时间序列分析及其应用-基于R 课件 5- 非平稳序列的随机分析

时间序列分析TimeSeriesAnalysis05非平稳时间序列的随机分析差分，ARIMA，疏系数模型，GARCHDYMWUST本章结构Wold和Cramer分解定理1.差分及其实现2.ARIMA模型3.疏系数模型4.季节模型5.GARCH模型6.案例分析7.5.1Wold和Cramer分解定理时间序列的Wold和Cramer分解定理是处理非平稳时间序列各种分析方法的基础。5.1.1Wold分解定理1938年，Wold提出了著名的Wold分解定理。Wold分解定理也称为正交分解定理，堪称现代时间序列分析理论的灵魂。它证实了，任何一个离散平稳随机过程都可以分解为两个互不相关的平稳序列之和，即关于时间的确定性函数与随机序列的线性组合。其具体内容如下：

上述定理中，随机成分属于非确定性成分，可以视为由移动平均和自回归过程组成的线性回归部分。任何平稳序列，当确定性成分被消除以后，只剩下关于随机扰动的线性组合，基于此，Wold进一步创建了ARMA模型用于拟合离散平稳时间序列。

在现代时间序列分析领域内，根据wold分解定理，随机过程中不同类型的有理传递函数模型之间具有重要关系，其中，AR模型或ARMA模型可以通过一个可能是无穷阶的MA模型来表示，柯尔莫哥洛夫-赛格定理则暗示了MA模型或者ARMA模型可以通过一个可能是无穷阶的AR模型表示，这些结果具有非凡的意义，如，当我们试图用AR模型表示ARMA(m,n)模型时，只要选择的阶数足够大，那么结果仍然可能具有一定价值。

基于上，wold对于离散平稳时间序列的研究，以严格的概率论理论为基础，对1938年之前的各种分析方法进行综合，给出了wold分解定理和ARMA及其应用，为1970年BOX和Jenkis讨论非平稳ARIMA模型奠定了良好的基础。

尽管wold分解定理只是针对平稳序列而言，但cramer于1961年证明了该思路完全适用于非平稳序列，并进一步得到了cramer分解定理。Cramer分解定理HaraldCramer(1893-1985)，瑞典人，斯德哥尔摩大学教授，著名的统计学家和保险精算学家。5.1Wold和Cramer分解定理

均值序列

反映了受到的确定性影响，而

反映了受到的随机因素影响。Cramer定理表明，任何一个序列的波动都可以视为同时受到确定性影响和随机影响的作用，平稳序列要求这两方面的影响是平稳的，而非平稳序列产生的机理就在于它所受到的这两方面的影响至少有一方面是不稳定的，要么是确定性部分不稳定，要么是随机性部分或者二者都不稳定。准确找出确定性影响是分析的首要任务。Wold分解定理是平稳序列的理论基础，Cramer分解定理是Wold分解定理的推广，是非平稳序列的理论基础。本章结构Wold和Cramer分解定理1.差分及其实现2.ARIMA模型3.疏系数模型4.季节模型5.GARCH模型2.案例分析4.差分运算一阶差分p阶差分k步差分

5.2差分及其实现在R中，使用diff()函数完成差分运算，其使用格式为diff(x,lag=1,differences=1,…)参数的名称，取值及意义如表3.1所示。

表

diff()

函数中参数的名称、取值及意义名称取值及意义x数值向量或矩阵，用于差分的计算。lag正整数，表示差分的延迟数，默认值为1differences正整数，表示差分的阶数，默认值为1例如，

>diff(1:10,lag=2)[1]22222222>diff(1:10,lag=2,differences=2)[1]0000005.2差分运算与平稳化方法差分方法是一种非常简便、有效的确定性信息提取方法Cramer分解定理在理论上保证了适当阶数的差分一定可以充分提取确定性信息差分运算的实质是使用自回归的方式提取确定性信息

随机误差差分方式的选择序列蕴含着显著的线性趋势，一阶差分就可以实现趋势平稳序列蕴含着曲线趋势，通常低阶（二阶或三阶）差分就可以提取出曲线趋势的影响

对于蕴含着固定周期的序列进行步长为周期长度的差分运算，通常可以较好地提取周期信息

（1）.普通差分方法例下表给出1964——1999年中国纱的年产量（纱厂量数据，画出时序图和线性趋势，以及一阶差分序列的时序图，分析一阶差分序列是否具有平稳性。

表

1964—1999年中国纱年产量

万吨97.0130.0156.5135.2137.7180.5205.2190.0188.6196.3180.3210.8196.0223.0238.2263.5292.6317.0335.4327.0321.9353.5397.8436.8465.7476.7462.6460.8501.8501.5489.5542.3512.2559.8542.0567.0画出时序图、线性趋势和一阶差分序列的时序图差分前后时序图原序列时序图差分后序列时序图从图中可以看出，一阶差分运算非常成功地从原序列中提取出了线性趋势，差分后的序列呈现出平稳的随机波动。例airmiles数据集从上图可以看出，二阶差分运算非常成功地从原序列中提取出了二次曲线趋势，二阶差分后的序列呈现出平稳的随机波动。例5.2尝试提取1950年——1999年北京市民用车辆拥有量序列的确定性信息差分后序列时序图一阶差分二阶差分1阶差分没有实现趋势平稳2阶差分实现趋势平稳，但随机波动不平稳（2）季节差分方法

