《时间序列分析》课件 第9章 结构向量自回归 (SVAR) 模型

时间序列分析

张成思

第9章结构向量自回归(SVAR)模型

9.1SVAR模型初步

9.2SVAR模型的基本识别方法

9.3SVAR模型的三种类型

9.4SVAR模型的估计方法总结

9.5SVAR模型与缩减的VAR模型的脉冲响应及方差分解比较9.1SVAR模型初步9.1.1SVAR模型的基本概念

所谓结构向量自回归模型，正如其名称所表明的，它可以捕捉模型系统内各个变量之间的即时的结构性关系。

SVAR的建立一般都是基于一定的经济理论基础。例如，现代货币政策传导机制的一条途径是通过欧拉等式（即IS等式）、菲利普斯曲线和货币政策反应方程（Taylor规则）的动态系统实现的。

（9.1）

定义向量：

这样，就可以将公式(9.1)重新写成如下形式，即：

其中：

，，

以及：

基于以上定义，模型(11.3)就是一个SVAR(1)模型的形式。9.1.2SVAR模型与VAR模型假设矩阵有定义，并且可逆，则

所以，VAR模型从某种程度上说，是SVAR模型的缩减形式。

SVAR(p)模型：

其中:p表示滞后期数。相应的缩减VAR形式为：

其中：以及：

9.2SVAR模型的基本识别方法9.2.1SVAR模型的识别问题

基本思想:如果通过一定的约束条件，使得估计出的VAR模型对应的系数矩阵、对应的方差矩阵等统计量的个数不少于SVAR模型中待求的未知量的个数。

要想获得SVAR模型中的结构性系数，首先需要考虑所谓的“排序”（order）问题。什么是order问题呢？简单地解释即，order问题就是对比SVAR模型中待估计量的个数与VAR模型中可以估计出来的对应量的个数。

比较含有n个变量的VAR(p)与SVAR(p)模型的这些数字关系，我们看到，SVAR(p)模型要比VAR(p)模型多

个未知量待估计。因此，如果希望通过估计VAR模型然后利用VAR与SVAR的内在联系再估计出SVAR模型的所有系数，那么就必须对SVAR模型施加

个约束条件。

常见的一个约束条件是令矩阵

的对角线上的元素都为1。但是这个约束只能获得n个限制条件，所以如果要保证SVAR模型能够被识别，就还需要至少n(n-1)个限制条件。当然，如果约束条件多于这个标准，则称为“过度识别”，反之则称为“不足识别”。

9.2.2识别SVAR模型的约束条件9.2.2.1对结构冲击项的方差协方差矩阵约束

假定SVAR模型中包含的两个变量分别是真实GDP增长率和货币供应量增长率，分别使用

和

来表示这两个变量。

这样，我们就可以获得由总供给和货币供给反应方程组成的SVAR模型:

就上面这个SVAR模型，如果把它看成模型(9.10)的形式，那么对应的矩阵

的对角线上的元素都为1，从前面的介绍我们知道这个约束给出了n个限制条件。而如果要保证SVAR模型能够被识别，还需要至少

个限制条件。

其中一个约束条件可以考虑对该SVAR模型中的扰动项的方差—协方差矩阵

进行限制而实现。对这个矩阵的限制一般采用的形式是令对称矩阵

为对角矩阵。如果限制了这个条件，那就意味着我们假设SVAR模型中的结构扰动项之间彼此互不相关。注意,这里限制Ωu为对角矩阵,只给出了n(n-1)/2=2×(2-1)/2=1个约束条件,还需要至少n(n-1)/2=2×(2-1)/2=1个额外的约束条件。这额外的约束条件如何获得呢?通常可以考虑采用下面介绍的方法,即对矩阵Γ0的约束条件。

9.2.2.2对Γ0矩阵的约束

尚缺的1个额外约束条件，可以考虑通过对矩阵

进行适当的限制来获得。当然，对

的限制也应该有一定的经济含义解释。以上面的“产出—货”SVAR模型为例，必须找到对

或者

的限制条件。

从经济理论角度出发，我们可以考虑货币政策对现实经济影响普遍存在的时滞特点，从而假定当期的货币政策冲击对当期的经济产出并不马上产生影响。这样，

对

的影响乘数应该为0，即：

如果限制了这个条件，那么考查模型(9.16)和(9.17)就知道，这个假设要求实质上要求

。

如果有了这个限制条件，加上前面介绍的对矩阵

的限制条件，对应的SVAR模型就可以被识别了。

对n变量情况下矩阵

的约束：

这种情况下，对

进行类似的约束，经常被称为“伍德因果链”（WoldCausalChain：WCC）约束，即：

如果n=3，WCC约束给出的模型可以写成如下形式，即：这个例子中，矩阵

的形式为：

拓展到n个变量的SVAR系统，WCC约束条件对应的矩阵

就变成如下形式：

9.2.2.3长期关系约束

长期关系约束的实质可以通过下面的公式说明：

长期关系约束条件限制矩阵

是一个下三角矩阵，从而就可以获得

个约束条件。

9.3SVAR模型的三种类型Amisano和Giannini(1997)根据SVAR系统中对当期变量之间的结构性关系假设不同，提出了三种不同类型的SVAR模型，即C-模型，K-模型和AB-模型。预备知识：

