《时间序列分析》课件 第12章 非线性时间序列模型

时间序列分析张成思

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第12章非线性时间序列模型

12.1非线性时间序列模型背景介绍

12.2马尔可夫区制转移模型

12.3门限模型

12.1非线性时间序列模型背景介绍

时间序列变量，特别是高频时间序列变量，经常表现出与较低频率的时间序列变量明显不同的特征。所以，对高频金融数据进行建模，往往与一般的时间序列分析方法存在差别。

这是因为，随着时间的变化，宏观政策的调整和经济结构的可能变化，能够造成计量模型内的系数发生变化。换言之，不同时期或者区制对应的模型系数可能会发生改变。而捕捉这种系数变化的重要模型之一，就是带有状态变量的区制转移模型。

非线性模型的一个重要表象就是可能出现“状态”的转变。这种状态的转变，有时候也被称为“区制”的转变，可以用来捕捉金融时间序列模型中可能存在的结构性变化。12.2马尔可夫区制转移模型

12.2.1背景介绍

近年来，非线性模型的发展使得其在经济和金融时间序列分析领域得到了越来越广泛的应用。特别是区制转移模型，在经济、金融领域得到越来越多的重视。例如，马尔可夫区制转移模型可以用来分析宏观经济周期。Hamilton(1989)的文献应该算得上是MS模型的开创性文献，而且利用Hamilton的马尔可夫区制转移模型获得的经济周期与NBER给出的经济周期基本上是完全吻合的。

基于Hamilton的重要贡献，马尔可夫区制转移模型也经常被称为Hamilton模型。正如前面介绍过的，在MS模型中，区制有时候也称为“状态”。

12.2.2马尔可夫区制转移概率问题

MS模型所表示的内容是不同时期的不同状态。

在只涉及两个状态的MS模型中，转移概率的定义可以写成：

模型12.1可以用矩阵表示为：

这里，以不同状态下对应的概率所组成的矩阵P，称为转移矩阵。

模型(12.1)也可以写成另一种形式:

实际上，模型(14.3)的这种表达形式给出了状态变量

与所谓的马尔可夫链（MarkovChain）的联系，而马尔可夫链的定义可以写成：

从上面的介绍不难看出，一阶的MS模型，在t时刻的状态

只与t-1时刻的状态

有关。

12.2.3马尔可夫区制转移模型介绍在更一般的情况下，区制转移模型可以写成如下形式其中：、

和

分别表示因变量、自变量矩阵以及系数矩阵。

12.2.4状态变量的属性MS模型中不同区制（状态）持续的时间、区制的期望、区制的向量表示形式以及利用向量形式的区制形式预测未来的状态，是状态变量属性中最重要的几个方面，我们下面分别进行介绍。

12.2.4.1区制的久期区制的持续期，是指在某个区制或者状态下持续的时间长度。所以，利用区制持续期可以衡量模型在不同状态下持续的时间。例如，从模型(13.1)可以看出，对于

，概率p的值越高，从当前的状态“1”转换到状态“0”的可能性越小。举例来说，如果变量

表示经济增长率变量，并假设

表示经济衰退状态，而

对应经济扩张状态。那么，如果

从

转移到

的状态时，就代表着经济从t时期的衰退期转变到了t+1时期的扩张时代。在进入下一个衰退期之前，扩张状态持续的时间就是

对应的持续期。

时刻标志着扩张状态的开始，假定这样的状态持续到

时刻为止，则所以，区制“1”持续期的期望可以写成：（14.12）

同理，如果假设就可以求出区制“0”持续期的期望，即：

12.2.4.2区制的期望

关于区制或者说状态变量的期望，实际上分为条件期望和无条件期望。我们先来讨论简单的条件期望，然后在介绍区制的向量表示形式之后再介绍无条件期望。在两个区制的情况下，区制的取值只有0和1。所以，在给定一个区制的条件下，就可以确定另一个区制对应的期望值。

例如，如果

，那么从模型(12.1)可知，

与

的概率分别是p和1-p。这样，状态

的条件期望可以写成：

如果

，那么

与

的概率分别是q和1-q，则有：定义如下矩阵：

进而：

结合转移概率矩阵(12.2)，可得

同时，利用模型(12.16)可知：

再结合模型(12.14)和(12.15)，可得：

可以定义一个随机扰动项

，使得

满足：

这样，可以把模型(12.19)重新写成VAR(1)模型的形式，即：

在一阶MS模型中，我们还可以得到比模型(12.23)更一般的结论，即：无条件期望对应的是其中一个状态的期数占总共状态期数的比重。我们知道，对于只有两个状态的MS模型来说，在每一个时刻点，只有一个状态，也只有一个扰动项。从模型(12.16)和(12.21)，我们得到：