，其中s是延迟数，也是季节数。例tempdub是TSA程序包中的数据集，它描述了lowa（艾奥瓦）州Dubuque（迪比克）市在1964年1月至1975年12月的月平均气温，试分析该数据集是否具有季节变动,使用季节差分后，差分序列能否成为平稳序列。解

加载TSA程序包，并调入tempdub数据集，画出时序图，图中的数字和字母表示月份。从图形可以看出，数据集具有明显的季节性的周期变动。作季节差分,画出季节差分序列的时序图。从图形来看，季节差分后，差分序列呈现出平稳趋势。绘图程序(程序名：exa_0303.R)如下：library(TSA);data(tempdub)plot(tempdub,xlab='年份',ylab='气温/F',type='1')Months<-c(1:9,"O","N","D",)points(y=tempdub,x=time(tempdub),pch=Months)diff_s<-diff(tempdub,lag=12)plot(diff_s,xlab='年份',ylab='季节差分',type='1')在程序中，library(TSA)表示加载TSA程序包，data(tempdub)表示调入tempdub数据集。用plot()函数绘出月平均气温的曲线图，用变量Months来表示月份，其中1:9表示一月至九月，“O”,“N”,“D”表示十月至十二月，最后用points()函数将表示月份的数字和字母标记在图中对应的位置（见原始序列图（a））。然后作季节差分（季节数是12），最后画出季节差分序列的时序图（见图(b)）例利用差分运算提取1962年1月至1975年12月平均每头奶牛的月产奶量序列中的确定性信息

。差分后序列时序图一阶差分1阶－12步差分１阶差分后线性递增信息被提取，残留稳定的季节波动和随机波动。周期差分可以非常好地提取周期信息（3）混合差分法

当然，先作季节差分（季节数是12，一阶），消除季节变动因素，再作普通差分（二阶）消除增长趋势，最终的结果是相同的（留给读者完成）（4）对数变换与差分方法

例oil.price是TSA程序包中的数据集，它描述1986年1月至2006年1月某原油市场的每桶原油现货价格（单位:美元），画出的原油价格序列的时序图，分析取对数是否具有线性趋势，再分析一阶差分后的序列是否具有平稳性。解加载TSA程序包，并调入oil.price数据集，先画出石油价格的时序图（图形略），发现它具有指数增长趋势。再画出价格取对数后的时序图、线性趋势和一阶差分序列的时序图再次强调，从理论上讲，足够多次的差分运算可以充分提取原序列中非平稳的信息,但值得注意的是，差分运算的阶数并不是越多越好，过度差分会造成有用信息的浪费。因此，差分的阶数要适当。本章结构Wold和Cramer分解定理1.差分及其实现2.ARIMA模型3.疏系数模型4.季节模型5.GARCH模型6.案例分析7.5.3

ARIMA模型本节结构ARIMA模型结构ARIMA模型性质ARIMA模型建模ARIMA模型预测5.3.1ARIMA模型结构使用场合差分平稳序列拟合模型结构称之求和自回归移动平均模型，简记为ARIMA(p,d,q)自回归系数多项式移动平均系数多项式注：系数多项式满足平稳可逆条件

ARIMA模型族d=0ARIMA(p,d,q)=ARMA(p,q)P=0ARIMA(P,d,q)=IMA(d,q)q=0ARIMA(P,d,q)=ARI(p,d)d=1,P=q=0ARIMA(P,d,q)=randomwalkmodel随机游走模型(randomwalk)模型结构模型使用场合KarlPearson(1905)在《自然》杂志上提问：假如有个醉汉醉得非常严重，完全丧失方向感，把他放在荒郊野外，一段时间之后再去找他，在什么地方找到他的概率最大呢？这个醉汉的行走轨迹就是一个随机游走模型。传统的经济学家普遍认为投机价格的走势类似于随机游走模型，随机游走模型也是有效市场理论的核心。

5.3.2ARIMA模型的平稳性ARIMA(p,d,q)模型共有p+d个特征根，其中p个在单位圆内，d个在单位圆上。所以当时ARIMA(p,d,q)模型非平稳。例ARIMA(0,1,0)时序图

