高一数学（人教A版）学案必修二8-4-平面

8.4.1平面——(教学方式：深化学习课—梯度进阶式教学)[课时目标]1．借助日常生活中的实物，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义．2．了解基本事实1～3和确定平面的推论，掌握平面的画法及表示方法．1．平面(1)画法我们常用矩形的直观图，即________________表示平面．当平面水平放置时，常把平行四边形的一边画成________；当平面竖直放置时，常把平行四边形的一边画成________．(2)表示方法①用希腊字母____________等表示平面，如平面α，平面β，平面γ等，并将它写在代表平面的平行四边形的一个______内．②用代表平面的平行四边形的________作为这个平面的名称，如平面ABCD.③用代表平面的平行四边形的相对的______表示的大写字母作为这个平面的名称，如平面AC或者平面BD.2．平面的基本性质及作用(1)基本事实项目文字语言图形语言符号语言作用基本事实1过__________的三个点，________一个平面A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α①确定平面的依据②判定点线共面基本事实2如果一条直线上的______在一个平面内，那么这条直线在_________A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒________①确定直线在平面内的依据②判定点在平面内基本事实3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的________P∈α且________⇒α∩β＝l，且P∈l①判定两平面相交的依据②判定点在直线上(2)平面的基本事实的三个推论推论内容图形作用推论1经过一条直线和这条直线外一点，_______平面确定平面的依据推论2经过两条__________，有且只有一个平面推论3经过两条__________，有且只有一个平面|微|点|助|解|准确认识三个基本事实的意义和作用(1)要注意基本事实1的条件“不在一条直线上的三个点”，事实上，同一直线上的三个点不能确定一个平面．(2)从集合的角度看，基本事实2可以表述为：如果一条直线上有两个点属于一个平面，那么这条直线就是这个平面的真子集．即整条直线在平面内．(3)基本事实3反映了平面与平面的位置关系——相交，只要“两平面共有一点”，就有“两平面共有一条直线”，且点在直线上，直线是唯一的．eq\a\vs4\al(基础落实训练)1.如图所示的平行四边形MNPQ表示的平面不能记为()A．平面MN B．平面NQPC．平面α D．平面MNPQ2．“直线a经过平面α外一点P”用符号表示为()A．P∈a，a∥α B．a∩α＝PC．P∈a，P∉α D．P∈a，a⊂α3．下列图形中，不一定是平面图形的是()A．三角形 B．菱形C．梯形 D．四条边相等的四边形题型(一)文字语言、图形语言、符号语言的相互转化[例1]用符号表示下列语句，并画出图形．(1)平面α与β相交于直线l，直线a与α，β分别相交于点A，B.(2)点A，B在平面α内，直线a与平面α交于点C，点C不在直线AB上．听课记录：|思|维|建|模|三种语言转换的注意点(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．(2)要注意符号语言的意义，如点与直线的位置关系只能用“∈”或“∉”，直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”．(3)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．[针对训练]1．如图所示，用符号语言可表达为()A．α∩β＝m，n⊂α，m∩n＝AB．α∩β＝m，n∈α，m∩n＝AC．α∩β＝m，n⊂α，A⊂m，A⊂nD．α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n2．如果A点在直线a上，而直线a在平面α内，点B在α内，可以用集合语言和符号表示为()A．A⊂a，a⊂α，B∈α B．A∈a，a⊂α，B∈αC．A⊂a，a∈α，B⊂α D．A∈a，a∈α，B∈α题型(二)点、线共面问题[例2]如图，已知a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，求证：PQ⊂α.听课记录：[变式拓展]将本例中的两条平行线改为三条，即求证：和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内，符号表示为已知a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求证：a，b，c和l共面．|思|维|建|模|证明点、线共面问题的常用方法(1)先由部分点、线确定一个平面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用“纳入法”；(2)先由其中一部分点、线确定一个平面α，其余点、线确定另一个平面β，再证平面α与β重合，即用“同一法”；(3)假设不共面，结合题设推出矛盾，即用“反证法”．[针对训练]3.已知A，B，C，D，E是空间五个点，且线段CE，AC和BD两两相交，求证：A，B，C，D，E这五个点在同一平面上．题型(三)点共线、线共点问题[例3]已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，求证：DE，BF，CC1三线交于一点．听课记录：[变式拓展]本例条件增加“AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q，若A1C交平面DBFE于点R，”其他条件不变，求证：P，Q，R三点共线．|思|维|建|模|1．证明三点共线的方法(1)首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点，根据基本事实3可知，这些点都在两个平面的交线上．(2)选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在此直线上．2．证明三线共点的步骤证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上．[针对训练]4.如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F，求证：E，F，G，H四点必定共线．eq\a\vs4\al(课下请完成课时跟踪检测二十八)8．4.1平面课前预知教材1．(1)平行四边形横向竖向(2)①α、β、γ角②四个顶点③两个顶点2．(1)不在一条直线上有且只有两个点这个平面内l⊂α公共直线P∈β(2)有且只有一个相交直线平行直线[基础落实训练]1．选A表示平面不能用一条线段的两个端点表示，但可以表示为平面MP.故选A.2．选C由于点P在平面α外，所以有P∉α.又直线a经过点P，所以P∈a.故选C.3．选D三角形的三个顶点为不共线的三点，因此一定是平面图形；菱形、梯形分别有两组、一组对边平行，故为平面图形；四边相等的四边形可能为空间四边形．课堂题点研究[题型(一)][例1]解：(1)用符号表示：α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B，如图．(2)用符号表示：A∈α，B∈α，a∩α＝C，C∉AB，如图．[针对训练]1．选A如题图所示，两个平面α与β相交于直线m，直线n在平面α内，直线m和直线n相交于点A，故用符号语言可表达为α∩β＝m，n⊂α，m∩n＝A.2．选BA点在直线a上，而直线a在平面α内，点B在α内，表示为A∈a，a⊂α，B∈α.[题型(二)][例2]证明：因为PQ∥a，所以PQ与a确定一个平面β.所以直线a⊂β，点P∈β.因为P∈b，b⊂α，所以P∈α.又因为a⊂α，P∉a，所以α与β重合，所以PQ⊂α.[变式拓展]证明：如图，∵a∥b，∴a与b确定一个平面α.∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈α，B∈α.又∵A∈l，B∈l，∴l⊂α.∵b∥c，∴b与c确定一个平面β，同理l⊂β.∵平面α与β都包含l和b，且b∩l＝B，由基本事实1的推论知，经过两条相交直线有且只有一个平面，∴平面α与平面β重合．∴a，b，c和l共面．[针对训练]3．证明：设CE∩BD＝M，CA∩BD＝N，∵CA∩CE＝C，∴CA，CE确定一个平面α.∵M∈CE，∴M∈α，同理N∈α.∴直线MN即直线BD⊂α，∴B∈α，D∈α.∴A，B，C，D，E这五个点在同一平面上．[题型(三)][例3]证明：因为EF∥BD且EF＜BD，所以DE与BF相交，设交点为M，则由M∈DE，DE⊂平面D1DCC1，得M∈平面D1DCC1.同理，点M∈平面B1BCC1.又平面D1DCC1∩平面B1BCC1＝CC1，所以M∈CC1.所以DE，BF，CC1三线交于一点M.[变式拓展]证明：在正方体ABCD­A1B1C1D1中，设平面AA1C1C为α，平面BDEF为β.因为Q∈A1C1，所以Q∈α.又Q∈EF，所以Q∈β.所以Q是α与β的公共点．同理，P也是α与β的公共点．所以α∩β＝PQ