第04讲：随机变量及其分布（解析版）

第04讲：随机变量及其分布1．相互独立事件(1)概念：对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立．(2)性质：若事件A与B相互独立，那么A与eq\x\to(B)，eq\x\to(A)与B，eq\x\to(A)与eq\x\to(B)也都相互独立．2．条件概率(1)概念：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率．(2)两个公式①利用古典概型，P(B|A)＝eq\f(nAB,nA)；②概率的乘法公式：P(AB)＝P(A)P(B|A)．3．全概率公式一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝，我们称这个公式为全概率公式．4．离散型随机变量一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点w，都有唯一的实数X(w)与之对应，我们称X为随机变量；可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量．5．离散型随机变量的分布列一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n为X的概率分布列，简称分布列．6．离散型随机变量的分布列的性质：①pi≥0(i＝1,2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1.7．离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn(1)均值称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn＝为随机变量X的均值或数学期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平．(2)方差称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝为随机变量X的方差，并称eq\r(DX)为随机变量X的标准差，记为σ(X)，它们都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度．8．均值与方差的性质(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数)．★★求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤(1)理解ξ的意义，写出ξ可能的全部值．(2)求ξ取每个值的概率．(3)写出ξ的分布列．(4)由均值的定义求E(ξ)．(5)由方差的定义求D(ξ)．9．伯努利试验只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验；将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验．10．二项分布一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0,1,2…，n.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)．11．两点分布与二项分布的均值、方差(1)若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．12．超几何分布一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,M)C\o\al(n－k,N－M),C\o\al(n,N))，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中，n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}，如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布．13．正态分布定义若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)＝eq\f(1,σ\r(2π))·，x∈R，其中，μ∈R，σ>0为参数，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)．14．正态曲线的特点(1)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称．(2)曲线在x＝μ处达到峰值eq\f(1,σ\r(2π)).(3)当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴．15．3σ原则(1)P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；(2)P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；(3)P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.16．正态分布的均值与方差若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2.✿✿✿解决正态分布问题有三个关键点：(1)对称轴x＝μ；(2)标准差σ；(3)分布区间．利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率．注意只有在标准正态分布下对称轴才为x＝0.题型一、条件概率1．（2023·云南·校联考模拟预测）“狼来了”的故事大家小时候应该都听说过：小孩第一次喊“狼来了”，大家信了，但去了之后发现没有狼；第二次喊“狼来了”，大家又信了，但去了之后又发现没有狼；第三次狼真的来了，但是这个小孩再喊狼来了就没人信了．从数学的角度解释这一变化，假设小孩是诚实的，则他出于某种特殊的原因说谎的概率为；小孩是不诚实的，则他说谎的概率是．最初人们不知道这个小孩诚实与否，所以在大家心目中每个小孩是诚实的概率是．已知第一次他说谎了，那么他是诚实的小孩的概率是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设出事件，利用全概率公式和贝叶斯公式进行求解.【详解】设事件表示“小孩诚实”，事件表示“小孩说谎”，则，，，，则，，故，故.故选：D2．（2023·河北秦皇岛·统考模拟预测）已知有两箱书，第一箱中有3本故事书，2本科技书；第二箱中有2本故事书，3本科技书．随机选取一箱，再从该箱中随机取书两次，每次任取一本，做不放回抽样，则在第一次取到科技书的条件下，第二次取到的也是科技书的概率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】记事件“第一箱中取书”，事件“从第二箱中取书”．事件“第次从箱中取到的书是科技书”，，然后根据题意求出，,的值，再根据全概率公式和条件概率公式求解即可.【详解】记事件“第一箱中取书”，事件“从第二箱中取书”．事件“第次从箱中取到的书是科技书”，,则由题意知，，,,所以故选：C3．（2023·福建龙岩·统考二模）算盘是我国一类重要的计算工具．下图是一把算盘的初始状态，自右向左前四位分别表示个位、十位、百位、千位，上面一粒珠子（简称上珠）代表5，下面一粒珠子（简称下珠）代表1，即五粒下珠的代表数值等于同组一粒上珠的代表数值，例如，个位拨动一粒上珠至梁上，十位未拨动，百位拨动一粒下珠至梁上，表示数字105．现将算盘的千位拨动一粒珠子至梁上，个位、十位、百位至多拨动一粒珠子至梁上，其它位置珠子不拨动．设事件“表示的四位数为偶数”，事件“表示的四位数大于5050”，则（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】结合题目条件，分别算出，，然后代入公式，即可得到本题答案.【详解】千位有1、5两种选择，百位、十位、个位有0、1、5三种选择，事件“表示的四位数为偶数”，要使得表示的四位数为偶数，则末位应该是0，可得，事件“表示的四位数大于5050”，要使得表示的四位数为偶数且四位数大于5050，则千位是5，百位应该是1或5，个位是0，可得，故.故选：A题型二、独立事件的乘法公式4．（2023·河南·校联考二模）某知识问答竞赛需要三人组队参加，比赛分为初赛、复赛、决赛三个阶段，每个阶段比赛中，如果一支队伍中至少有一人通过，则这支队伍通过此阶段.已知甲、乙、丙三人组队参加，若甲通过每个阶段比赛的概率均为，乙通过每个阶段比赛的概率均为，丙通过每个阶段比赛的概率均为，且三人每次通过与否互不影响，则这支队伍进入决赛的概率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意可得这支队伍通过每个阶段比赛的概率为，利用相互独立事件的概率计算可得出结果.【详解】“至少有一人通过”的对立事件为“三人全部未通过”，则这支队伍通过每个阶段比赛的概率为，所以他们连续通过初赛和复赛的概率为，即进入决赛的概率为.故选：B5．（2023·山东·山东省实验中学校联考模拟预测）已知事件满足，，则（

）A．若，则B．若与互斥，则C．若与相互独立，则D．若，则与不相互独立【答案】B【分析】根据事件的包含关系，互斥事件的概率加法，以及独立事件的概念及判定，以及概率乘法公式，逐项判定，即可求解.【详解】对于A，若，则，所以A错误；对于B，若与互斥，则，所以B正确；对于C，若与相互独立，可得与相互独立，所以，所以C错误；对于D，由，可得，所以，所以，所以与相互独立，所以D错误.故选：B.6．（2023·上海普陀·曹杨二中校考三模）已知、分别为随机事件、的对立事件，，，则下列等式错误的是（