ARIMA模型的方差齐性（以ARIMA(0,1,0）为例）时，原序列方差非齐性d阶差分后，差分后序列方差齐性

5.3.3ARIMA模型建模步骤获得观察值序列平稳性检验差分运算YN白噪声检验Y分析结束N拟合ARMA模型对1889—1970年美国国民生产总值平均指数序列建模例差分平稳一阶差分时序图ADF检验结论：平稳非白噪声序列白噪声检验5.3.4模型定阶一阶差分后序列自相关图一阶差分后序列偏自相关图１阶差分后序列的自相关图显示拖尾特征，偏自相关图显示１阶截尾特征。所以考虑用AR(1)模型拟合１阶差分后序列。考虑到前面已经进行的１阶差分运算，实际上使用ARIMA(1,1,0)模型拟合原序列。建模漂移项在有差分运算场合，漂移项是指差分后序列的均值缺省漂移项，不影响序列值之间的相关性提取，但会影响拟合模型的预测均值和置信区间拟合模型的函数选择R语言中进行ARIMA模型拟合最常用的函数是stats包中的arima函数。但arima函数在有差分运算的场合，没有漂移项设置，默认漂移项恒为零。所以，拟合ARIMA模型时，如果不仅要了解序列之间的相关关系，还有序列预测的需要时，建议使用forecast包的Arima函数进行带差分运算的ARIMA函数拟合。通过参数设置：inclnde.drift=T，特别指定带漂移项。模型拟合例

模型拟合（不带漂移项）使用arima函数进行模型拟合模型结构：检验结果显示该拟合模型参数显著非零，且对序列中相关信息的提取很充分例

模型拟合（带漂移项）使用Arima函数进行模型拟合模型结构：检验结果显示该拟合模型参数显著非零，且对序列中相关信息的提取很充分ARIMA模型预测---最小均方误差预测ARIMA（p,d,q)模型的一般表示方法为和ARMA模型一样，也可以用随机扰动项的线性函数表示它（Green函数）ARIMA模型Green函数递推公式5.3.5ARIMA模型预测预测值

例5.7已知ARIMA(1,1,1)模型为

且求的95％的置信区间

预测值等价形式计算预测值

预报方差与置信区间广义自相关函数为Green函数为方差为95%置信区间为

例对1889—1970年美国国民生产总值平减指数序列做为期10年的预测例

拟合与预测效果图（带漂移项）无漂移项和有漂移项的拟合模型预测精度比较无漂移项模型有漂移项模型比较这两个预测模型的预测误差，无漂移项模型的预测值几乎为常数，预测误差很大.有漂移项模型的预测值呈现线性递增，短期之内预测误差很小，但预测期数变大，预测误差也变大.总体而言，本例中，有漂移项模型的预测效果显著优于无漂移项模型的预测效果.5.3.6ARIMA季节加法模型季节加法模型的结构通常如下

例使用ARIMA模型拟合1962-1991年德国工人季度失业率序列。

德国工人季度失业率序列时序图

德国工人季度失业率1阶4步差分后序列时序图ACF图

PACF图自相关图显示出明显的下滑轨迹，典型的拖尾属性偏自相关图除了１阶和４阶偏自相关系数显著大于２倍标准差，其他阶数的偏自相关系数基本都在２倍标准差范围内波动。所以尝试拟合疏系数模型AR(1,4)。考虑到前面进行的差分，实际上就是拟合疏系数的季节加法模型参数估计结果最终的拟合模型口径拟合模型残差诊断模型拟合效果图本章结构Wold和Cramer分解定理1.差分及其实现2.ARIMA模型3.疏系数模型4.季节模型5.GARCH模型6.案例分析7.5.4疏系数模型ARIMA(p,d,q)模型是指d阶差分后自相关最高阶数为p，移动平均最高阶数为q的模型，通常它包含p+q个独立的未知系数：如果该模型中有部分自相关系数

或部分移动平滑系数为零，即原模型中有部分系数省缺了，那么该模型称为疏系数模型。

疏系数模型类型如果只是自相关部分有省缺系数，那么该疏系数模型可以简记为为非零自相关系数的阶数如果只是移动平滑部分有省缺系数，那么该疏系数模型可以简记为为非零移动平均系数的阶数如果自相关和移动平滑部分都有省缺，可以简记为

例对1917年－1975年美国23岁妇女每万人生育率序列建模

一阶差分检验结果显示一阶差分后序列为平稳非白噪声序列模型定阶一阶差分后序列自相关图一阶差分后序列偏自相关图自相关图显示，延迟１阶、４阶和５阶自相关系数大于２倍标准差。偏自相关图显示，延迟１阶和４阶的偏自相关系数大于２倍标准差。根据自相关图和偏自相关图定阶可以有多种尝试。其中一种尝试是认为偏自相关系数４阶截尾，可以考虑构建疏系数AR(1,4)模型。建模定阶：ARIMA((1,4),1,0)参数估计拟合模型结构也可等价地表示为模型拟合

