07 高分提能七　圆锥曲线融合交汇问题 【正文】听课

高分提能七圆锥曲线融合交汇问题【考情分析】高考试卷结构变化之后,注重知识融会贯通,要求具备将不同模块知识综合应用的能力,本专题在模块间的融合主要侧重以下三个方面:(1)圆锥曲线与数列;(2)圆锥曲线与函数;(3)圆锥曲线与三角.类型一圆锥曲线与数列交汇例1[2024·新课标Ⅱ卷]已知双曲线C:x2-y2=m(m>0),点P1(5,4)在C上,k为常数,0<k<1,按照如下方式依次构造点Pn(n=2,3,…):过点Pn-1作斜率为k的直线与C的左支交于点Qn-1,令Pn为Qn-1关于y轴的对称点,记Pn的坐标为(xn,yn).(1)若k=12,求x2,y2(2)证明:数列{xn-yn}是公比为1+k1(3)设Sn为△PnPn+1Pn+2的面积,证明:对于任意正整数n,Sn=Sn+1.自测题[2025·山东临沂二模]已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,P为圆x2+(y+3)2=1上的动点,|PF|的最大值为92(1)求C的方程.(2)已知点M11,12,按照如下方式构造点Mn(n=1,2,3,4,…),设直线ln为C在点Mn处的切线,过点Mn作ln的垂线交C于另一点Mn+1,记Mn的坐标为(xn,y①证明:当n≥1时,|MnF|≥2n-1;②设△MnFMn+1的面积为Sn,证明:∑k=1n类型二圆锥曲线与函数交汇例2[2025·广东广州一模]已知动点P到点F12,0的距离等于它到直线x=-12的距离,(1)求C的方程.(2)O为坐标原点,过点M(2,0)且斜率存在的直线l与C相交于A,B两点,直线AO与直线x=-2相交于点D,过点B且与C相切的直线交x轴于点E.(i)证明:直线DE∥l.(ii)满足四边形ABDE的面积为12的直线l共有多少条?说明理由.自测题“对号函数”y=ax+bx(a>0,b>0)的图象也可以看成是以直线x=0与直线y=ax为渐近线的双曲线.设函数y=3x3+32x(1)求双曲线C1的焦点坐标;(2)将双曲线C1绕着坐标原点O顺时针旋转,使焦点落到x轴上,得到双曲线C2,设双曲线C2的右焦点为F,过F的直线l与双曲线C2的右支交于A,B两点,当OA·OB=21时,求直线l的方程.类型三圆锥曲线与三角交汇例3[2025·天津卷]已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F,右顶点为A,P为直线x=a上一点,且直线PF的斜率为13,△(1)求椭圆的方程;(2)过点P的直线与椭圆有唯一交点B(异于点A),求证:PF平分∠AFB.自测题[2025·石家庄二模]已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为22,F1,F2分别为C的左、右焦点,点P为椭圆C在第一象限内的一点,△PF1F2的周长为4+22,若O为坐标原点,记|OP|=r,∠POF2(1)求C的方程及m的值.(2)若P1,P2为C上不同的两点,满足∠POP1=∠P1OP2=∠P2OP,设△POP1,△P1OP2,△P2OP的面积分别为S1,S2,S3,求证:当θ变化时,S12(3)请探究:若P1,P2,…,P2n为C上2n(n≥2)个不同的点,且∠PiOPi+1=πn,|OPi|=ri,其中i=1,2,…,2n-1,|OP2n|=r2n,点P1与