第8题多个知识交汇问题（高三备考）学生版

第8题多个知识交汇问题（一题多解）【浙江省9＋1高中联盟2024-2025学年高三上学期11月期中考试】．已知曲线C的方程为：，，，，过M的直线交曲线C于、两点（A在B的上方），已知，，下列命题正确的是（

）A．B．的最小值是2C．周长的最大值是D．若，将沿翻折，使面面，则折后对于A项由正弦定理结合椭圆定义可判定；对于B，结合A的结论与三角恒等变换、基本不等式可判定；对于C，利用两点距离公式及基本不等式可判定；对于D，联立直线与曲线方程计算AO，BO长，再根据条件判定线线垂直计算空间距离即可.．由已知，在中，已知，，由正弦定理得，又，即，所以，故A正确；由，得：，在中，，，则，，所以，，故，当且仅当，时取到最小值是2，故B正确；周长，设，，又，，则，当且仅当，即时，等号成立，故周长的最大值是，故C正确；设AB的方程是：与联立得：，解得：（舍去）或，则点A为椭圆上顶点，，又在圆上，所以，又沿翻折后，平面平面，平面平面，，则平面，又平面，则，所以，故D错误．1．数学中有许多寓意美好的曲线，曲线被称为“四叶玫瑰线”（如图所示）.给出下列三个结论：①曲线关于直线对称；②曲线上任意一点到原点的距离都不超过1；③存在一个以原点为中心､边长为的正方形，使曲线在此正方形区域内（含边界）.其中，正确结论的序号是（

）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③（2024·辽宁鞍山·二模）2．在平面直角坐标系中，定义为点到点的“折线距离”．点是坐标原点，点在直线上，点在圆上，点在抛物线上．下列结论中正确的结论为（

）A．的最小值为2 B．的最大值为C．的最小值为 D．的最小值为设，构造椭圆，结合椭圆的定义计算可判定C；由椭圆焦半径及三余弦公式、余弦定理解三角形即可判定D.A、B选项同解法一；C选项设，构造椭圆，，B点可以看成是椭圆与圆的交点，当b最大时最大，所以当B在时最大，此时，所以，故周长的最大值是，故C正确；D选项由椭圆的焦半径公式得，又．根据三余弦公式有，所以；所以由余弦定理有，故D错．3．2022年卡塔尔世界杯会徽（如图）正视图近似于伯努利双纽线，定义在平面直角坐标系xOy中（O为坐标原点），把到定点和距离之积等于的点的轨迹称为双纽线，记为Γ，已知为双纽线Γ上任意一点，有下列命题：①双纽线Γ的方程为；②面积最大值为；③；④的最大值为．其中所有正确命题的序号是（

）A．①② B．①②③C．②③④ D．①②③④4．已知F是抛物线的焦点，O为坐标原点，A，B是抛物线C上的两点，的中点M在C的准线上的投影为N，则（

）A．曲线C的准线方程为 B．若，则的面积为C．若，则 D．若，则由平行四边形的对角线定理及基本不等式可判定C；联立直线与曲线方程求出AB两点坐标，利用距离公式计算判定D.A，B选项同解法一；C选项由平行四边形的对角线定理有，所以．由基本不等式，有，当且仅当等号成立．故周长的最大值是，故C正确；D选项由题知直线AB的方程为，联立方程求得，，由两点间距离公式得，故D错．5．如图，半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”，其中.和分别是“果圆”与x轴，y轴的交点.给出下列三个结论：①；②若，则；③若在“果圆”y轴右侧部分上存在点P，使得，则.其中，所有正确结论的序号是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③（23-24高二上·湖北武汉·阶段练习）6．设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于两点，其中在第一象限，则下列正确的是（

）A．的准线为B．的最小值为C．以为直径的圆与轴相切D．若且，则7．已知曲线C：，直线l经过坐标原点O，则下列结论正确的是（

）A．曲线C是半径为1的圆B．点O一定不在曲线C上C．对任意的，必存在直线l与曲线C相切D．若直线l与曲线C交于A，B两点，则的最小值为28．2021年3月30日，小米正式开始启用具备“超椭圆”数学之美的新logo.设计师的灵感来源于曲线C：.其中星形线E：常用于超轻材料的设计.则下列关于星形线说法正确的是（

）A．E关于y轴对称B．E上的点到x轴、y轴的距离之积不超过C．E上的点到原点距离的最小值为D．曲线E所围成图形的面积小于29．已知抛物线C：的焦点为F，直线l与C交于，两点，其中点A在第一象限，点M是AB的中点，作MN垂直于准线，垂足为N，则下列结论正确的是（

）A．若直线l经过焦点F，且，则B．若，则直线l的倾斜角为C．若以AB为直径的圆M经过焦点F，则的最小值为D．若以AB为直径作圆M，则圆M与准线相切（2024·福建龙岩·三模）10．已知抛物线与圆交于A，B两点，且.过焦点的直线与抛物线交于M，N两点，点是抛物线上异于顶点的任意一点，点是抛物线的准线与坐标轴的交点，则（

）A．若，则直线的斜率为 B．的最小值为18C．为钝角 D．点与点的横坐标相同时，最小11．定义：点为曲线外的一点，为上的两个动点，则取最大值时，叫点对曲线的张角.已知点为抛物线上的动点，设对圆的张角为，则的最小值为.12．如图，把半椭圆：和圆弧：合成的曲线称为“曲圆”，其中点是半椭圆的右焦点，，，，分别是“曲圆”与轴，轴的交点，已知，过点的直线与“曲圆”交于，两点，则的周长的取值范围是.（24-25高三上·上海·开学考试）13．如图，半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”，其中，，.“果圆”与x轴的交点分别为、，若在“果圆”y轴右侧部分上存在点P使得，则的取值范围为.

（24-25高二上·北京·阶段练习）14．造型在纺织中作为花纹得到广泛应用，这种造型被称为双纽线.已知椭圆的左､右焦点分别为，焦距为4，若动点满足，则动点的轨迹就是一个双纽线.下列说法正确的是.①轨迹仅经过一个整点（即横､纵坐标都是整数的点）；②若点位于椭圆上，且，则的离心率为；③点与原点之间的距离不超过；④若直线与曲线有且仅有一个公共点，则或.（2024·浙