建模模型显著性检验拟合预测效果图本章结构Wold和Cramer分解定理1.差分及其实现2.ARIMA模型3.疏系数模型4.季节模型5.GARCH模型6.案例分析7.5.5季节模型

在非平稳时间序列中，除序列具有长期趋势外，还可能具有季节性周期变动，即时间序列呈现明显的周期性特征，这种特征与季节有关，如一年12个月，或4个季度等。例如，在前面的案例中，有关于平均气温的时间序列，随着月份的不同呈现出周期变化。有航空时间序列，既具有长期的增长趋势，又随着月份的变化呈现出周期性的变动。

对于季节模型讨论，本着先易后难的原则，先讨论季节平稳模型，再讨论季节非平稳模型。常用的季节数有S=12（表示月度序列），S=4(表示季度序列）。5.5.1季节AR模型如果时间序列可以表示为则称式为季节的AR模型令

图

set.seed(123456) Phi<-c(0,0,0,0.8) sAR<-arima.sim(list(order=c(4,0,0),ar=Phi),n=100) sAR<-ts(sAR,freq=4) acf(sAR,lag=20) pacf(sAR,lag=20)在acf()和pacf()函数中，最大延迟数lag=20，而我们给出的图显示的延迟数(Lag)只到5。这是由于ts()函数中的参数freq=4，即频数是4，也就是说，在图形中，Lag标为1的实际延迟数是4，Lag标为2的实际延迟数是8，以此类推。图5.5.2季节MA模型如果时间序列可以表示为季节

模型可逆的条件是：季节系数多项

的所有根均在单位圆之外，或者特征方程的根在单位圆内。非s整数倍延迟数的自相关函数为0。

ARMAacf(ma=c(rep(0,3),-0.8),lag=20)ARMAacf(ma=c(rep(0,3),-0.8),lag=20,pacf=TRUE)

set.seed(123456);Theta<-c(0,0,0,-0.8)sMA<-arima.sim(list(order=c(0,0,4),ma=Theta),n=100)sMA<-ts(sMA,freq=4);acf(sMA,lag=20);pacf(sMA,lag=20)5.5.3季节ARMA模型ARMAacf(ar=c(rep(0,3),0.7),ma=c(rep(0,3),0.9),lag=20)ARMAacf(ar=c(rep(0,3),0.7),ma=c(rep(0,3),0.9),lag=20,pacf=TRUE)

模型的仿真序列（样本数量＝100)，并画出样本的自相关函数和偏自相关函数。set.seed(123456)Phi<-c(0,0,0,0.7);Theta<-c(0,0,0,0.9)sARMA<-arima.sim(list(order=c(4,0,4),ar=Phi,ma=Theta),n=100)sARMA<-ts(sARMA,freq=4)acf(sARMA,lag=20)pacf(sARMA,lag=20)虽然样本的自相关函数和偏自相关函数与理论值存在着一定的误差，但大体趋势还是一致的。自相关函数和偏自相关函数均是“拖尾”的。5.5.4乘积季节模型5.5.4.1乘积季节ARMA模型

分别是系数为P和q阶的多项式。称该式为乘法季节ARMA模型，称

为乘法季节ARMA过程。ARMAacf(ma=c(0.5,rep(0,10),0.8,0.4),lag=25)ARMAacf(ma=c(0.5,rep(0,10),0.8,0.4),lag=25,pacf=T)不妨取做系统仿真R代码：ARMAacf(ar=c(rep(0,11),0.75),ma=0.4,lag=40)ARMAacf(ar=c(rep(0,11),0.75),ma=0.4,lag=40,pacf=T)5.5.4.2非平稳季节ARIMA模型季节二阶差分为例再考虑模型其中ARIMA(0,1,1)(0,1,1)s乘积ARIMA模型的构造原理：短期相关性用低阶ARMA(p,q)模型提取；季节相关性用以周期步长S为单位的ARMA(P,Q)模型提取；假设短期相关和季节效应之间具有乘积关系，模型结构如下

例

使用ARIMA模型拟合1948-1981年美国女性（２０岁以上）月度失业率序列.序列时序图1阶12步差分后序列时序图差分后序列自相关图和偏自相关图自相关图和偏自相关图都显示延迟12阶自相关系数/偏自相关系数显著大于２倍标准差，这说明差分后序列中仍蕴涵非常显著的季节效应。延迟１阶、２阶的自相关系数/偏自相关系数也大于２倍标准差，这说明差分后序列还具有短期相关性。简单季节模型拟合结果延迟阶数拟合模型残差白噪声检验AR(1,12)MA(1,2,12)ARMA((1,12),(1,12)P值P值P值614.580.00579.50.023315.770.00041216.420.088314.190.115817.990.0213结果拟合模型均不显著乘法模型定阶首先考虑１阶12步差分之后序列12阶以内的自相关系数和偏自相关系数的特征，以确定短期相关模型。自相关图和偏自相关图显示12阶以内的自相关系数和偏自相关系数均不截尾，所以尝试使用ARMA(1,1)模型提取差分后序列的短期自相关信息。其次考虑季节自相关特征：主要考察延迟12阶、24阶等以周期长度为单位的自相关系数和偏自相关系数的特征。自相关图显示延迟12阶自相关系数显著非零，但是延迟24阶自相关系数落入２倍标准差范围。而偏自相关图显示延迟12阶和延迟24阶的偏自相关系数都显著非零。所以可以认为季节自相关特征是自相关系数截尾，偏自相关系数拖尾，这时用以12步为周期的ARMA(0,1)12模型提取差分后序列的季节自相关信息。

