2026届湖南省衡阳市祁东县第二中学数学高三上期末质量检测模拟试题含解析

2026届湖南省衡阳市祁东县第二中学数学高三上期末质量检测模拟试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若为虚数单位，网格纸上小正方形的边长为1，图中复平面内点表示复数，则表示复数的点是（）A．E B．F C．G D．H2．设函数（，）是上的奇函数，若的图象关于直线对称，且在区间上是单调函数，则（）A． B． C． D．3．已知向量，，若，则与夹角的余弦值为（）A． B． C． D．4．若满足，且目标函数的最大值为2，则的最小值为()A．8 B．4 C． D．65．已知双曲线的左右焦点分别为，，以线段为直径的圆与双曲线在第二象限的交点为，若直线与圆相切，则双曲线的渐近线方程是（）A． B． C． D．6．已知的部分图象如图所示，则的表达式是（）A． B．C． D．7．函数的图象为C，以下结论中正确的是（）①图象C关于直线对称；②图象C关于点对称；③由y=2sin2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C.A．① B．①② C．②③ D．①②③8．已知定义在上的奇函数满足：（其中），且在区间上是减函数，令，，，则，，的大小关系（用不等号连接）为（）A． B．C． D．9．本次模拟考试结束后，班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评顺序表，若化学排在生物前面，数学与物理不相邻且都不排在最后，则不同的排表方法共有（）A．72种 B．144种 C．288种 D．360种10．若为过椭圆中心的弦，为椭圆的焦点，则△面积的最大值为（）A．20 B．30 C．50 D．6011．设平面与平面相交于直线，直线在平面内，直线在平面内，且则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．即不充分不必要条件12．在中，，，，为的外心，若，，，则（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．如图，若四棱锥为阳马，侧棱底面，且，，设该阳马的外接球半径为，内切球半径为，则__________．14．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则函数的最大值为______.15．函数的最小正周期为________;若函数在区间上单调递增，则的最大值为________.16．若奇函数满足，为R上的单调函数，对任意实数都有，当时，，则________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知关于的不等式有解.（1）求实数的最大值；（2）若，，均为正实数，且满足.证明：.18．（12分）一种游戏的规则为抛掷一枚硬币，每次正面向上得2分，反面向上得1分.（1）设抛掷4次的得分为，求变量的分布列和数学期望.（2）当游戏得分为时，游戏停止，记得分的概率和为.①求；②当时，记，证明：数列为常数列，数列为等比数列.19．（12分）设函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若恒成立，求的取值范围.20．（12分）如图，是正方形，点在以为直径的半圆弧上（不与，重合），为线段的中点，现将正方形沿折起，使得平面平面.（1）证明：平面.（2）三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值.21．（12分）已知椭圆的右焦点为，直线被称作为椭圆的一条准线，点在椭圆上(异于椭圆左、右顶点)，过点作直线与椭圆相切，且与直线相交于点.（1）求证：.（2）若点在轴的上方，当的面积最小时，求直线的斜率.附：多项式因式分解公式：22．（10分）己知函数.（1）当时，求证：；（2）若函数，求证：函数存在极小值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

由于在复平面内点的坐标为，所以，然后将代入化简后可找到其对应的点.【详解】由，所以，对应点.故选：C【点睛】此题考查的是复数与复平面内点的对就关系，复数的运算，属于基础题.2、D【解析】

根据函数为上的奇函数可得，由函数的对称轴及单调性即可确定的值，进而确定函数的解析式，即可求得的值.【详解】函数（，）是上的奇函数，则，所以.又的图象关于直线对称可得，，即，，由函数的单调区间知，，即，综上，则，.故选：D【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质的综合应用，由对称轴、奇偶性及单调性确定参数，属于中档题.3、B【解析】

直接利用向量的坐标运算得到向量的坐标，利用求得参数m，再用计算即可.【详解】依题意，，而，即，解得，则.故选：B.【点睛】本题考查向量的坐标运算、向量数量积的应用，考查运算求解能力以及化归与转化思想.4、A【解析】

