四省名校2026届高二数学第一学期期末考试试题含解析

四省名校2026届高二数学第一学期期末考试试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．从集合{2,3,4,5}中随机抽取一个数m,从集合{1,3,5}中随机抽取一个数n,则向量=(m,n)与向量=(1,-1)垂直的概率为()A. B.C. D.2．若直线与直线垂直，则a的值为（）A.2 B.1C. D.3．已知直线过点，且与直线垂直，则直线的方程是（）A. B.C. D.4．若命题为“，”，则为（）A.， B.，C.， D.，5．已知点的坐标为(5，2)，F为抛物线的焦点，若点在抛物线上移动，当取得最小值时，则点的坐标是A.(1，) B.C. D.6．等差数列中，，，则（）A.1 B.2C.3 D.47．定义运算：．已知，都是锐角，且，，则（）A. B.C. D.8．已知数列，，则下列说法正确的是（）A.此数列没有最大项 B.此数列的最大项是C.此数列没有最小项 D.此数列的最小项是9．已知直线和互相平行，则实数（）A. B.C.或 D.或10．若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为，如.如图所示的程序框图的算法源于我国古代闻名中外的“中国剩余定理”.执行该程序框图，则输出的i等于（）A.7 B.10C.13 D.1611．方程所表示的曲线为（）A.射线 B.直线C.射线或直线 D.无法确定12．从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，，一辆车从甲地到乙地，恰好遇到2个红灯的概率为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知椭圆C：的左右焦点分别为，，O为坐标原点，以下说法正确的是______①过点的直线与椭圆C交于A，B两点，则的周长为8②椭圆C上存在点P，使得③椭圆C的离心率为④P为椭圆上一点，Q为圆上一点，则线段PQ的最大长度为314．设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为___________.15．已知命题，则命题的的否定是___________.16．在平面直角坐标系中，直线与椭圆交于两点，且，则该椭圆的离心率为__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）某企业为响应“安全生产”号召，将全部生产设备按设备安全系数分为A，两个等级，其中等设备安全系数低于A等设备.企业定时对生产设备进行检修，并将部分等设备更新成A等设备.据统计，2020年底该企业A等设备量已占全体设备总量的30%.从2021年开始，企业决定加大更新力度，预计今后每年将16%的等设备更新成A等设备，与此同时，4%的A等设备由于设备老化将降级成等设备.（1）在这种更新制度下，在将来的某一年该企业的A等设备占全体设备的比例能否超过80%？请说明理由；（2）至少在哪一年底，该企业的A等设备占全体设备的比例超过60%.（参考数据：，，）18．（12分）从某居民区随机抽取2021年的10个家庭，获得第个家庭的月收入(单位：千元)与月储蓄(单位：千元)的数据资料，计算得，，，（1）求家庭的月储蓄对月收入的线性回归方程；（2）判断变量与之间是正相关还是负相关；（3）利用（1）中的回归方程，分析2021年该地区居民月收入与月储蓄之间的变化情况，并预测当该居民区某家庭月收入为7千元，该家庭的月储蓄额．附：线性回归方程系数公式中，，，其中，为样本平均值19．（12分）如图，在长方体中，，，，M为上一点，且（1）求点到平面的距离；（2）求二面角的余弦值20．（12分）已知抛物线上一点到其焦点F的距离为2.（1）求拋物线方程；（2）直线与拋物线相交于两点，求的长.21．（12分）在平面直角坐标系中，过点的直线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）设曲线与直线交于，两点，求线段的中点的直角坐标及的值22．（10分）公差不为零的等差数列中，已知其前n项和为，若，且成等比数列（1）求数列的通项；（2）当时，求数列的前n和

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】根据分步计数乘法原理求得所有的)共有12个，满足两个向量垂直的共有2个，利用古典概型公式可得结果.【详解】集合{2,3,4,5}中随机抽取一个数,有4种方法；从集合{1,3,5}中随机抽取一个数，有3种方法，所以，所有的共有个，由向量与向量垂直,可得，即,故满足向量与向量垂直的共有2个：，所以向量与向量垂直的概率为，故选A.【点睛】本题主要考查分步计数乘法原理的应用、向量垂直的性质以及古典概型概率公式的应用，属于中档题.在解古典概型概率题时，首先求出样本空间中基本事件的总数，其次求出概率事件中含有多少个基本事件，然后根据公式求得概率.2、A【解析】根据两条直线垂直的条件列方程，解方程求得的值.【详解】由于直线与直线垂直，所以，解得.故选：A3、D【解析】由题意设直线方程为，然后将点坐标代入求出，从而可求出直线方程【详解】因为直线与直线垂直，所以设直线方程为，因为直线过点，所以，得，所以直线方程为，故选：D4、B【解析】特称命题的否定是全称命题，把存在改为任意，把结论否定.【详解】“，”的否命题为“，”，故选：B5、D【解析】过作准线的垂线，垂足为，则，当且仅当三点共线时等号成立，此时，故，所以，选D6、B【解析】根据给定条件利用等差数列性质直接计算作答.【详解】在等差数列中，因，，而，于是得，解得，所以.故选：B7、B【解析】，只需求出与的正、余弦值即可，用平方关系时注意角的范围.