）A． B．C．若、独立，则 D．若、互斥，则【答案】A【分析】结合互斥事件、对立事件的定义，根据条件概率公式判断.【详解】由，故选项A错误，选项B正确；若、独立，则,，故C正确；若、互斥，则，，D正确.故选：A题型三、二项分布7．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）年春，为了解开学后大学生的身体健康状况，寒假开学后，学校医疗部门抽取部分学生检查后，发现大学生的舒张压呈正态分布（单位：），且，若任意抽查该校大学生人，恰好有人的舒张压落在内的概率最大，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用正态分布计算出，然后利用二项分布概率最大可得出关于的不等式组，解之即可.【详解】因为，则，由题意知：抽查该校大学生人，恰好有人的舒张压落在内的概率为，要使此式的值最大，由，即，解得，，所以，.故选：C.8．（2023·江苏盐城·盐城中学校考模拟预测）“锦里开芳宴，兰缸艳早年.”元宵节是中国非常重要的传统节日，某班级准备进行“元宵福气到”抽奖活动福袋中装有标号分别为1，2，3，4，5的五个相同小球，从袋中一次性摸出三个小球，若号码之和是3的倍数，则获奖.若有5名同学参与此次活动，则恰好3人获奖的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出抽一次获奖的概率，设5人中获奖人数为，则，然后由二项分布的概率公式计算概率．【详解】每次抽奖中，总情况数为种，获奖的共有这4种，所以，设5人中获奖人数为，则，所以，故选：C.9．（2023·山东·山东省实验中学校联考模拟预测）某人在次射击中击中目标的次数为，，其中，击中奇数次为事件，则（

）A．若，则取最大值时B．当时，取得最小值C．当时，随着的增大而增大D．当时，随着的增大而减小【答案】C【分析】对于A，根据直接写出，然后根据取最大值列式计算即可判断；对于B，根据，直接写出即可判断；对于CD，由题意把表示出来，然后利用单调性分析即可.【详解】对于选项A，在次射击中击中目标的次数，当时对应的概率，因为取最大值，所以，即，即，解得，因为且，所以，即时概率最大．故A不正确；对于选项B，，当时，取得最大值，故B不正确；对于选项C、D，，，，当时，为正项且单调递增的数列，所以随着的增大而增大，故C正确；当时，，为正负交替的摆动数列，所以不会随着的增大而减小，故D不正确；故选：C.题型四、超几何分布10．（2022·四川成都·成都七中校考模拟预测）袋中有6个大小相同的黑球，编号为，还有4个同样大小的白球，编号为，现从中任取4个球，则下列结论中正确的是（

）①取出的最大号码服从超几何分布；②取出的黑球个数服从超几何分布；③取出2个白球的概率为；④若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则总得分最大的概率为A．①② B．②④ C．③④ D．①③④【答案】B【分析】根据超几何分布的定义，要把总体分为两类，再依次选取可判断①②；利用超几何分布求概率的方式即可判断③④【详解】对于①，根据超几何分布的定义，要把总体分为两类，再依次选取，由此可知取出的最大号码不符合超几何分布的定义，无法用超几何分布的数学模型计算概率，故①错误；对于②，取出的黑球个数符合超几何分布的定义，将黑球视作第一类，白球视作第二类，可以用超几何分布的数学模型计算概率，故②正确；对于③，取出2个白球的概率为，故③错误；对于④，若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则取出四个黑球的总得分最大，总得分最大的概率为，故④正确．故选：B11．（2023·陕西汉中·校联考模拟预测）教育是阻断贫困代际传递的根本之策．补齐贫困地区义务教育发展的短板，让贫困家庭子女都能接受公平而有质量的教育，是夯实脱贫攻坚根基之所在．治贫先治愚，扶贫先扶智．为了解决某贫困地区教师资源匮乏的问题，某市教育局拟从5名优秀教师中抽选人员分批次参与支教活动．支教活动共分3批次进行，每次支教需要同时派送2名教师，且每次派送人员均从这5人中随机抽选．已知这5名优秀教师中，2人有支教经验，3人没有支教经验．(1)求5名优秀教师中的“甲”，在这3批次支教活动中恰有两次被抽选到的概率；(2)求第一次抽取到无支教经验的教师人数的分布列；【答案】(1)(2)分布列见解析【分析】（1）根据二项分布的概率公式即可求解，（2）根据超几何分布的概率公式即可求解概率，进而可求解分布列.【详解】（1）5名优秀教师中的“甲”在每轮抽取中，被抽取到的概率为，则三次抽取中，“甲”恰有两次被抽取到的概率为；（2）X表示第一次抽取到的无支教经验的教师人数，X的可能取值有0，1，2．；；．所以分布列为：X012P0.10.60.312．（2023·广西玉林·统考模拟预测）某地区期末进行了统一考试，为做好本次考试的评价工作，现从中随机抽取了名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于至之间，将数据按照，，，，，分成组，制成了如图所示的频率分布直方图．(1)求频率分布直方图中的值；在这名学生中用分层抽样的方法从成绩在，，的三组中抽取了人，再从这人中随机抽取人，记为人中成绩在的人数，求；(2)规定成绩在的为等级，成绩在的为等级，其它为等级．以样本估计总体，用频率代替概率．从所有参加考试的同学中随机抽取人，求获得等级的人数不少于人的概率.【答案】(1)，(2)【分析】（1）根据频率和为可构造方程求得的值；由分层抽样原则可确定人中，成绩在的人数，根据超几何分布概率公式可求得结果；（2）用频率估计概率可确定获得等级的概率，根据二项分布概率公式，由可求得结果.【详解】（1），；成绩在，，的频率之比为，抽取的人中，成绩在的人数为人，.（2）用频率估计概率，获得等级的概率为，记抽取的人中，获得等级的人数为，则，，即获得等级的人数不少于人的概率为.题型五、正态分布13．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考模拟预测）若随机变量，则有如下结论：（，，）,高三（1）班有40名同学，一次数学考试的成绩服从正态分布，平均分为120，方差为100，理论上说在130分以上人数约为（

