开，分成直角三角形和直角梯形，平移后拼成长方形；方法二：沿中间高剪开，分成两个直角梯形，平移后拼成长方形。小组合作探究四人一组，讨论剪拼方案→动手操作转化图形→记录转化前后图形关系；重点观察底、高与长方形长、宽的联系。剪拼注意事项必须沿高剪开才能拼成长方形；剪拼过程中保持图形完整性，面积大小不变；标记转化前后对应边的长度。不同剪拼方法展示

沿顶点高剪开拼组从平行四边形一个顶点向对边作高，沿高剪开得到直角三角形和直角梯形，将三角形平移至梯形右侧，可拼成长方形。转化后长方形的长等于平行四边形的底，宽等于平行四边形的高。

沿任意高剪开拼组在平行四边形一组对边上任选一点（非顶点）作高，沿高剪开得到两个直角梯形，将左侧梯形平移至右侧梯形旁边，可拼成长方形。拼组后图形面积不变，长方形的长和宽仍与原平行四边形的底和高对应相等。

割补转化关键要点无论采用哪种剪拼方法，都必须沿平行四边形的高剪开，才能保证转化后的图形是长方形。通过平移拼接，实现未知图形向已知图形（长方形）的转化，为推导面积公式奠定基础。平行四边形面积公式推导04转化前后图形关系分析面积关系：等积变形将平行四边形通过剪拼转化为长方形后，图形的形状发生改变，但面积保持不变，即转化前后两个图形的面积相等。对应边长关系转化后长方形的长等于原平行四边形的底，长方形的宽等于原平行四边形的高，这种对应关系是推导面积公式的关键。公式推导逻辑链因为长方形面积=长×宽，且转化后长方形的长=平行四边形的底、宽=平行四边形的高，所以平行四边形面积=底×高，用字母表示为S=ah。面积公式的推导过程方法一：数方格法初步感知在方格纸上数出平行四边形面积（1小格=1平方厘米，不满一格按半格计算），发现平行四边形的底和长方形的长相等、高和宽相等时，两者面积相等，初步感知面积可能与底和高有关。方法二：割补法转化图形沿平行四边形任意一条高剪开，通过平移拼成长方形。转化后形状改变但面积不变，长方形的长等于平行四边形的底，宽等于平行四边形的高。公式推导与字母表示因为长方形面积=长×宽，所以平行四边形面积=底×高。用字母表示为：S=ah（S表示面积，a表示底，h表示高）。字母公式表达与解读

面积公式的字母表示平行四边形面积公式用字母表示为：S=ah，其中S表示平行四边形的面积，a表示平行四边形的底，h表示平行四边形的高。

各字母的含义解读S是英文单词“Area”（面积）的首字母，a是英文单词“base”（底）的首字母，h是英文单词“height”（高）的首字母。

公式的数学意义公式S=ah表明平行四边形的面积等于其底与对应的高的乘积，体现了转化思想下平行四边形与长方形面积计算的内在联系。公式推导验证与强调

剪拼法推导过程将平行四边形沿任意一条高剪开，通过平移可拼成长方形。转化后图形形状改变，面积不变；长方形的长等于平行四边形的底，宽等于平行四边形的高。

公式逻辑验证因为长方形面积=长×宽，所以平行四边形面积=底×高。用字母表示为：S=ah（S表示面积，a表示底，h表示高）。

关键要素强调计算时必须使用对应的底和高（即底边上的高），二者乘积才是平行四边形的面积。等底等高的平行四边形面积相等。巩固练习与应用05基础例题讲解与规范典型例题解析例：平行四边形花坛的底是6m，高是4m，求其面积。解：根据公式S=ah，代入数据得S=6×4=24㎡，答：花坛面积是24平方米。规范书写格式1.写公式：S=ah；2.代入数据：S=6×4；3.计算结果：24㎡；4.答句完整。注意单位统一，底和高需对应。易错点警示错例：用邻边相乘（如6×5）计算面积。正解：必须用底乘对应高，强调高是底边上的垂线段长度。底和高的对应关系练习