拟合残差诊断最终模型拟合效果条件异方差模型的提出方差齐性变换为异方差序列的精确拟合提供了一个很好的解决方法，但要使用方差齐性变换必须得事先知道异方差函数的形式，而这通常是不可能的。实践中，在进行金融时间序列分析时，由于金融序列的标准差与水平之间通常具有某种正相关关系，所以异方差函数经常被假定为继而导致对数变换在进行金融时间序列分析时被普遍采用。但大量的实践证明这种假定太简单化了,对数变换通常只适用于方差随均值变化而变化的部分序列。异方差的特征千变万化,对数变换并不能将所有的异方差序列转换为方差齐性。本节介绍一种在宏观经济领域和金融领域被广泛采用的异方差处理方法：条件异方差模型。

本章结构Wold和Cramer分解定理1.差分及其实现2.ARIMA模型3.疏系数模型4.季节模型5.GARCH模型6.案例分析7.考虑美国的标准普尔500指数，时间段是1990年1月2日至1999年12月31日,该数据可以通过加载R中的MASS库得到。>library(MASS);data(SP500)>plot(SP500，type='1')引例5.6异方差的性质异方差的定义如果随机误差序列的方差会随着时间的变化而变化，这种情况被称作为异方差异方差的影响忽视异方差的存在会导致残差的方差会被严重低估，继而参数显著性检验容易犯纳伪错误，这使得参数的显著性检验失去意义，最终导致模型的拟合精度受影响。

5.6.1异方差异方差直观诊断——残差图方差齐性残差图递增型异方差残差图异方差直观诊断——残差图递减型异方差综合型异方差异方差直观诊断——残差平方图原理残差序列的方差实际上就是它平方的期望。所以考察残差序列是否方差齐性，主要是考察残差平方序列是否平稳

例直观考察美国1963年4月——1971年7月短期国库券的月度收益率序列的方差齐性。

一阶差分后残差图一阶差分后残差平方图异方差处理方法假如已知异方差函数具体形式，进行方差齐性变换假如不知异方差函数的具体形式，拟合条件异方差模型方差齐性变换使用场合序列显示出显著的异方差性，且方差与均值之间具有某种函数关系

其中：是某个已知函数处理思路尝试寻找一个转换函数，使得经转换后的变量满足方差齐性

转换函数的确定原理转换函数在附近作一阶泰勒展开求转换函数的方差转换函数的确定

常用转换函数的确定在实践中，许多金融时间序列都呈现出异方差的性质，而且通常序列的标准差与其水平之间具有某种正比关系，即序列的水平低时，序列的波动范围小，序列的水平高时，序列的波动范围大。对于这种异方差的性质，最简单的假定为转换函数的确定

例续对美国1963年4月——1971年7月短期国库券的月度收益率序列使用方差齐性变换方法进行分析

假定函数变换

对数序列时序图一阶差分后序列图1阶差分后残差平方图白噪声检验延迟阶数LB统计量P值63.580.73371210.820.54411821.710.2452集群效应在宏观经济领域或者是金融领域，经常可以看到具有如下特征的时间序列：它们在消除确定性非平稳因素的影响之后，残差序列的波动在大部分时段是平稳的，但却会在某些时段波动持续偏高，在某些时段波动持续偏低，呈现出集群效应（volatilitycluster）。5.6.2条件异方差模型例5.12考察1926-1991年标准普尔500股票价值加权月度收益率序列的集群效应特征。时序图显示该序列没有显著的非平稳特征。序列围绕在零值附近波动，大部分时期波动范围在-0.1~0.1之间。但是在一些特殊时段：比如1930年前后、1940年前后、1975年前后、以及1990年前后，序列的波动大起大落。这就是集群效应特征。放大时序图进一步放大时序图，只考察1926-1935年这段时期的收益率波动情况，可以更清晰地看到一段时期波动持续偏小，一段时期波动持续偏大的显著集群特征集群效应的影响我们通常用方差来描述序列的波动，集群效应就意味着从整个序列观察期而言，序列的方差是基本齐性的，但在某一段或某几段时期方差却显著异于期望方差。这种序列波动特征给从事利率、汇率、通货膨胀率、股票价格指数等金融时间序列预测的研究人员带来了很大的困惑，因为基于方差齐性得到的置信区间在集群效应存在时是不准确的。他们对这些变量的预测能力随着时期的不同而有相当大的变化。对于资产持有者而言，他们并不关心资产收益率在所有时段的综合表现，他们关注的是在它们持有资产的这段时间，资产收益率会不会有大的波动。基于序列全程方差齐性的分析方法无法满足他们的分析需要，这时需要使用能考虑集群效应的新模型，即条件异方差模型。5.6.2条件异方差模型（1）ARCH模型自回归条件异方差模型的全称是AutoregressiveConditionalHeteroskedastic，有时简称为条件异方差模型或ARCH模型。它是Engle于1982年在分析英国通货膨胀率序列时提出的残差平方自回归模型。ARCH模型构造原理在方差非齐的残差序列中，蕴含着某种相关信息，我们可以通过构造适当的模型，提取这些相关信息，以获得序列异方差波动特征。ARCH模型的结构

