高一数学（人教A版）学案必修二6-向量的加法运算

6.2.1向量的加法运算——(教学方式：深化学习课—梯度进阶式教学)[课时目标]1．借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加法运算及运算规则．2．理解平面向量加法的几何意义，会用向量的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量．3．掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量的计算．1．向量加法的定义及三角形法则(1)向量加法的定义：求______________的运算，叫做向量的加法．(2)三角形法则：如图，已知非零向量a，b，在平面内取任意一点A，作eq\o(AB,\s\up6(―→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(―→))＝b，则向量______叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝eq\o(AB,\s\up6(―→))＋Beq\o(C,\s\up6(―→))＝________.2．向量加法的平行四边形法则如图，以同一点O为起点的两个已知向量a，b，以OA，OB为邻边作▱OACB，则以O为起点的向量______(OC是▱OACB的对角线)就是向量a与b的和．3．规定对于零向量与任意向量a，规定a＋0eq\a\vs4\al(＝)______＝______.4．向量加法的运算律(1)|a＋b|与|a|，|b|之间的关系一般地，我们有|a＋b|≤__________，当且仅当a，b中有一个是零向量或a，b是方向相同的非零向量时，等号成立．(2)向量加法的运算律交换律a＋b＝______结合律(a＋b)＋c＝________|微|点|助|解|(1)对向量加法的三角形法则的两点说明①适用范围：任意向量．②注意事项：两个向量一定首尾相连；和向量的起点是第一个向量的起点，终点是第二个向量的终点；当多个向量相加时，可以使用三角形法则．(2)运用向量加法的平行四边形法则作图时，要强调两个向量起点相同．(3)多个向量的加法运算可按照任意的次序与任意的组合进行，如(a＋b)＋(c＋d)＝(b＋d)＋(a＋c)；a＋b＋c＋d＋e＝[d＋(a＋c)]＋(b＋e)．eq\a\vs4\al(基础落实训练)1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)两个向量相加，结果可能是一个数量．()(2)两个向量相加实际上就是两个向量的模相加．()(3)任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线．()(4)eq\o(MN,\s\up6(―→))＋eq\o(NP,\s\up6(―→))＝eq\o(MP,\s\up6(―→)).()2．在△ABC中，eq\o(BC,\s\up6(―→))＝a，eq\o(CA,\s\up6(―→))＝b，则a＋b等于()A.eq\o(CA,\s\up6(―→)) B.eq\o(BC,\s\up6(―→))C.eq\o(AB,\s\up6(―→)) D.eq\o(BA,\s\up6(―→))3．已知a，b，c是非零向量，则(a＋c)＋b，b＋(a＋c)，b＋(c＋a)，c＋(a＋b)，c＋(b＋a)中，与向量a＋b＋c相等的向量的个数为()A．5 B．4C．3 D．24．人骑自行车的速度为v1，风速为v2，则逆风行驶的速度为()A．|v1|＋|v2| B．v1＋v2C．|v1|－|v2| D.eq\f(|v1|,|v2|)题型(一)向量加法的平行四边形法则和三角形法则[例1](1)如图①所示，求作向量a＋b；(2)如图②所示，试用三角形法则作向量a＋b＋c.听课记录：[变式拓展]本例(2)条件不变，试用平行四边形法则作向量a＋b＋c.|思|维|建|模|应用三角形法则和平行四边形法则应注意的问题(1)三角形法则可以推广到n个向量求和，作图时要求“首尾相连”，即n个首尾相连的向量的和对应的向量是第一个向量的起点指向第n个向量的终点的向量．(2)平行四边形法则只适用于不共线的向量求和，作图时要求两个向量的起点重合．(3)求作三个或三个以上的向量的和时，用三角形法则更简单．[针对训练]1．(1)如图①，利用向量加法的平行四边形法则作出a＋b；(2)已知向量a，b，c，如图②，求作a＋b＋c.