）A．19 B．12 C．6 D．5【答案】C【分析】由正态曲线的对称性求出理论上说在130分以上的概率，即可求出理论上说在130分以上人数.【详解】∵数学成绩近似地服从正态分布，，∴，根据正态曲线的对称性知：理论上说在130分以上的概率为，∴理论上说在130分以上人数约为.故选：C．14．（2023·广西柳州·统考模拟预测）新高考改革后广西省采用“3+1+2”高考模式，“3”指的是语文､数学､外语，这三门科目是必选的；“1”指的是要在物理､历史里选一门；“2”指考生要在生物学､化学､思想政治､地理4门中选择2门.(1)若按照“3+1+2”模式选科，求甲乙两个学生恰有四门学科相同的选法种数；(2)某教育部门为了调查学生语数外三科成绩，现从当地不同层次的学校中抽取高一学生5000名参加语数外的网络测试､满分450分，假设该次网络测试成绩服从正态分布.①估计5000名学生中成绩介于120分到300分之间有多少人；②某校对外宣传“我校200人参与此次网络测试，有10名同学获得430分以上的高分”，请结合统计学知识分析上述宣传语的可信度.附：，，.【答案】(1)种(2)①4093人；②不可信【分析】（1）结合分类加法原理根据排列组合列式计算即可；（2）①由正态分布的对称性求出成绩介于120分到300分之间概率即可估计人数；②根据正态分布的原则判断即可.【详解】（1）甲乙两个学生必选语文､数学､外语，若另一门相同的选择物理､历史中的一门，有种，在生物学､化学､思想政治､地理4门中甲乙选择不同的2门，则，即种；若另一门相同的选择生物学､化学､思想政治､地理4门中的一门，则有种，所以甲乙两个学生恰有四门学科相同的选法种数共种方法；（2）①设此次网络测试的成绩记为，则，由题知，，，则，所以，所以估计5000名学生中成绩介于120分到300分之间有4093人；②不可信.，则，5000名学生中成绩大于430分的约有人，这说明5000名考生中，会出现约7人的成绩高于430分的“极端”样本，所以说“某校200人参与此次网络测试，有10名同学获得430分以上的高分”，说法错误，此宣传语不可信.15．（2023·海南海口·校考模拟预测）为深入学习党的二十大精神，某学校团委组织了“青春向党百年路，奋进学习二十大”知识竞赛活动，并从中抽取了200份试卷进行调查，这200份试卷的成绩（卷面共100分）频率分布直方图如右图所示．(1)用样本估计总体，求此次知识竞赛的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．(2)可以认为这次竞赛成绩X近似地服从正态分布N，2（用样本平均数和标准差s分别作为、的近似值），已知样本标准差s7.36，如有84%的学生的竞赛成绩高于学校期望的平均分，则学校期望的平均分约为多少？（结果取整数）(3)从得分区间80，90和90，100的试卷中用分层抽样的方法抽取10份试卷，再从这10份样本中随机抽测3份试卷，若已知抽测的3份试卷来自于不同区间，求抽测3份试卷有2份来自区间80，90的概率．参考数据：若X~N，2