这个VAR模型系统对应的两个分等式给出的是：

因为概率p和q都介于0与1之间，所以：

对于模型(12.29)，不等式两端的情形（-1和1）分别对应的是两个特殊情况。当

时，对应的是p和q都为0的情况。在这种情况下，每个时刻点都发生区制转移。

而当

时，对应的是p和q都为1的情况。此时，区制转移不再发生。

除了这两种极端情况之外，(12.28)是平稳序列。利用AR模型的性质，我们可以获得状态

的无条件期望，即

12.2.4.3区制的预测

利用模型(12.21)以及第8章介绍的VAR模型的属性，得到下列等式：因为模型(12.24)知道,

所以：如果假设现在处在状态1，那么未来1期转移概率可以分别计算为：和

12.2.5区制的推断问题

贝叶斯定理（BayesianRule）

（14.33）

假设

代表到样本端点时刻T时的所有信息集，序列

的初始值

已知，并且在时刻t，区制为

。故有：结合贝叶斯定理，可得：

由于

只能取0或者1，所以

可以通过分别与这两个可能取的值对应的两个联合概率密度函数的和:

当我们考虑更一般的情况时，则可以把模型(12.34)拓展为：其中：

我们可以通过模型(12.36)到(12.38)，来获得从

的概率

。这些概率一般被称为区制的滤波概率。而与滤波概率相对的另一个相关的概率是“平滑概率”，定义为

。

在MS模型应用中，这些平滑概率有着极为重要的作用。

12.2.6马尔可夫区制转移模型的估计与假设检验

假定我们考虑的序列为,样本大小为,条件密度函数是,其中

,表示待估计的系数矩阵。

若区制转移发生在,对于前

个观测值,对应的密度函数为

.对于剩下的

个观测值,对应的密度函数为.与MS模型对应的似然函数就是：

两个区制对应的密度函数可以写成：为消掉这个密度函数中的未知状态变量以使用,利用平滑概率

和条件密度函数,可以获得：加总所有可能的状态变量值,就获得了

。从而,我们可以获得条件似然函数：

（14.42）

假定条件概率

为固定值,这样也就是把它也看作一个系数。如果仍然假设正态分布的扰动项,则似然函数可以写成：假设我们研究的序列

可以使用一个AR(p)模型来刻画其动态过程，并且该AR模型为一个马尔可夫过程，AR模型的系数、均值和方差都出现区制转移，即：密度函数就可以写成：从而可以进一步获得模型(14.42)对应的条件似然函数。

获得了似然函数之后，对于一个MS模型,其估计方法可以使用准最大似然估计。当然在估计过程中,除了模型中的系数之外,平滑概率也是一个需要估计的变量。当模型的系数估计出来之后，一般情况下我们可以利用传统的假设检验方法，检验模型中各个系数的显著性。

12.3门限模型门限模型的核心不涉及概率转移矩阵，而是根据设定的门限，来分析模型在不同区制的变化。在门限模型中，区制的变化可以体现在模型在两个不同状态下的变化，也可以是平滑性的变化。一般以自回归模型为研究对象，所以前者对应的是门限自回归模型，而后者对应的是平滑自回归模型。

12.3.1门限自回归模型

假设对于一个AR(1)模型，如果其均值在某个时刻发生变化，这种情况就是门限模型的一种。如图12-2所示，对于一个样本为T的

序列，在d时刻之前均值为

，而在d时刻后，其均值跳跃到

。这样我们可以把AR(1)模型写成：更一般地，TAR模型可以写成如下形式:图12-2均值发生区制转移的yt序列与其均值变化图示图12-2均值发生区制转移的yt序列与其均值变化图示

TAR模型与MS模型的设立不同,TAR模型不涉及转移概率矩阵,而是利用一个门限值,(如),来区分不同的状态。例如,假设存在一个分割点d,在

之前和之后发生区制转变，那么：

现在,如果要估计模型(12.43)，我们需要确定门限值和分割点d是否为已知的。如果这两个变量均为给定的,那么就可以利用OLS分别对不同区制内的模型进行回归估计。在估计之后还可以利用传统的假设检验来检验区制是否确实发生转变。例如，可以使用F检验，即：

其中：

和

分别表示有约束条件和无约束条件下对应的残差平方和,表示约束条件的个数(如发生区制变化的系数的个数),表示包括常数项在内的自变量的个数。注意,当d和

都未知或者其中有一个未知时,由于干扰系数问题,待检验统计量不再服从F分布,从而F检验不再适用。例如,如果d已知,而

未知,可以利用搜索方法。如果这两个变量都未知,仍然可以利用搜索方法获得。此时门限模型的估计和检验,可以使用Andrews(1993)和AndrewsandPloberger(1994)的SupWald