题型(二)向量加法运算律的应用[例2]如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，F为线段DE延长线上一点，DE∥BC，AB∥CF，连接CD，化简下列各式：(1)eq\o(AB,\s\up6(―→))＋eq\o(DF,\s\up6(―→))；(2)eq\o(AD,\s\up6(―→))＋eq\o(FC,\s\up6(―→))；(3)eq\o(AD,\s\up6(―→))＋eq\o(BC,\s\up6(―→))＋eq\o(FC,\s\up6(―→)).听课记录：[变式拓展]1．在本例条件下，求eq\o(CB,\s\up6(―→))＋eq\o(CF,\s\up6(―→)).2．在本例图形中求作向量eq\o(DA,\s\up6(―→))＋eq\o(DF,\s\up6(―→))＋eq\o(CF,\s\up6(―→)).|思|维|建|模|向量加法运算律的意义和应用原则意义由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行应用原则利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序[针对训练]2.如图，在矩形ABCD中，O为AC与BD的交点，则eq\o(AO,\s\up6(―→))＋eq\o(OB,\s\up6(―→))＋eq\o(AD,\s\up6(―→))＝()A.eq\o(AB,\s\up6(―→)) B.eq\o(AC,\s\up6(―→))C.eq\o(AD,\s\up6(―→)) D.eq\o(BD,\s\up6(―→))3．已知正方形ABCD的边长等于1，则|eq\o(AB,\s\up6(―→))＋eq\o(AD,\s\up6(―→))＋eq\o(BC,\s\up6(―→))＋eq\o(DC,\s\up6(―→))|＝________.题型(三)向量加法的实际应用[例3]如图，用两根绳子把重10N的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B处所受力的大小(绳子的质量忽略不计)．听课记录：|思|维|建|模|利用向量加法解实际应用题的步骤[针对训练]4．河水自西向东流动的速度为10km/h，小船在静水中的速度为10eq\r(3)km/h，小船自南岸沿正北方向航行，求小船的实际航行速度和方向．eq\a\vs4\al(课下请完成课时跟踪检测二)6．2.1向量的加法运算课前预知教材1．(1)两个向量和(2)eq\o(AC,\s\up6(―→))eq\o(AC,\s\up6(―→))2.eq\o(OC,\s\up6(―→))3.0eq\a\vs4\al(＋)aa4．(1)|a|＋|b|(2)b＋aa＋(b＋c)[基础落实训练]1．(1)×(2)×(3)×(4)√2．D3．选A向量加法满足交换律，所以五个向量均等于a＋b＋c.故选A.4．选B因为速度是既有大小又有方向的量，由向量的加法法则可知，逆风行驶的速度为v1＋v2.故选B.课堂题点研究[题型(一)][例1]解：(1)首先作向量eq\o(OA,\s\up6(―→))＝a，然后作向量eq\o(AB,\s\up6(―→))＝b，则向量eq\o(OB,\s\up6(―→))＝a＋b.如图所示．(2)如图所示，首先在平面内任取一点O，作向量eq\o(OA,\s\up6(―→))＝a，再作向量eq\o(AB,\s\up6(―→))＝b，则向量eq\o(OB,\s\up6(―→))＝a＋b.然后作向量eq\o(BC,\s\up6(―→))＝c，则向量eq\o(OC,\s\up6(―→))＝a＋b＋c，即为所求．[变式拓展]解：首先在平面内任取一点O，作向量eq\o(OA,\s\up6(―→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(―→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(―→))＝c，以OA，OB为邻边作▱OADB，连接OD，则eq\o(OD,\s\up6(―→))＝eq\o(OA,\s\up6(―→))＋eq\o(OB,\s\up6(―→))＝a＋b.再以OD，OC为邻边作▱ODEC，连接OE，则eq\o(OE,\s\up6(―→))＝eq\o(OD,\s\up6(―→))＋eq\o(OC,\s\up6(―→))＝a＋b＋c，即为所求．[针对训练]1．