第11讲 导数中的切线问题与切线放缩（原卷版）

第11讲导数中的切线问题与切线放缩【典型例题】例1．（2024·重庆·模拟预测）设点(异于原点)在曲线上，已知过的直线垂直于曲线过点的切线，若直线的纵截距的取值范围是，则（

）A．2 B．1 C． D．例2．（2024·宁夏银川·一模）已知函数与（且）的图象只有一个交点，给出四个值：①；②；③；④，则的可能取值为（

）A．①② B．①③ C．②③ D．②④例3．（2024·高二·江苏·阶段练习）若曲线与曲线存在公切线，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．例4．（多选题）（2024·高三·全国·专题练习）已知，若过点可以作曲线的三条切线，则下列结论错误的是（

）A． B． C． D．例5．（2024·高二·广东东莞·阶段练习）牛顿法求函数零点的操作过程是：先在x轴找初始点，然后作在点处切线，切线与轴交于点，再作在点处切线，切线与轴交于点，再作在点处切线，依次类推，直到求得满足精度的零点近似解为止．设函数，初始点为，若按上述过程操作，则所得的第个三角形的面积为．（用含有的代数式表示）例6．（2024·高三·湖南长沙·阶段练习）已知动点在圆上，动点Q在曲线上．若对任意的，恒成立，则的最大值是．例7．（2024·高二·四川遂宁·阶段练习）若点，则两点间距离的最小值为.例8．（2024·江苏·一模）已知函数，函数.(1)若过点的直线与曲线相切于点，与曲线相切于点.①求的值；②当两点不重合时，求线段的长；(2)若，使得不等式成立，求的最小值.例9．（2024·河南新乡·二模）定义：若函数图象上恰好存在相异的两点，满足曲线在和处的切线重合，则称，为曲线的“双重切点”，直线为曲线的“双重切线”．(1)直线是否为曲线的“双重切线”，请说明理由；(2)已知函数求曲线的“双重切线”的方程；(3)已知函数，直线为曲线的“双重切线”，记直线的斜率所有可能的取值为，，…，，若（），证明：．【过关测试】一、单选题1．（2024·四川凉山·二模）已知点是曲线上任意一点，则的最大值为（

）A． B． C． D．2．（2024·河南·模拟预测）已知函数的图象经过两点，且的图象在处的切线互相垂直，则的取值范围是（

）A． B． C． D．3．（2024·全国·模拟预测）已知函数的图象上存在不同的两点，使得曲线在点处的切线都与直线垂直，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．4．（2024·福建·模拟预测）已知直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则（）A．， B．，C．， D．，5．（2024·高三·重庆大足·阶段练习）已知函数，，点与分别在函数与的图象上，若的最小值为，则（

）A． B．3 C．或3 D．1或3二、多选题6．（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数，，则（

）A．恒成立的充要条件是B．当时，两个函数图象有两条公切线C．当时，直线是两个函数图象的一条公切线D．若两个函数图象有两条公切线，以四个切点为顶点的凸四边形的周长为，则7．（2024·高二·江苏苏州·阶段练习）函数（其中，为自然常数），则上述结论正确的是（

）A．，使得直线为曲线的一条切线B．，函数有且仅有一个零点C．当时，在区间上单调递减D．当时，，使得直线与曲线没有交点8．（2024·高三·江苏·专题练习）（多选）如图，为阿基米德三角形.抛物线上有两个不同的点，以A，B为切点的抛物线的切线相交于点P.给出如下结论，其中正确的为（

）

A．若弦过焦点，则为直角三角形且B．点P的坐标是C．的边所在的直线方程为D．的边上的中线与y轴平行（或重合）9．（2024·广东广州·一模）已知直线与曲线相交于不同两点，，曲线在点处的切线与在点处的切线相交于点，则（

）A． B． C． D．10．（2024·高三·全国·专题练习）定义：设是的导函数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数的对称中心为，则下列说法中正确的有（

）A．，B．函数既有极大值又有极小值C．函数有三个零点D．过可以作三条直线与图象相切11．（2024·江西南昌·一模）已知直线是曲线上任一点处的切线，直线是曲线上点处的切线，则下列结论中正确的是（

）A．当时，B．存在，使得C．若与交于点时，且三角形为等边三角形，则D．若与曲线相切，切点为，则12．（2024·贵州毕节·一模）已知，函数有两个极值点，则（

）A．B．时，函数的图象在处的切线方程为C．为定值D．时，函数在上的值域是三、填空题13．（2024·广西来宾·一模）已知函数，动直线与的图象分别交于A，B两点，曲线在点A和点B的两条切线相交于点C，当为直角三角形时，它的面积为.14．（2024·黑龙江吉林·二模）已知函数，过点作与y轴平行的直线交函数的图象于点P，过点P作图象的切线交x轴于点B，则面积的最小值为.15．（2024·高三·四川巴中·阶段练习）若曲线上存在垂直于轴的切线，则的范围是16．（2024·河南·一模）记函数的图象为，作关于直线的对称曲线得到，则曲线上任意一点与曲线上任意一点之间距离的最小值为．17．（2024·高三·甘肃张掖·阶段练习）对给定的实数，总存在两个实数，使直线与曲线相切，则的取值范围为.18．（2024·四川宜宾·二模）已知为抛物线的焦点，过直线上的动点作抛物线的切线，切点分别是，则直线过定点.19．（2024·高三·重庆·阶段练习）已知函数的图象在点和处的两条切线互相垂直，且分别交轴于两点，则的取值范围为.20．（2024·高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，点在曲线上，且该曲线在点处的切线经过点（为自然对数的底数），则点的坐标是，切线方程为21．（2024·山东济宁·一模）已知函数（且）恰有一个零点，则实数的取值范围为．22．（2024·江西赣州·一模）已知是抛物线上异于顶点的点，在处的切线分别交轴､轴于点，过作的垂线分别交轴､轴于点，分别记与的面积为，则的最小值为.23．（2024·河南南阳·一模）已知曲线与曲线关于直线对称，则与两曲线均相切的直线的方程为.24．（2024·高三·广东·阶段练习）若圆C与抛物线在公共点B处有相同的切线，且C与y轴切于的焦点A，则．四、解答题25．