5.6.2条件异方差模型对序列的水平建模对一个时间序列，我们通常关注两个最关键的条件统计量：（a）在历史信息已知情况下，该序列的条件水平前面学过的ARIMA模型，残差自回归模型，确定性因素分解模型等都属于对序列的水平进行建模。这些模型主要拟合并预测序列的平均水平会发生怎样的变化。

对序列的波动性建模因为水平只是一个点估计，无法给出估计精度，所以通常我们还需要关注序列的波动，估计出置信区间。所以对一个时间序列，我们还关注另一个关键的条件统计量是：（b）在历史信息已知情况下，该序列的条件波动以前我们求置信区间时，都假定残差序列方差齐性。这种假定在异方差场合就会出现问题。如果序列残差具有集群效应，且近期正处于大起大落的那段时期，那么这段时间的真实方差通常就比齐性方差大。这时，按照方差齐性的假定估计的95%的置信区间，它的真实置信水平一定低于95%。而ARCH模型就是要构造一个模型，利用历史信息，得到条件方差信息

ARCH模型的完整结构当我们拿到一个观察值序列，完整的分析应该是水平和波动两方面都关注。我们通常会首先提取序列的水平相关信息，然后分析残差序列中蕴含的波动相关信息。这两方面的信息综合起来才是比较完整和精确的分析。所以使用ARCH模型提取异方差中蕴含的相关信息的完整结构为

(2)ARCH检验检验目的：要拟合ARCH模型，首先需要进行ARCH检验。ARCH检验是一种特殊的异方差检验，它不仅要检验序列具有异方差性，而且还要求这种异方差性是由某种自相关关系造成的，这种自相关关系，可以用残差序列的自回归模型进行拟合。常用的检验统计量PortmanteaQ检验（Mcleod&Li,1983)拉格朗日乘子（LM）检验(Engle,1982)5.6.2条件异方差模型Portmantea

Q检验假设条件检验统计量检验结果拒绝原假设接受原假设

LM检验拉格朗日乘子检验的构造思想是：假如残差序列方差非齐，且具有集群效应，那么残差平方序列通常具有自相关性。那么我们就可以尝试使用自回归模型（

模型）拟合残差平方序列，于是方差齐性检验就可以转化为这个方程是否显著成立的检验。如果方程显著成立（至少存在一个参数

非零），那就意味着残差平方序列具有自相关性，可以用该回归方程提取自相关信息。反之，如果方差不能显著成立，那就意味着残差平方序列不存在显著的自相关性，不能拒绝方差齐性假定。所以拉格朗日乘子检验实际上就是残差平法序列

自回归的方程显著性检验。

LM检验假设条件检验统计量检验结果拒绝原假设接受原假设

例续对1926-1991年标准普尔500股票价值加权月度收益率序列进行ARCH检验，并拟合该序列的波动特征。对该序列进行方差齐性检验。Q检验和LM检验结果均显示残差平方序列具有显著的自相关性ARCH模型定阶与参数估计LM检验结果显示1阶至12阶ARCH模型均显著成立。这使得我们的定阶工作非常困难。不妨指定一个略微高一些的回归阶数，通过逐步回归的方法确定自变量的阶数。本例中尝试拟合模型ARCH(5)，逐步回归删除不显著的参数，最后得到的是模型是ARCH(3)

(3)条件方差与无条件方差原序列的无条件方差为0.00342，根据这个方差得到的置信区间为两条平行线（黑色虚线）。而ARCH(3)模型得到的条件方差则根据序列的历史信息能及时进行调整，更能快速捕捉集群性特征，使得置信区间更准确。5.6.2条件异方差模型127GARCH模型产生背景Engle(1982)提出ARCH模型之后，在金融界引起强烈反响，以前不具有预报性的大量金融时序可以采用ARCH模型进行进一步信息提取，创造了实用的波动性分析和预测方法。ARCH模型的实质是使用误差平方序列的q阶移动平均拟合当期异方差函数值。由于移动平均模型具有自相关系数