解：(1)如图a，过点O作eq\o(OA,\s\up6(―→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(―→))＝b，以OA，OB为邻边作▱OACB，连接OC，则eq\o(OC,\s\up6(―→))＝eq\o(OA,\s\up6(―→))＋eq\o(OB,\s\up6(―→))＝a＋b.(2)如图b，在平面内任取一点O，作eq\o(OA,\s\up6(―→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(―→))＝b，eq\o(BC,\s\up6(―→))＝c，则由向量加法的三角形法则，得eq\o(OB,\s\up6(―→))＝a＋b，eq\o(OC,\s\up6(―→))＝a＋b＋c.[题型(二)][例2]解：如题图，由已知得四边形DFCB为平行四边形，由向量加法的运算法则可知：(1)eq\o(AB,\s\up6(―→))＋eq\o(DF,\s\up6(―→))＝eq\o(AB,\s\up6(―→))＋eq\o(BC,\s\up6(―→))＝eq\o(AC,\s\up6(―→)).(2)eq\o(AD,\s\up6(―→))＋eq\o(FC,\s\up6(―→))＝eq\o(AD,\s\up6(―→))＋eq\o(DB,\s\up6(―→))＝eq\o(AB,\s\up6(―→)).(3)eq\o(AD,\s\up6(―→))＋eq\o(BC,\s\up6(―→))＋eq\o(FC,\s\up6(―→))＝eq\o(AD,\s\up6(―→))＋eq\o(DF,\s\up6(―→))＋eq\o(FC,\s\up6(―→))＝eq\o(AC,\s\up6(―→)).[变式拓展]1．解：因为BC∥DF，BD∥CF，所以四边形BCFD是平行四边形，所以eq\o(CB,\s\up6(―→))＋eq\o(CF,\s\up6(―→))＝eq\o(CD,\s\up6(―→)).2．解：过A作AG∥DF交CF的延长线于点G，则eq\o(DA,\s\up6(―→))＋eq\o(DF,\s\up6(―→))＝eq\o(DG,\s\up6(―→))，作eq\o(GH,\s\up6(―→))＝eq\o(CF,\s\up6(―→))，连接DH，则eq\o(DH,\s\up6(―→))＝eq\o(DA,\s\up6(―→))＋eq\o(DF,\s\up6(―→))＋eq\o(CF,\s\up6(―→))，如图所示．[针对训练]2．选B由平面向量加法的三角形法则和平行四边形法则，得eq\o(AO,\s\up6(―→))＋eq\o(OB,\s\up6(―→))＋eq\o(AD,\s\up6(―→))＝eq\o(AB,\s\up6(―→))＋eq\o(AD,\s\up6(―→))＝eq\o(AC,\s\up6(―→)).3．解析：|eq\o(AB,\s\up6(―→))＋eq\o(AD,\s\up6(―→))＋eq\o(BC,\s\up6(―→))＋eq\o(DC,\s\up6(―→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(―→))＋eq\o(BC,\s\up6(―→))＋eq\o(AD,\s\up6(―→))＋eq\o(DC,\s\up6(―→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(―→))＋eq\o(AC,\s\up6(―→))|＝2|eq\o(AC,\s\up6(―→))|＝2eq\r(2).答案：2eq\r(2)[题型(三)][例3]解：如图所示，设eq\o(CE,\s\up6(―→))，eq\o(CF,\s\up6(―→))分别表示A，B所受的力，10N的重力用eq\o(CG,\s\up6(―→))表示，则eq\o(CE,\s\up6(―→))＋eq\o(CF,\s\up6(―→))＝eq\o(CG,\s\up6(―→)).易得∠ECG＝180°－150°＝30°，∠FCG＝180°－120°＝60°.∴|eq\o(CE,\s\up6(―→))|＝|eq\o(CG,\s\up6(―→))|·cos30°＝10×eq\f(\r(3),2)＝5eq\r(3)，|eq\o(CF,\s\up6(―→))|＝|eq\o(CG,\s\up6(―→))|·cos60°＝10×eq\f(1,2)＝5.∴A处所受的力的大小为5eq\r(3)N，B处所受的力的大小为5N.[针对训练]4．解：设a，b分别表示水流的速度和小船在静水