作出可行域，由，可得.当直线过可行域内的点时，最大，可得.再由基本不等式可求的最小值.【详解】作出可行域，如图所示由，可得.平移直线，当直线过可行域内的点时，最大，即最大，最大值为2.解方程组，得..，当且仅当，即时，等号成立.的最小值为8.故选：.【点睛】本题考查简单的线性规划，考查基本不等式，属于中档题.5、B【解析】

先设直线与圆相切于点，根据题意，得到，再由，根据勾股定理求出，从而可得渐近线方程.【详解】设直线与圆相切于点，因为是以圆的直径为斜边的圆内接三角形，所以，又因为圆与直线的切点为，所以，又，所以，因此，因此有，所以，因此渐近线的方程为.故选B【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线方程，熟记双曲线的简单性质即可，属于常考题型.6、D【解析】

由图象求出以及函数的最小正周期的值，利用周期公式可求得的值，然后将点的坐标代入函数的解析式，结合的取值范围求出的值，由此可得出函数的解析式.【详解】由图象可得，函数的最小正周期为，.将点代入函数的解析式得，得，，，则，，因此，.故选：D.【点睛】本题考查利用图象求三角函数解析式，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.7、B【解析】

根据三角函数的对称轴、对称中心和图象变换的知识，判断出正确的结论.【详解】因为，又，所以①正确.，所以②正确.将的图象向右平移个单位长度，得，所以③错误.所以①②正确，③错误.故选:B【点睛】本小题主要考查三角函数的对称轴、对称中心，考查三角函数图象变换，属于基础题.8、A【解析】因为，所以，即周期为４，因为为奇函数，所以可作一个周期[-2e,2e]示意图，如图在（０，１）单调递增，因为，因此，选Ａ．点睛：函数对称性代数表示（1）函数为奇函数，函数为偶函数（定义域关于原点对称）；（2）函数关于点对称，函数关于直线对称，（3）函数周期为T,则9、B【解析】

利用分步计数原理结合排列求解即可【详解】第一步排语文，英语，化学，生物4种，且化学排在生物前面，有种排法；第二步将数学和物理插入前4科除最后位置外的4个空挡中的2个，有种排法，所以不同的排表方法共有种.选.【点睛】本题考查排列的应用，不相邻采用插空法求解，准确分步是关键，是基础题10、D【解析】

先设A点的坐标为，根据对称性可得，在表示出面积，由图象遏制，当点A在椭圆的顶点时，此时面积最大，再结合椭圆的标准方程，即可求解.【详解】由题意，设A点的坐标为，根据对称性可得，则的面积为，当最大时，的面积最大，由图象可知，当点A在椭圆的上下顶点时，此时的面积最大，又由，可得椭圆的上下顶点坐标为，所以的面积的最大值为.故选：D.【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及简单的几何性质，以及三角形面积公式的应用，着重考查了数形结合思想，以及化归与转化思想的应用.11、A【解析】

试题分析：α⊥β，b⊥m又直线a在平面α内，所以a⊥b，但直线不一定相交，所以“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要条件，故选A.考点：充分条件、必要条件.12、B【解析】

首先根据题中条件和三角形中几何关系求出，，即可求出的值.【详解】如图所示过做三角形三边的垂线，垂足分别为，，，过分别做，的平行线，，由题知，则外接圆半径，因为，所以，又因为，所以，，由题可知，所以，，所以.故选：D.【点睛】本题主要考查了三角形外心的性质，正弦定理，平面向量分解定理，属于一般题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

该阳马补形所得到的长方体的对角线为外接球的直径，由此能求出，内切球在侧面内的正视图是的内切圆，从而内切球半径为，由此能求出．【详解】四棱锥为阳马，侧棱底面，且，，设该阳马的外接球半径为，该阳马补形所得到的长方体的对角线为外接球的直径，，，侧棱底面，且底面为正方形，内切球在侧面内的正视图是的内切圆，内切球半径为，故．故答案为．【点睛】本题考查了几何体外接球和内切球的相关问题，补形法的运用，以及数学文化，考查了空间想象能力，是中档题．解决球与其他几何体的切、接问题，关键是能够确定球心位置，以及选择恰当的角度做出截面.球心位置的确定的方法有很多，主要有两种：（1）补形法（构造法），通过补形为长方体（正方体），球心位置即为体对角线的中点；（2）外心垂线法，先找出几何体中不共线三点构成的三角形的外心，再找出过外心且与不共线三点确定的平面垂直的垂线，则球心一定在垂线上.14、【解析】