01基础辨析：找出对应底和高给出一个平行四边形图形及三条线段（分别对应不同底边上的高），判断哪条高与指定底边（如底边长5cm）相对应。提示：高必须垂直于底边。

02计算应用：根据对应关系求面积例题：一个平行四边形的底是8m，对应的高是4.5m，求面积。解答：S=ah=8×4.5=36㎡。强调必须使用对应的一组底和高计算。

03错误辨析：警惕非对应关系判断题：一个平行四边形相邻两边长分别为6cm和4cm，其中一条高为5cm，则面积为6×5=30c㎡（×）。解析：高5cm对应的底边只能是4cm（直角三角形斜边大于直角边），正确面积为4×5=20c㎡。

04变式练习：已知面积反求高一个平行四边形面积是48dm²，底是12dm，求这条底边上的高。解答：h=S÷a=48÷12=4dm。判断题型解析

易错点1：单位表述混淆例：平行四边形的底是7米，高是4米，面积是28米。（×）解析：面积单位应为平方米，正确表述为28平方米。

易错点2：底与高对应关系错误例：已知平行四边形相邻两边为5分米和2米，直接相乘得100平方分米。（×）解析：需先统一单位并对应底和高，2米=20分米，若以5分米为底，需对应其高而非邻边。

易错点3：面积与周长概念混淆例：把长方形框架拉成平行四边形后，周长和面积都不变。（×）解析：拉伸后周长不变，高变小导致面积减小。

易错点4：等底等高性质误判例：两个平行四边形的高相等，它们的面积就相等。（×）解析：面积由底和高共同决定，仅高相等而底不同时面积不相等。实际生活应用问题

平行四边形花坛面积计算学校新建平行四边形花坛，底为6米，高为4米，根据公式S=ah，可得面积为6×4=24平方米。

停车位面积计算某停车场有一平行四边形停车位，底长5米，高2.5米，其面积为5×2.5=12.5平方米。

近似平行四边形土地面积一块近似平行四边形的土地，底43米，高20.1米，面积约为43×20.1=864.3平方米。

等底等高平行四边形面积比较两条平行线间画有多个等底等高的平行四边形，它们的面积相等，因为面积只与底和高有关。拓展延伸与思维训练06等底等高平行四边形面积等底等高的定义

两个平行四边形如果底的长度相等，且对应的高也相等，那么它们就是等底等高的平行四边形。面积关系结论

等底等高的平行四边形面积相等。因为平行四边形面积=底×高，当底和高都相等时，面积必然相等。实例验证

例如：底为5厘米、高为4厘米的平行四边形，面积是5×4=20平方厘米；另一个底同样是5厘米、高4厘米的平行四边形，面积也是5×4=20平方厘米，两者面积相等。拓展应用

在两条平行线之间画多个平行四边形，只要它们的底相同，那么这些平行四边形都是等底等高的，面积都相等。图形变形与面积变化长方形框架拉伸实验用长8cm、宽5cm的长方形框架，捏住对角向外拉伸变形成平行四边形。通过数方格（1cm²/格）发现面积从40cm²减少至32cm²，验证相邻边乘积（8×5=40cm²）不能作为平行四边形面积公式。变形前后关键要素对比形状变化：长方形→平行四边形；周长不变（四边长度不变）；面积变化（变小）。平行四边形底=长方形长（8cm），邻边=长方形宽（5cm），高＜宽（约4cm）。面积变化规律总结平行四边形面积由底和对应高决定，与邻边长度无关。当长方形拉成平行四边形时，高随内角减小而减小，导致面积减小，印证公式S=ah的必要性。逆向思维问题解决

逆向思维在面积计算中的应用已知平行四边形面积和底，求高：h=S÷a；已知面积和高，求底：a=S÷h。例如：面积24㎡，底6m，高为24÷6=4m。

等积变形中的逆向验证两个平行四边形等底等高则面积相等。若面积相等但形状不同，可逆向推导它们是否等底等高，如面积30㎡的平行四边形，可能底5m高6m或底10m高3m。

错误解法的反向剖析若误将邻边相乘当作面积（如底5cm、邻边4cm，错算5×4=20cm²），可通过割补转化验证：正确面积应为底×高，假设高3cm，实际面积15cm²，对比揭示错误原因。