，则PX0.68，P2X20.95，P3X30.99.【答案】(1)(2)73(3)【分析】（1）根据平均数的求法求得平均数.（2）根据正态分布的对称性求得正确答案.（3）根据分层抽样、条件概率知识求得正确答案.【详解】（1）由频率分布直方图可知，平均分；（2）由（1）可知设学校期望的平均分约为m，则，因为，，所以，即，所以学校期望的平均分约为73分；（3）由频率分布直方图可知，分数在和的频率分别为0.35和0.15，那么按照分层抽样，抽取10人，其中分数在，应抽取人，分数在应抽取人，记事件：抽测的3份试卷来自于不同区间；事件B:取出的试卷有2份来自区间80，90，则，，则．所以抽测3份试卷有2份来自区间80，90的概率为.题型六、离散型随机变量的均值与方差16．（2023·广西北海·统考一模）某校体育节组织比赛，需要志愿者参加服务的项目有：60米袋鼠跳、100米、200米、1500米、3000米、米接力．(1)志愿者小明同学可以在6个项目中选择3个项目参加服务，求小明在选择60米袋鼠跳服务的条件下，选择3000米服务的概率；(2)为了调查志愿者选择服务项目的情况，从志愿者中抽取了15名同学，其中有9名首选100米，6名首选米接力．现从这15名同学中再选3名同学做进一步调查．将其中首选米接力的人数记作，求随机变量的分布列和数学期望．【答案】(1)(2)分布列见解析；期望为【分析】（1）记事件A为“选择60米袋鼠跳服务”，事件B为“3000米服务”，则所求概率为，由条件概率计算公式可得答案；（2）依题意，随机变量可以取0，1，2，3，后可得变量取不同值的概率及对应分布列.【详解】（1）记作事件为“选择60米袋鼠跳服务”，事件为“3000米服务”，则，则所以小明在选择60米袋鼠跳服务的条件下，选择3000米服务的概率；（2）依题意，随机变量可以取0，1，2，3，，，，，随机变量的分布列为0123所以．17．（2023·河南郑州·统考模拟预测）手工刺绣是中国非物质文化遗产之一，指以手工方式，用针和线把人的设计和制作添加在任何存在的织物上的一种艺术，大致分为绘制白描图和手工着色、电脑着色，选线、配线和裁布三个环节，简记为工序A，工序，工序.经过试验测得小李在这三道工序成功的概率依次为，，.现某单位推出一项手工刺绣体验活动，报名费30元，成功通过三道工序最终的奖励金额是200元，为了更好地激励参与者的兴趣，举办方推出了一项工序补救服务，可以在着手前付费聘请技术员，若某一道工序没有成功，可以由技术员完成本道工序.每位技术员只完成其中一道工序，每聘请一位技术员需另付费100元，制作完成后没有接受技术员补救服务的退还一半的聘请费用.(1)若小李聘请一位技术员，求他成功完成三道工序的概率；(2)若小李聘请两位技术员，求他最终获得收益的期望值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）记事件M为“小李聘请一位技术员成功完成三道工序”，分别讨论小李完成工序的情况并计算各类情况的概率最后求和即可；（2）设小李最终收益为X，列出其所有取值，并计算概率求期望值即可.【详解】（1）记事件M为“小李聘请一位技术员成功完成三道工序”，当技术员完成工序A时，小李成功完成三道工序的概率为：,当技术员完成工序B时，小李成功完成三道工序的概率为：,当技术员完成工序C时，小李成功完成三道工序的概率为：,当技术员没参与补救时，小李成功完成三道工序的概率为：，故小李成功完成三道工序的概率为；（2）设小李最终收益为X，小李聘请两位技术员参与比赛，有如下几种情况：两位技术员都参与补救但仍未成功完成三道工序，此时，；两位技术员都参与补救并成功完成三道工序，此时，；只有一位技术员参与补救后成功完成三道工序，此时，;技术员最终未参与补救仍成功完成三道工序，此时，；故.18．（2023·河北保定·统考二模）某学校为了提高学生的运动兴趣，增强学生身体素质，该校每年都要进行各年级之间的球类大赛，其中乒乓球大赛在每年“五一”之后举行，乒乓球大赛的比赛规则如下：高中三个年级之间进行单循环比赛，每个年级各派5名同学按顺序比赛（赛前已确定好每场的对阵同学），比赛时一个年级领先另一个年级两场就算胜利（即每两个年级的比赛不一定打满5场），若两个年级之间打成则第5场比赛定胜负．已知高三每位队员战胜高二相应对手的可能性均为，高三每位队员战胜高一相应对手的可能性均为，高二每位队员战胜高一相应对手的可能性均为，且队员、年级之间的胜负相互独立．(1)求高二年级与高一年级比赛时，高二年级与高一年级在前两场打平的条件下，最终战胜高一年级的概率．(2)若获胜年级积3分，被打败年级积0分，求高三年级获得积分的分布列和期望．【答案】(1)(2)分布列见解析，【分析】（1）根据前两局平局的情况下，后面分两种情况计算高二年级最终战胜高一年级的概率即可；（2）由题可知高三年级获得积分的的取值可为0，3，6，分别计算概率从而可得分布列与数学期望.【详解】（1）设高二年级与高一年级在前两场打平的条件下，最终战胜高高一年级的事件为，则（2）根据题意得高三年级获得积分的的取值可为0，3，6的分布列为036题型七：二项分布的综合问题19．（2023·湖南郴州·统考一模）随着春季学期开学，郴州市市场监管局加强了对学校食堂食品安全管理，助力推广校园文明餐桌行动，培养广大师生文明餐桌新理念，以“小餐桌”带动“大文明”，同时践行绿色发展理念.郴州市某中学食堂每天都会提供A，B两种套餐供学生选择（学生只能选择其中的一种），经过统计分析发现：学生第一天选择A套餐的概率为，选择B套餐的概率为.而前一天选择了A套餐的学生第二天选择A套餐的概率为，选择套餐的概率为；前一天选择套餐的学生第二天选择A套餐的概率为，选择套餐的概率也是，如此往复.记同学甲第天选择套餐的概率为.(1)求同学甲第二天选择套餐的概率；(2)证明：数列为等比数列；(3)从该校所有学生中随机抽取100名学生统计第二天选择去A餐厅就餐的人数，用表示这100名学生中恰有名学生选择去A餐厅就餐的概率，求取最大值时对应的的值.【答案】(1)(2)证明见解析(3)33【分析】（1）根据题意结合全概率公式运算求解；（2）根据题意结合全概率公式可得，结合等比数列的定义分析证明；（3）根据题意分析可得，结合二项分布的概率公式列式求解.【详解】（1）设“第1天选择B套餐”，“第2天选择B套餐”，则“第1天不选择B套餐”.根据题意可知：.由全概率公式可得.（2）设“第天选择B套餐”，则，根据题意.由全概率公式可得，整理得，且，所以是以为首项，为公比的等比数列.（3）第二天选择A类套餐的概率由题意可得：同学甲第二天选择A类套餐的概率为，则不选择A类套餐的概率为，所以，则，当取最大值时，则，即，解得，且，所以.20．（2023·云南·校联考模拟预测）在2005年世青赛中，被称作“超白金一代”的中国男足U23代表队打出了中国男足在世界舞台上的最好表现．球队的战术核心，来自沈阳的陈涛入选了赛事最佳阵容．