由三角函数图象相位变换后表达函数解析式，再利用三角恒等变换与辅助角公式整理的表达式，进而由三角函数值域求得最大值.【详解】将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则所以，当函数最大，最大值为故答案为：【点睛】本题考查表示三角函数图象平移后图象的解析式，还考查了利用三角恒等变换化简函数式并求最值，属于简单题.15、【解析】

直接计算得到答案，根据题意得到，，解得答案.【详解】，故，当时，，故，解得.故答案为：；.【点睛】本题考查了三角函数的周期和单调性，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.16、【解析】

根据可得,函数是以为周期的函数，令，可求，从而可得，代入解析式即可求解.【详解】令，则，由，则，所以，解得，所以，由时，，所以时，；由，所以，所以函数是以为周期的函数，，又函数为奇函数，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查了换元法求函数解析式、函数的奇偶性、周期性的应用，属于中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）见解析【解析】

（1）由题意，只需找到的最大值即可；（2），构造并利用基本不等式可得，即.【详解】（1），∴的最大值为4.关于的不等式有解等价于，（ⅰ）当时，上述不等式转化为，解得，（ⅱ）当时，上述不等式转化为，解得，综上所述，实数的取值范围为，则实数的最大值为3，即.（2）证明：根据（1）求解知，所以，又∵，，，，，当且仅当时，等号成立，即，∴，所以，.【点睛】本题考查绝对值不等式中的能成立问题以及综合法证明不等式问题，是一道中档题.18、（1）分布列见解析，数学期望为6；（2）①；②证明见解析【解析】

（1）变量的所有可能取值为4，5，6，7，8，分别求出对应的概率，进而可求出变量的分布列和数学期望；（2）①得2分只需要抛掷一次正面向上或两次反面向上，分别求出两种情况的概率，进而可求得；②得分分两种情况，第一种为得分后抛掷一次正面向上，第二种为得分后抛掷一次反面向上，可知当且时，，结合，可推出，从而可证明数列为常数列；结合，可推出，进而可证明数列为等比数列.【详解】（1）变量的所有可能取值为4，5，6，7，8.每次抛掷一次硬币，正面向上的概率为，反面向上的概率也为，则，.所以变量的分布列为：45678故变量的数学期望为.（2）①得2分只需要抛掷一次正面向上或两次反面向上，概率的和为.②得分分两种情况，第一种为得分后抛掷一次正面向上，第二种为得分后抛掷一次反面向上，故且时，有，则时，，所以，故数列为常数列；又，，所以数列为等比数列.【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列及数学期望，考查常数列及等比数列的证明，考查学生的计算求解能力与推理论证能力，属于中档题.19、(1)；(2).【解析】

分析：（1）先根据绝对值几何意义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，（2）先化简不等式为，再根据绝对值三角不等式得最小值，最后解不等式得的取值范围．详解：（1）当时，可得的解集为．（2）等价于．而，且当时等号成立．故等价于．由可得或，所以的取值范围是．点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．20、（1）见解析（2）【解析】

（1）利用面面垂直的性质定理证得平面，由此证得，根据圆的几何性质证得，由此证得平面.（2）判断出三棱锥的体积最大时点的位置.建立空间直角坐标系，通过平面和平面的法向量，计算出二面角的余弦值.【详解】（1）证明：因为平面平面是正方形，所以平面.因为平面，所以.因为点在以为直径的半圆弧上，所以.又，所以平面.（2）解：显然，当点位于的中点时，的面积最大，三棱锥的体积也最大.不妨设，记中点为，以为原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，则令，得.设平面的法向量为，则令，得，所以.由图可知，二面角为锐角，故二面角的余弦值为.【点睛】本小题主要考查线面垂直