阶截尾性，所以ARCH模型实际上只适用于异方差函数短期自相关过程。但是在实践中，有些残差序列的异方差函数是具有长期自相关性的，这时如果使用ARCH模型拟合异方差函数，将会产生很高的移动平均阶数，这会增加参数估计的难度并最终影响ARCH模型的拟合精度。

（4）ARCH(1)模型

5.6.2条件异方差模型

5.6.2条件异方差模型

5.6.2条件异方差模型（5）ARCH(q)模型

5.6.2条件异方差模型

（6）ARCH模型的参数估计5.6.2条件异方差模型

5.6.2条件异方差模型ARCH的缺点

无法表现金融资产的价格对正的扰动和负的扰动反应是不同的这一特性；对参数的限制很强；只是表现了条件方差的变化，但不能解释为何发生这种变化。虽然ARCH模型简单，但为了充分刻画收益率的波动率过程，往往需要很多参数，有时会需要很高的ARCH(m)模型。因此，Bollerslev(1985)年提出了一个推广形式，称为广义的ARCH模型（GARCH）。（1）GARCH模型的结构为了修正这个问题，Engle的学生TimBollerslev在1985年提出了广义自回归条件异方差（GeneralizedAutoregressiveConditionalHeteroskedastic，GARCH）模型GARCH(p,q)模型的结构如下

5.6.3广义条件异方差模型GARCH模型的实质GARCH模型实际上就是在ARCH模型的基础上，增加考虑了异方差函数的p阶自相关性。它可以有效地拟合具有长期记忆性的异方差函数ARCH模型是GARCH模型的一种特例ARCH(q)模型实际上就是p=0的GARCH(p,q)模型AR-GARCH模型对序列拟合GARCH模型有一个基本要求：为零均值，纯随机、异方差序列。有时回归函数不能充分提取原序列中的相关信息，可能具有自相关性，而不是纯随机的。这时需要对先拟合自回归模型，再考察自回归残差序列的方差齐性，如果异方差，对它拟合GARCH模型。这样构造的模型称为AR-GARCH模型模型结构

（2）GARCH模型拟合步骤回归拟合残差自相关性检验异方差自相关性检验ARCH模型定阶参数估计正态性检验5.6.3广义条件异方差模型例分析拟合1979年12月31日—1991年12月31日外币对美元的日兑换率序列5.6.3广义条件异方差模型水平相关信息拟合回归模型拟合残差自相关性拟合

1阶差分后序列的自相关图和偏自相关图模型定阶首先尝试构建ARCH(q)模型，当q=5时，模型拟合结果显示

中的六个参数均显著。这意味着序列的波动具有长期相关性。如果用ARCH模型拟合可能需要很大的q值。所以应该尝试GARCH模型构建GARCH(1，1)模型

日元对美元汇率序列拟合模型AR(1)-GARCH(1,1)模型

波动性建模效果图残差的95%置信区间GARCH模型的评价GARCH模型类似于对条件方差构造ARMA模型，可以用更简洁的模型结构拟合波动率的长期影响GARCH模型的出现，为大量的金融序列提供了有效的分析方法，它是迄今为止最常用、最便捷的异方差序列拟合模型。但大量的使用经验显示，它也存在一些不足GARCH模型的不足它对参数的约束条件非常严格。无条件方差必须非负的要求，导致了参数非负的约束条件有条件方差必须平稳的要求，要求参数有界参数的约束条件一定程度上限制了GARCH模型的适用范围

GARCH模型的不足它对正负扰动的反应是对称的。扰动项是真实值与预测值之差。如果扰动项为正，说明真实值比预测值大，对于投资者而言就是获得超预期收益。如果扰动项为负，说明真实值比预测值小，对于投资者而言就是出现了超预期的亏损。以

模型ARCH（1）为例，

，无论

是正是负，它对下一期的影响系数都是

。这意味着无论上一期的投资是收益还是亏损，不影响投资人的下一期投资状况，这与实际情况不符。大量的实践经验显示，投资人在面对收益和亏损时的反应不是对称的。出现收益时，通常反应比较慢；出现亏损时，通常反应比较快。忽视这种信息的不对称性，有时会影响预测的精度。

GARCH衍生模型：EGARCH；IGARCH；GARCH-MEGARCH模型的产生Nelson于1991年提出EGARCH模型，该模型的结构为

EGARCH的改进是条件方差的对数，它可以是正数也可以是负数，所以后面表达式中的参数不需要任何非负假定，所以EGARCH模型的第一个改进是放松了对GARCH模型的参数非负约束。EGARCH模型的第二个改进是引入加权扰动函数，通过特殊的函数构造，能对正、负扰动进行非对称处理。