世青赛的赛制分为小组赛、淘汰赛两个阶段．小组赛中，每个小组4支球队，按照单循环赛制选出两支球队进入淘汰赛．淘汰赛中16支球队逐队厮杀，通过4轮比赛决出最后的冠军．(1)已知在小组赛中，每赢一场记3分，打平一场记1分，输一场记0分，小组赛阶段中国队与巴拿马、土耳其、乌克兰三支球队分在同一组．首战中中国队惊险战胜了欧洲亚军土耳其队，在小组赛占据了优势．面对后两场比赛的对手乌克兰队和巴拿马队，根据赛前球探报告分析，可以近似认为后两场比赛中国的获胜的概率都为0.5，打平的概率都为0.2，输球的概率都为0.3．中国队三场小组赛之后的总积分为随机变量X，求出其分布列和期望．(2)10号队员陈涛作为中国队的进攻核心，他的表现对中国队而言举足轻重．过往数据表示，在所有陈涛出场并且有进球或者助攻的比赛中，中国队赢得了其中80%的场次，在所有陈涛没有进球或者助攻的比赛中，中国队赢得了其中20%的场次，陈涛在其代表中国队出场的40场比赛中，有30场比赛完成了进球或者助攻．在本届比赛中，中国队在小组赛中顺利出线，淘汰赛首轮中对阵世界足坛的传统强队德国队．已知在淘汰赛对阵德国队的比赛中，陈涛代表中国队出场比赛，虽然经过全队不懈努力，仍然不敌强大的德国队，若以过往的数据估计概率，请估计陈涛在本场比赛贡献进球或者助攻的概率．【答案】(1)分布列见解析，期望为6.4分；(2).【分析】（1）求出的可能值，及各个值对应的概率，列出分布列并求出期望.（2）利用全概率公式求出中国队获胜的概率，再利用条件概率公式求解.【详解】（1）依题意，的可能值为，，，，，，，所以的分布列如下：X345679P0.090.120.040.30.20.25期望为分.（2）若为陈涛取得进球或者助攻，则为未进球且未助攻，则，若为中国队获胜，则，，则，，所以，即中国队输给德国队的前提下，陈涛进球或助攻的概率为.21．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）适量的运动有助于增强自身体质，加快体内新陈代谢，有利于抵御疾病．某社区组织社区居民参加有奖投篮比赛，已知小李每次在罚球点投进的概率都为．(1)若每次投篮相互独立，小李在罚球点连续投篮6次，恰好投进4次的概率为，求的最大值点；(2)现有两种投篮比赛规则，规则一：在罚球点连续投篮6次，每投进一次，奖励两盒鸡蛋，每次投篮相互独立，每次在罚球点投进的概率都以（1）中确定的作为p的值；规则二：连续投篮3次，每投进一次，奖励四盒鸡蛋．第一次在罚球点投篮，投进的概率以（1）中确定的作为p的值，若前次投进，则下一次投篮位置不变，投进概率也不变，若前次未投进，则下次投篮要后退1米，投进概率变为上次投进概率的一半．请分析小李应选哪种比赛规则对自己更有利．【答案】(1)最大值点(2)小李应选规则一参加比赛．【分析】（1）先求出连续投篮6次，恰好投进4次的概率的解析式，再利用导数研究其单调性及其最值即可；（2）若选规则一,利用二项分布的概念即可求出其数学期望；若选规则二，可分别求出离散型随机变量的各种情况概率，从而可求得其分布列，进而得出其数学期望，比较这两种规则下求得的数学期望，进而判断即可.【详解】（1）由题意得则，则，令，得，当时，，在区间内单调递增，当时，，在区间内单调递减，所以的最大值点．（2）若选规则一，记X为小李投进的次数，则X的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6．则，则，记Y为小李所得鸡蛋的盒数，则，．若选规则二，记Z为小李投进的次数，则Z的所有可能取值为0，1，2，3．记小李第k次投进为事件，未投进为事件，所以投进0次对应事件为，其概率为；投进1次对应事件为，其概率；投进2次对应事件为，其概率．投进3次对应事件为，其概率，所以Z的分布列为Z0123P所以；记L为小李所得鸡蛋的盒数，则，，因为，所以小李应选规则一参加比赛．一、单选题22．（2023·广西北海·统考一模）端午佳节，小明和小华各自带了一只肉粽子和一只蜜枣粽子．现在两人每次随机交换一只粽子给对方，则两次交换后，小明拥有两只蜜枣粽子的概率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据给定条件，利用相互独立事件的概率公式计算即得.【详解】依题意，第一次两人交换相同的粽子的概率为，第二次小明用肉粽子换小华的蜜枣粽子的概率为，所以两次交换后，小明拥有两只蜜枣粽子的概率为．故选：D23．（2023·湖南郴州·统考一模）湖南第二届旅游发展大会于2023年9月15日至17日在郴州举行，为让广大学生知晓郴州，热爱郴州，亲身感受“走遍五大洲，最美有郴州”绿色生态研学，现有甲，乙两所学校从万华岩中小学生研学实践基地，王仙岭旅游风景区，雄鹰户外基地三条线路中随机选择一条线路去研学，记事件A为“甲和乙至少有一所学校选择万华岩中小学生研学实践基地”，事件B为“甲和乙选择研学线路不同”，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用古典概率求出事件的概率，再利用条件概率公式计算即得.【详解】依题意，甲，乙随机选择一条线路去研学的试验有个基本事件，事件A含有的基本事件数是，则，事件含有的基本事件数为，则,所以.故选：B24．（2023·河北秦皇岛·校联考二模）根据某机构对失踪飞机的调查得知：失踪的飞机中有70%的后来被找到，在被找到的飞机中，有60%安装有紧急定位传送器，而未被找到的失踪飞机中，有90%未安装紧急定位传送器，紧急定位传送器是在飞机失事坠毁时发送信号，让搜救人员可以定位的装置.现有一架安装有紧急定位传送器的飞机失踪，则它被找到的概率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分别表示出三个事件：失踪的飞机后来被找到、失踪的飞机后来未被找到、装有紧急定位传送器的概率，再用条件贝叶斯公式计算即可得出结论.【详解】设“失踪的飞机后来被找到”，“失踪的飞机后来未被找到”，“安装有紧急定位传送器”，则，，安装有紧急定位传送器的飞机失踪，它被找到的概率为.故选：C.25．（2023·四川成都·校联考二模）一个不透明的袋中装有4个红球，4个黑球，2个白球，这些球除颜色外，其他完全相同，现从袋中一次性随机抽取3个球，事件A：“这3个球的颜色各不相同”，事件B：“这3个球中至少有1个黑球”，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】运用分类加法与分步乘法分别求得、，再结合条件概率的公式计算即可.【详解】由题意知，，，所以.故选：D.26．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为．考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）下列说法错误的是（