将n个变量组成的向量表示为

。这样，可以将缩减VAR模型写成：

其中：

这里，VGW（VectorGaussianWhiteNoise）表示向量高斯白噪音过程，

是滞后算子多项式的向量表现形式。另外，我们假设等式

（即矩阵

的行列式）的所有根均落在单位圆外。

矩阵的乔利斯基分解：

其中：

A是一个可以唯一确定的下三角矩阵；D是可以唯一确定的对角线矩阵。

在

的左右同时左乘矩阵

的乔利斯基因子，有：

不难看出，各种系数矩阵满足以下关系，即：

9.3.1AB模型

9.3.1.1AB模型的基本定义

假设A和B都是

维的可逆矩阵，并且满足下列条件：

AB模型可以明确建立系统内各个内生变量的当期结构关系，并且可以直观地分析标准正交随机扰动项对系统产生冲击后的影响情况，即

对系统的冲击影响情况。

就是所谓的“标准正交随机扰动项”。

在模型(9.31)中，矩阵A和B被称为正交因子分解矩阵。从模型(9.31)第二个等式可以看到，矩阵A将缩减式VAR模型中的扰动项

的向量进行转化，生成一个新的向量

。所以，

可以理解为n个互相独立的扰动项

通过一定的线性组合（通过矩阵B）而生成的。

9.3.1.2AB模型的识别与估计利用关系式

和

，可得：

模型的识别问题就是要寻找到

个约束条件。可以发现模型(9.32)的两侧表达式都是对称矩阵。

而通过以上对模型(9.32)性质的分析可以知道，SVAR的AB模型一旦设立，首先就对矩阵A和B中的系数施加

个非线性约束条件。这样，要识别AB模型，实质上也就还剩下

个额外的约束条件需要加以限制。

一般来讲，剩下的

个约束条件可以考虑两种不同的限制方法，分别称为短期约束条件和长期约束条件。但这两种方法都是对矩阵A和B进行进一步的限制，故我们经常把加以限制的这两个矩阵称为“类型矩阵”。

（1）短期约束条件

在许多情况下，对矩阵A和B施加的约束条件是限制这两个矩阵中的某些位置上的元素取特定的值。这种直接令矩阵A和B中某些元素为特定值的约束条件称为短期约束条件。

为了方便说明，一般可以使用类型矩阵来说明短期约束条件的具体实现过程。

以两个变量的VAR模型为例，假设要限制矩阵A为下三角矩阵并且主对角线元素为1，而约束B为对角矩阵。那么类型矩阵可以分别写成以下形式，即：图9-1EViews中SVAR矩阵选项对话窗口图9-2EViews中创建矩阵的对话窗口图9-3EViews中SVAR文本选项对话窗口

（2）长期约束条件

长期约束条件是基于结构扰动项的累积长期脉冲响应的性质设定的。结构随机冲击项的累积长期脉冲响应可以通过模型(9.26)中的矩阵C来刻画。所以所谓长期约束，实质上就是要限定短期条件下的矩阵A和B与长期条件下的矩阵C之间的关系。

长期约束关系就是对矩阵C中的元素加以限制，然后利用这些限制条件以及C与矩阵A、B的关系模型(9.38)估计出矩阵A和B中的系数。例如，常用的约束形式是设定

，

即：

这个假设的含义是，第i个变量对第j个结构冲击项的反应从长期看是0。“超额识别”(over-identification)

表9-1长期约束条件式(9.39)对应的SVAR模型的估计结果

“恰好识别”(exact-identification)

表9-2长期约束条件式(9.41)对应的SVAR模型的估计结果“不能识别”(under-identification)

图9-4EViews中SVAR模型估计的警告提示2出模型9.3.2C模型C模型的基本定义如下：

从模型(11.43)中我们还可以得到：

模型(10.44)两侧同取期望，则有：

从模型(8.43)中的关系式，我们还可以进一步得到：

现在，如果假设

可以估计出来，那么实际上已经对矩阵C施加了

个约束条件，所以还需要通过一定限制获得

个约束条件。

9.3.3K模型

基本定义：

模型(9.46)暗示着：

对模型(11.47)两侧同取期望，则有：

模型(9.48)实际上对矩阵K施加了

个约束

条件，所以仍然需要通过限制矩阵K，获得另外的

个约束条件。

9.4SVAR模型的估计方法总结

9.4.1全信息极大似然估计

全信息最大似然估计是估计SVAR

模型最常用的方法之一。而FIMLE中

最重要的内容便是似然函数的设立。

对于一般的SVAR模型，全信息的（自然对数）似然函数是模型中系数和扰动项矩阵的函数可以写成：

AB、C和K模型对应的具体的似然函数:

9.4.2广义矩估计

广义矩估计（GeneralizedMethodofMoments，GMM），是工具变量估计的拓展。GMM估计与FIML估计不同，GMM直接考虑SVAR模型(9.10)与其缩减形式模型(9.11)的系数关系，然后使用选定的工具变量，运用矩估计法进行估计，从而获得最终结果。

回归模型(9.10)与(9.11)，即：

GMM估计从这两个模型的系数关系入手：

其中：

和

分别表示模型(9.10)