IGARCH模型的产生Nelson于1990年提出IGARCH模型把GARCH(p,q)模型的参数约束条件改写为构成IGARCH模型。对IGARCH模型而言，的无条件方差无界，所以它的无条件方差无意义。IGARCH模型适合于描述具有单位根特征（随机游走）的条件异方差。从理论角度认为，IGARCH现象可能会是波动率常有的水平移动所引起的。

IGARCH模型的条件异方差性质IGARCH(1，1)模型结构IGARCH(1,1)模型条件异方差预测值

GARCH-M模型产生金融中，风险厌恶型的投资者会要求资产的收益率与它的波动性相匹配。风险投资期望收益=无风险收益+风险溢价无风险收益（risk-freereturn）：即为资金的时间价值，是投资者从事风险极小投资（诸如国库券，货币市场工具或银行存款）所获得的收益。超额收益（excessreturn）：任何特定时期风险资产同无风险资产收益之差称为超额收益。风险溢价（riskpremium）：超额收益的期望称为风险溢价。风险溢价指投资者因承担风险而获得的额外报酬。风险越大，风险溢价则越高。Engle，Lilien，Robins（1987）将风险溢价思想引入ARCH模型，允许序列的均值依赖于它的波动性，由此提出GARCH-M模型。GARCH-M模型结构GARCH-M模型的构造思想是序列均值与条件方差之间具有某种相关关系，这时可以把条件标准差作为附加回归因子建模，模型结构如下

（3）GARCH模型的R操作例

模拟生成ARCH(2)过程序列，其中α0=0.1,α1=0.5,α2＝0.2set.seed(12356)a0<-0.1a<-c(0.5,0.2)v<-rnorm(1100)e<-double(1100)e[1:2]<-rnorm(2,sd=sqrt(a0/(1.0-a[1]-a[2])))for(tin3:1100){e(t]<-v[t]*sqrt(a0+a[1]*e[t-1]^2+a[2]*e[t-2]^2)｝e.arch<-ts(e[101:1100])例

模拟生成GARCH(1,1)过程序列，其中α0=0.1,α1=0.5,β1=0.2在上述程序中,rnorm(1100)是生成1100个标准正态分布的随机数,e.arch或e.garch从第101个点开始的目的是使生成的序列更具有随机性。set.seed(12356)a0<-0.1;a<-0.5;b<-0.2v<-rnorm(1100);e<-double(1100)h<-a0/(1.0-a-b)for(tin2:1100){h<-a0+a*e[t-1]^2+b*he[t]<-v[t]*sqrt(h)}e.garch<-ts(e[101:1100])TSA扩展包中，garch.sim()函数直接生成所需要的序列,其使用格式为garch.sim(alpha,beta,n=100,rnd=rnorm,ntrans=100,...)参数的名称、取值及意义如下表所示。函数的返回值是n个仿真序列。注意:在使用该函数之前需要加载TSA扩展包。名称取值及其意义alpha向量，表示ARCH模型中的a系数,其中ao为第1个系数。beta向量，表示GARCH模型中的β系数。n正整数,表示模拟序列的个数。rnd随机数的分布,表示噪声的分布,默认值为正态分布。ntrans

正整数,表示去掉的初始仿真数据的个数。

表garch.sim()函数中参数的名称、取值及意义例

模拟生成ARCH(2)过程序列(ao=0.1,a1=0.5,a2=0.2)的命令为e.arch<-garch.sim(alpha=c(0.1,0.5，0.2),n=1000)模拟生成GARCH(1,1)过程序列(ao=0.1,a1=0.5,βn=0.2)的命令为e.garch<-garch.sim(alpha=c(0.1,0.5),beta=0.2,n=1000)GARCH模型的参数估计garch(x，order=c(1,1)，series=NULL,control=garch.control(...)，...名称取值及意义x数值向量或时间序列。order

二维整数向量,其中第2个分量表示GARCH的阶数p,第1个分量表示ARCH模型的阶数q,默认阶数为GARCH(1,1)。表

garch()函数中参数的名称、取值及意义例

估计ARCH(2)模型的命令为arch.sol<-garcb(e.arcb,order=c(0,2))估计GARCH(1,1)模型的命令为garch.sol<-garch(e.garcb)e.arch和e.garch是前面模拟生成的序列。用summary.garch()(简写为summary())函数列出模型检验的情况,其使用格式为summary(object,...参数object是由garch()函数生成的对象。函数将列出模型的参数估计值、标准差、t值和相应的P值,以及模型的JarqueBera检验的统计量和Box-Ljung检验的统计量等。还可以用plot.garch()函数(简写为plot())画出ARCH模型或GARCH模型的诊断图,例如，plot(arch.sol)本章结构Wo