）A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为D．当时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率【答案】C【分析】根据独立时间的概率乘法以及列举法，可得答案.【详解】对于A，由题意可知：信号的传输相互独立，输入收到的概率为，输入收到的概率为，所以采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为，故A正确；对于B，由题意可知：信号的传输相互独立，输入收到的概率为，输入收到的概率为，所以采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为，故B正确；对于C，采用三次传输方案，若发送1，译码为1的情况分别为“”、“”、“”、“”，因为信号的传输相互独立，输入收到的概率为，输入收到的概率为，所以采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为，故C错误；对于D，若发送0，采用三次传输方案译码为0的情况有“”、“”、“”、“”，所以其概率为；若发送0，采用单次传输方案译码为0的概率为，由，且，则，故D正确；故选：C.27．（2023·四川绵阳·统考二模）下列关于随机变量X的四种说法中，正确的编号是（

）①若X服从二项分布，则；②若从3男2女共5名学生干部中随机选取3名学生干部，记选出女学生干部的人数为X，则X服从超几何分布，且；③若X的方差为，则；④已知，，则．A．②③ B．①③ C．①② D．①④【答案】C【分析】根据二项分布的期望公式判断①；求出超几何分布的期望判断②；根据方差的性质判断③；根据条件概率公式判断④.【详解】若X服从二项分布，则，①正确；选出女学生干部的人数为X的值为，且服从超几何分布，所以，②正确；若X的方差为，则，③错误；因为，，所以，④错误.故选：C.28．（2023·内蒙古赤峰·赤峰二中校联考模拟预测）某商场推出一种抽奖活动：盒子中装有有奖券和无奖券共10张券，客户从中任意抽取2张，若至少抽中1张有奖券，则该客户中奖，否则不中奖.客户甲每天都参加1次抽奖活动，一个月（30天）下来，发现自己共中奖11次，根据这个结果，估计盒子中的有奖券有（

）A．1张 B．2张 C．3张 D．4张【答案】B【分析】根据题意，计算盒子中奖券数量对应的概率，结合期望分析更接近11的可能最大.【详解】设中奖的概率为，30天中奖的天数为，则若盒子中的有奖券有1张，则中奖的概率为，，若盒子中的有奖券有2张，则中奖的概率为，，若盒子中的有奖券有3张，则中奖的概率为，，若盒子中的有奖券有4张，则中奖的概率为，，根据题意盒子中的有奖券有2张，更有可能30天中奖11天，故选：B.29．（2023·河南·襄城高中校联考三模）2022年卡塔尔世界杯上，32支球队分成8个小组，每个小组的前两名才能出线，晋级到决赛．某参赛队在开赛前预测：本队获得小组第一的概率为0.6，获得小组第二的概率为0.3；若获得小组第一，则决赛获胜的概率为0.9，若获得小组第二，则决赛获胜的概率为0.3．那么在已知该队小组出线的条件下，其决赛获胜的概率为（