【详解】解：因为，都是锐角，所以，，因为，所以，即，，所以，，因为，所有，故选：B.【点睛】信息给予题，已知三角函数值求三角函数值，考查根据三角函数的恒等变换求值，基础题.8、B【解析】令，则，，然后利用函数的知识可得答案.【详解】令，则，当时，当时，，由双勾函数的知识可得在上单调递增，在上单调递减所以当即时，取得最大值，所以此数列的最大项是，最小项为故选：B9、C【解析】根据题意，结合两直线的平行，得到且，即可求解.【详解】由题意，直线和互相平行，可得且，即且，解得或.故选：C.10、C【解析】根据“中国剩余定理”，进而依次执行循环体，最后求得答案.【详解】由题意，第一步：，余数不为1；第二步：，余数不为1；第三步：，余数为1，执行第二个判断框，余数不为2；第四步：，执行第一个判断框，余数为1，执行第二个判断框，余数为2.输出的i值为13.故选：C.11、C【解析】将方程化为或，由此可得所求曲线.【详解】由得：或，即或，方程所表示的曲线为射线或直线.故选：C.12、B【解析】利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式直接求解【详解】由各路口信号灯工作相互独立，可得某人从甲地到乙地恰好遇到2次红灯的概率：故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、①②④【解析】根据椭圆的几何性质结合的周长计算可判断①；根据，可通过以为直径作圆，是否与椭圆相交判断②；求出椭圆的离心率可判断③；计算椭圆上的点到圆心的距离的最大值，即可判断④.【详解】对于①，由题意知：的周长等于，故①正确；对于②，，故以为直径作圆，与椭圆相交，交点即设为P，故椭圆C上存在点P，使得，故②正确；对于③，，故③错误；对于④，设P为椭圆上一点，坐标为，则，故，因为，所以的最大值为2，故线段PQ的最大长度为2+1=3，故④正确，故答案为：①②④.14、【解析】求出等边的边长，画出图形，判断D的位置，然后求解即可.【详解】为等边三角形且其面积为，则，如图所示，设点M为的重心，E为AC中点，当点在平面上的射影为时，三棱锥的体积最大，此时，，点M为三角形ABC的重心，，中，有，，所以三棱锥体积的最大值故答案为：【点睛】思路点睛：本题考查球的内接多面体，棱锥的体积的求法，要求内接三棱锥体积的最大值，底面是面积一定的等边三角形，需要该三棱锥的高最大，故需要底面，再利用内接球，求出高，即可求出体积的最大值，考查学生的空间想象能力与数形结合思想，及运算能力，属于中档题.15、【解析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解.【详解】因为命题是存在量词命题，所以其否定是全称量词命题即，故答案为：16、【解析】直线与椭圆相交，求交点，利用列式求解即可.【详解】联立方程得，因为，所以,即，所以，.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）A等设备量不可能超过生产设备总量的80%，理由见解析；（2）在2026届底实现A等设备量超过生产设备总量的60%.【解析】(1)根据题意表示出2020年开始，经过年后A等设备量占总设备量的百分比为，求出，根据的范围进行判断；(2)令＞即可求解.【小问1详解】记该企业全部生产设备总量为“1”，2020年开始，经过年后A等设备量占总设备量的百分比为，则经过1年即2021年底该企业A等设备量，，可得，又所以数列是以为首项，公比为的等比数列，可得，所以，显然有，所以A等设备量不可能超过生产设备总量的80%.【小问2详解】由，得.因为单调递减，又，，所以在2026届底实现A等设备量超过生产设备总量的60%.18、（1）＝0.3x－0.4（2）正相关（3）1.7千元【解析】（1）由题意得到n＝10，求得，进而求得，写出回归方程；.（2）由判断；（3）将x＝7代入回归方程求解.【小问1详解】由题意知n＝10，，则，所以所求回归方程为＝0.3x－0.4.【小问2详解】因为，所以变量y的值随x的值增加而增加，故x与y之间是正相关.【小问3详解】将x＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为＝0.3×7－0.4＝1.7(千元).19、（1）（2）【解析】（1）以A为原点，以AB、AD、所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解，（2）求出和的法向量，利用空间向量求解【小问1详解】以A为原点，以AB、AD、所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系由，，，，所以，，，因此，，，设平面的法向量，则，，所以，取，则，，于是，所以点到平面的距离【小问2详解】由，，设平面的法向量，则，，所以，取，则，，于是，由（1）知平面的法向量为，记二面角的平面角为，则，由图可知二面角为锐角，所以所求二面角的余弦值为20、（1）（2）【解析】（1）根据抛物线焦半径公式即可得解；（2）联立方程组求出交点坐标，即可得到弦长.【小问1详解】由题：抛物线上一点到其焦点F的距离为2，即，所以抛物线方程：【小问2详解】联立直线和得，解得，，21、（1）直线的普通方程为，曲线的直角坐标方程.（2）【解析】（1）直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；（2）利用中点坐标公式和一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果【小问1详解】解：过点的直线的参数方程为为参数），转换为普通方程为，即直线的普通方程为；曲线的极坐标方程为，即，即，根据，转换为直角坐标方程为，即曲线的直