）A．0.54 B．0.63 C．0.7 D．0.9【答案】C【分析】根据条件概率公式求解即可.【详解】设该队小组出线为事件A，该队决赛获胜为事件B，则，，所以．故选：C.30．（2023·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测）某公司员工食堂每天都有米饭和面食两种套餐，已知员工甲每天中午都会在这两种套餐中选择一种，米饭套餐的价格是每份18元，面食套餐的价格是每份12元，如果甲当天选择了某种套餐，他第二天会有60%的可能性换另一种类型的套餐，假如第1天甲选择了米饭套餐，第n天选择米饭套餐的概率为，给出以下论述：①；②；③④前天甲午餐总费用的数学期望为.其中正确的是（

）A．②③④ B．①②④ C．①③④ D．①②③【答案】B【分析】先根据题意找到递推式，即可判断②，由递推式可求出，从而判断③，根据期望公式，期望的性质以及，即可判断④．【详解】若甲在第天选择了米饭套餐，那么在第天有的可能性选择米饭套餐，甲在第天选择了面食套餐，那么在第天有的可能性选择米饭套餐，所以第天选择米饭套餐的概率，故②正确；因为，所以甲在第1天选择了米饭套餐，所以，故①正确；由②得，，所以，又由题意得，，是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以，故③错误；前天甲午餐总费用的数学期望为，故④正确.故选：B.31．（2023·江苏苏州·模拟预测）某校团委组织“喜迎二十大、永远跟党走”主题征文比赛，评审结果显示，获得一、二、三等奖的征文数量之比为，男生的征文获奖数量分别占一、二、三等奖征文总数的，，.现从所有获奖征文中任取一篇，记“取出一等奖的征文”为事件，“取出男生的征文”为事件，“取出女生的征文”为事件，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据获得一、二、三等奖的征文数量比例，可以设出数量，进而表示出获奖总数，再根据男女获一、二、三等奖比例，分别算出获奖数量，对于、用古典概型公式即可判断，对于、用条件概率公式即可判断.【详解】解：因为获得一、二、三等奖的征文数量之比为，那么不妨设获得一、二、三等奖的征文数量分别为，，，则获奖总数为.因为男生的征文获奖数量分别占一、二、三等奖征文总数的，，，所以男生的一、二、三等奖征文获奖数量分别为，，，则女生的一、二、三等奖征文获奖数量分别为，，，现从所有获奖征文中任取一篇，记“取出一等奖的征文”为事件，“取出男生的征文”为事件，“取出女生的征文”为事件，则，，，所以选项错误.，所以选项错误.，所以选项错误.，所以选项正确.故选：.32．（2023·全国·模拟预测）已知随机变量，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据正态分布密度函数的性质求解.【详解】由题设可知，服从均值为，标准差的正态分布，服从均值为，标准差的正态分布.事件“”的概率仅与正数有关，且越大，该事件的概率越大，因此：和分别等价于和，故后者的概率更大，A正确，B错误；和分别等价于和，两者概率相同，C错误，D错误；故选：A.二、多选题33．（2023·吉林白山·抚松县第一中学校考模拟预测）有两个书架，第一个书架上有4本语文书，6本数学书，第二个书架上有6本语文书，4本数学书．先从第一个书架上随机取出一本书放到第二个书架上，分别以和表示从第一个书架上取出的书是语文书和数学书的事件；再从第二个书架上随机取出一本书，以表示第二个书架上取出的书是语文书的事件，则（

）A．事件与事件相互独立 B．C． D．【答案】BCD【分析】对选项A：根据事件的独立性概念判断即可；对B，根据条件概率公式求解即可；对C，根据全概率公式求解即可；对D，根据条件概率公式求解即可.【详解】对选项A：发生时B发生的概率是，不发生时B发生的概率是，由事件的独立性概念知，事件与事件B不相互独立，A错误；对选项B：，B正确；对选项C：，C正确；对选项D：，D正确；故选：BCD．34．（2023·江西·校联考模拟预测）以下说法正确的是（

）A．若，，则B．随机变量，，若，则C．若，，，则D．若，且，则【答案】BCD【分析】根据二项分布的方差、分布列的期望、条件概率、正态分布等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A．，，故A错；B．，故B对；C．，，，故C对；D．，，故D对．故选：BCD35．（2023·吉林白山·统考二模）装疫苗的玻璃瓶用的不是普通玻璃，而是中性硼硅玻璃，这种玻璃有较好的平均线膨胀系数（简称：膨胀系数）．某玻璃厂有两条硼硅玻璃的生产线，其中甲生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数，乙生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数，则下列选项正确的是（

）．（附：若，则，，）A．甲生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数范围在的概率约为0.7685B．甲生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数比乙生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数数值更集中C．若用于疫苗药瓶的硼硅玻璃的膨胀系数不能超过5，则乙生产线所产硼硅玻璃符合标准的概率更大D．若用于疫苗药瓶的硼硅玻璃的膨胀系数为，则甲生产线所产硼硅玻璃符合标准的概率约为乙生产线的2倍【答案】BD【分析】根据正态分布性质及对应特殊区间上的概率计算分别判断各个选项即可.【详解】因为，所以，．因为，所以，．因为，故A错误．因为，所以甲生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数数值更集中，故B正确．因为，，所以，所以甲生产线所产硼硅玻璃符合标准的概率更大，故C错误．因为，，所以D正确．故选：BD.36．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知甲盒中有2个红球，1个篮球，乙盒中有1个红球，2个篮球.从甲、乙两个盒中各取1个球放入原来为空的丙盒中.现从甲、乙、丙三个盒子中分别取1个球，记从各盒中取得红球的概率为，从各盒中取得红球的个数为，则（

）A．

. B．C． D．【答案】ABC【分析】根据已知利用平均值的原理去快速解决问题判断A选项，再结合两点分布分别得出数学期望和方差大小判断B,C,D选项.【详解】可以利用平均值的原理去快速解决问题，甲盒中有2个红球，1个篮球，拿出一个球，相当于平均拿出个红球，个篮球；乙盒中有1个红球，2个篮球，拿出一个球，相当于平均拿出个红球，个篮球，那么拿出一个球后，放入丙盒子中后，相当于甲盒子内还有个红球，个篮球，乙盒子内还有个红球，个篮球，丙盒子中有1个红球，1个篮球，故，，，，A选项正确；满足两点分布，故，，，，，，，，B,C选项正确，D选项错误.故选：ABC.三、填空题37．（2023·山西吕梁·统考二模）某种红糖的袋装质量服从正态分布，随机抽取5000袋，则袋装质量在区间的约有袋．（质量单位：）附：若随机变量服从正态分布，则，，．【答案】4093【分析】根据正态分布的对称性，结合求解即可.【详解】由题意知，，所以，，得，所以袋装质量在区间的约有袋．故答案为：409338．（2023·福建厦门·厦门一中校考一模）假定生男孩和生女孩是等可能的，现考虑有个小孩的家庭，随机选择一个家庭，则当已知该家庭个小孩中有女孩的条件下，个小孩中至少有个男孩的概率为.【答案】【分析】记事件该家庭个小孩中有女孩，事件该家庭中个小孩中至少有个男孩，计算出、的值，利用条件概率公式可求得的值.【详解】记事件该家庭个小孩中有女孩，事件该家庭中个小孩中至少有个男孩，则，，由条件概率公式可得.故答案为：.39．（2023·四川遂宁·射洪中学校考模拟预测）为舒缓高考压力，射洪中学高三年级开展了“葵花心语”活动，每个同学选择一颗葵花种子亲自播种在花盆中，四个人为一互助组，每组四人的种子播种在同一花盆中，若盆中至少长出三株花苗，则可评为“阳光小组”．已知每颗种子发芽概率为0.8，全年级恰好共种了500盆，则大概有个小组能评为“阳光小组”．（结果四舍五入法保留整数）【答案】410【分析】根据题意可计算出一盆花苗能被评为“阳光小组”的概率为，再根据二项分布的期望值即可求得结果.【详解】由题意知，每一盆至少长出三株花苗包括“恰好长出三株花苗”和“长出四株花苗”两种情况，其概率为，即一盆花苗能被评为“阳光小组”的概率为，且被评为“阳光小组”的盆数服从二项分布，所以500盆花苗中能被评为“阳光小组”的有.故答案为：41040．（2023·重庆巴南·统考一模）现从甲、乙、丙3人中选派一人参加“垃圾分类”知识竞答，他们商议通过玩“石头、剪刀、布”游戏解决：如果其中两人手势相同，另一人不同，则选派手势不同的人参加；否则重新进行一局“石头、剪刀、布”游戏，直到确定人选为止.在每局游戏中，甲、乙、丙各自出3种手势是等可能的，且各局游戏是相互独立的，则直到第三局游戏才最终确定选派人员的概率为.【答案】【分析】根据题意，先求出进行一局游戏，没有确定参加活动人选的概率，然后根据各局游戏是相互独立，即可得到结果.【详解】设事件表示“进行一局游戏，成功确定参加活动人选”，则，则进行一局游戏，没有确定参加活动人选的概率为，且各局游戏是相互独立的，则直到第三局游戏才最终确定选派人员的概率为.故答案为：四、解答题41．（2023·河北沧州·校考三模）甲、乙、丙三人进行台球比赛，比赛规则如下：先由两人上场比赛，第三人旁观，一局结束后，败者下场作为旁观者，原旁观者上场与胜者比赛，按此规则循环下去.若比赛中有人累计获胜3局，则该人获得最终胜利，比赛结束，三人经过抽签决定由甲、乙先上场比赛，丙作为旁观者.根据以往经验，每局比赛中，甲、乙比赛甲胜概率为，乙、丙比赛乙胜概率为，丙、甲比赛丙胜概率为，每局比赛相互独立且每局比赛没有平局.(1)比赛完3局时，求甲、乙、丙各旁观1局的概率；(2)已知比赛进行5局后结束，求甲获得最终胜利的概率.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据独立事件的概率公式进行求解即可；（2）分析比赛情况，根据和事件的概率公式进行求解即可.【详解】（1）由题可知，甲、乙、丙各旁观1局的概率即为甲、乙、丙各胜1局的概率.设甲、乙比赛甲胜，乙、丙比赛乙胜，丙、甲比赛丙胜分别为事件，，，则，，相互独立，设比赛完3局时，甲、乙、丙各胜1局为事件，则，则，所以甲、乙、丙各旁观1局的概率为.（2）设甲、乙、丙第局比赛获胜分别为事件，，，，设比赛完5局甲获得最终胜利为事件，则，，，，，，所以.所以，已知比赛进行5局后结束，甲获得最终胜利的概率为.42．（2023·江苏连云港·校考模拟预测）某活动现场设置了抽奖环节，在盒中装有9张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“敬业”或“爱国”图案，抽奖规则：参加者从盒中抽取卡片两张，若抽到两张分别是“爱国”和“敬业”卡即可获奖；否则，均为不获奖．卡片用后放回盒子，下一位参加者继续重复进行．活动开始后，一位参加者问：“盒中有几张“爱国”卡？”主持人答：“我只知道，从盒中抽取两张都是“敬业”卡的概率是.”(1)求抽奖者获奖的概率；(2)为了增加抽奖的趣味性，规定每个抽奖者先从装有9张卡片的盒中随机抽出1张不放回，再用剩下8张卡片按照之前的抽奖规则进行抽奖，现有甲、乙、丙三人依次抽奖，用X表示获奖的人数，求X的分布列和均值．【答案】(1)(2)分布列见解析，【分析】（1）设“敬业”卡有n张，根据已知列出关系式解出的值，然后即可得出答案；（2）先求出下规则下，每人获奖的概率.由已知可得，进而即可根据二项分布的分布列以及均值公式，得出答案.【详解】（1）设“敬业”卡有n张，由已知可得，解得，故“爱国”卡有5张，抽奖者获奖的概率为.（2）若抽出的为“敬业”卡，则每个抽奖者获奖的概率为，若抽出的为“爱国”卡，则每个抽奖者获奖的概率为，所以，新规则下，每个抽奖者获奖的概率为，所以，（，1，2，3），则X的分布列为X0123P所以.43．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）近年来，购买盲盒成为当下年轻人的潮流之一，为了引导青少年正确消费，国家市场监管总局提出，盲盒经营行为应规范指引，经营者不能变相诱导消费．盲盒最吸引人的地方，是因为盒子上没有标注，只有打开才会知道自己买到了什么，这种不确定性的背后就是概率．几何分布是概率论中非常重要的一个概率模型，可描述如下：在独立的伯努利（Bernoulli）试验中，若所考虑事件首次出现，则试验停止，此时所进行的试验次数服从几何分布，事件发生的概率即为几何分布的参数，记作．几何分布有如下性质：分布列为，，期望．现有甲文具店推出四种款式不同、单价相同的文具盲盒，数量足够多，购买规则及概率规定如下：每次购买一个，且买到任意一种款式的文具盲盒是等可能的．(1)现小嘉欲到甲文具店购买文具盲盒．①求他第二次购买的文具盲盒的款式与第一次购买的不同的概率；②设他首次买到两种不同款式的文具盲盒时所需要的购买次数为，求的期望；(2)若甲文具店的文具盲盒的单价为12元，乙文具店出售与甲文具店款式相同的非盲盒文具且单价为18元．小兴为了买齐这四种款式的文具，他应选择去哪家文具店购买更省钱，并说明理由．【答案】(1)①；②(2)应该去乙店购买非盲盒文具，理由见解析【分析】（1）①明确第二次只需买到其余的三种文具盲盒的任意一款即可求解；②结合已知由几何分布的性质即可求解.（2）由随机变量以及相应的均值结合几何分布的性质即可求解.【详解】（1）①由题意可知，当第一次购买的文具盲盒已经确定时，第二次只需买到其余的三种文具盲盒的任意一款即可，所以；②设从第一次购买文具后直到购买到两种不同款式的文具盲盒所需要的购买次数为，则由题意可知，又，所以.（2）由题意，在乙店买齐全部文具盲盒所花费的费用为元，设从甲店买齐四种文具盲盒所需要的购买次数为，从第一次购买到种不同款式的文具开始，到第一次购买到种不同款式的文具盲盒所需要的购买次数为随机变量，则，其中，而，所以，所以在甲店买齐全部文具盲盒所需费用的期望为，所以应该去乙店购买非盲盒文具．44．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）某猎人发现在距离他100米处的位置有一只猎物，如果直接射击，则只射击一次就击中猎物的概率为，为了有更大的概率击中猎物，猎人准备多次射击.假设每次射击结果之间相互独立，猎人每次射击击中猎物的概率与他和猎物之间的距离成反比.(1)如果猎人第一次射击没有击中药物，则猎人经过调整后进行第二次射击，但由于猎物受到惊吓奔跑，使得第二次射击时猎物和他之间的距离增加了50米；如果第二次射击仍然没有击中猎物，则第三次射击时猎物和他之间的距离又增加了50米，如此进行下去，每次射击如果没有击中，则下一次射击时猎物和他之间的距离都会增加50米，当猎人击中猎物或发现某次射击击中的概率小于时就停止射击，求猎人停止射击时射击次数的概率分布列与数学期望.(2)如果猎人直接连续射击，由于射击速度很快，可以认为在射击期间猎物和猎人之间的距离保持不变，如果希望至少击中猎物一次的概率超过98%，至少要连续射击多少次?附:.【答案】(1)分布列见解析，(2)5次．【分析】（1）设第i次射击击中猎物的概率为，猎人和猎物之间的距离为，则(k为常数)，由，，求出和符合题意，由射击次数X的所有取值，计算相应的概率，列出分布列，计算数学期望；（2）利用对立事件，计算至少击中一次的概率，列不等式借助对数式的运算计算射击次数.【详解】（1）因为猎人每次射击击中猎物的概率与他和猎物之间的距离成反比，设第i次射击击中猎物的概率为，猎人和猎物之间的距离为，则(k为常数)，∵，，∴，∴，∴，，．当时，，停止射击．设猎人的射击次数为X，则X的所有取值为1，2，3，4，，，，∴X的分布列为x1234P∴X的数学期望为.（2）记“第i次射击击中猎物”为事件，i=1，2，…，则n次连续射击至少击中猎物一次的概率为，故，所以至少要连续射击5次．45．（2023·湖南永州·统考一模）某企业为提高竞争力，成功研发了三种新品，其中能通过行业标准检测的概率分别为，且是否通过行业标准检测相互独立．(1)设新品通过行业标准检测的品种数为，求的分布列；(2)已知新品中的一件产品经检测认定为优质产品的概率为0.025，现从足量的新品中任意抽取一件进行检测，若取到的不是优质产品，则继续抽取下一件，直至取到优质产品为止，但抽取的总次数不超过．如果抽取次数的期望值不超过5，求的最大值．参考数据：【答案】(1)分布列见解析(2)5【分析】（1）由题意的所有可能取值为：0，1，2，3,由独立事件乘法公式以及互斥事件加法公式即可分别求出相应的概率，进而求解.（2）不妨设抽取第次时取到优质产品，此时对应的概率为，而第次抽到优质产品的概率为，所以抽取次数的期望值为，对其求和并结合以及参考数据即可求解.【详解】（1）由题意的所有可能取值为：0，1，2，3.,,,;所以的分布列如下表：0123（2）不妨设抽取第次时取到优质产品，此时对应的概率为，而第次抽到优质产品的概率为，因此由题意抽取次数的期望值为，，两式相减得，所以，又由题意可得，所以，即，注意到当时，有，且当时，有；综上所述：的最大值为5.46．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测）北京冬奥会的举办使得人们对冰雪运动的关注度和参与度持续提高.某地很多中小学开展了模拟冬奥会赛事的活动，为了深入了解学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地随机选取了10所学校进行研究，得到如下数据：

(1)从这10所学校中随机抽取2所，在抽取的2所学校参与“单板滑雪”的人数超过30人的条件下，求这2所学校参与“自由式滑雪”的人数超过30人的概率；(2)现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行、转弯、停止”这3个动作技巧进行集训，且在集训中进行了多轮测试.规定：在一轮测试中，这3个动作至少有2个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”.已知在一轮集训测试的3个动作中，甲同学每个动作达到“优秀”的概率均为，每个动作互不影响且每轮测试互不影响.如果甲同学在集训测试中获得“优秀”次数的平均值不低于8次，那么至少要进行多少轮测试？【答案】(1)(2)11轮【分析】（1）由已知条件，记“这10所学校中随机选取2所学校参与“单板滑雪”的人数超过30人”为事件A，“这10所学校中随机选取2所学校参与“自由式滑雪”的人数超过30人”为事件B，根据条件概率公式求解即可