2026年春期人教版六年级下册数学 第4单元 比例 核心素养教案

比例编排注重联系生活实际，如地图比例尺计算、图形缩放操作等，帮助学生理解比例在测量、绘图、六年级学生已掌握比的意义和基本性质，具备一定的抽象思维和计算能力，但对于比例概念的系统性理解仍较模糊，尤其在判断正反比例关系、灵活运用比例尺时易出现混淆。学生需通过大量实例对比(如表格数据变化、图象特征)区分比值一定与乘积一定的本质差异，同时解决复杂情境问题(如根据比例尺画平面图)需加强动手操作与逻辑推理的融合。部分学生对比例在生活中的应学生能理解比例的意义和基本性质，掌握解比例的方法，正确判断正比例与反比例关系，并能运用比例知识解决比例尺计算、图形放大与缩小、实际生活中的比例问题(如水费计算、用电量规划),①情境与问题：在真实情境(如地图测量、商品销售)中发现数量间的比例关系，并提出与关的数学问题。②知识与技能：掌握比例的基本性质、正反③思维与表达：通过分析表格数据、绘制图象理解比例关系的变化规律，能用数学语言解释变量间重点：引导学生理解比例的基本性质，掌握正反比例的判断方法，并能熟练运用比例尺解决实际问难点：辨析正比例与反比例的本质区别，理解图形放大缩小后对应边比例与面积变化的关系，以及综合运用比例知识解决复杂问题中的数量关系转化。授课者：课时：第1课时值相等”的数学规律，自然建构比例的概念。教材编排体现从具体到抽象的认识过程，先通过操场国旗(2.4:1.6)与教室国旗(60:40)的比值对比，直观揭示“表示两个比相等的式子叫作比例”的本质特征，再拓展到从三面国旗尺寸中寻找更多比例关系，最后通过“做一做”的辨析练习，巩固比例概念的理解，培养学生从具体数据中抽象数学关系的能力。①情境与问题：通过比较不同场合国旗长宽比的实际情境，发现等值关系，提"如何判断两个比能否组成比例"的数学问题。思政元素：通过认识国旗尺寸中蕴含的比例关系，渗透爱国教学重点：理解比例的意义，掌握判断两个比能否组成比例的方教学难点：理解比与比例的区别，灵活运用比值相等原则判断比例关系。设计意图1.之前我们学习了比，你都学会了哪些知识?(1)什么叫比?比由哪几部分组成?(2)什么叫比值?(3)怎样求比值?1.独立完成学习单题目，小组比值，求比值的方法。预设2:两个数相除又叫两个数的比。比由前项、比号、后项组成。通过回顾学过的比的知识为接下来引进比例的意义做好铺垫，渗解，帮助学生掌2.怎么求下列各比值?3.这节课我们就来学习“比例”。【板书课题：比例的意义】预设3:比的前项除以比的后项所得的商，叫比值。2.独立完成学习单题目，组内互说，订正答案。同桌讨论，全班交流。学生回答：预设1:12:16=12÷16=0.75预设2:预设3:2.74.5=2.7÷4.5=0.6教学环节二：引导合作，探究问题设计意图1.问题一：操场上的国旗长2.4m,宽1.6m,教室里的国旗长60cm,宽40cm。思考下列问(1)你知道国旗的长和宽吗?(2)长和宽的比值是多少?(3)求出它们的比值，你发现了什么?2.思考以下问题：(1)怎样判断两个比是否能组成比例?(2)你还能从三面国旗的尺寸中找出哪些比例?(3)比和比例有什么区别?1.学生自主讨论。以小组为单预设1:2.4:1.6=2.4÷1.6=1.5预设2:两个比相等，可以组成比例。预设3:表示两个比相等的式子叫作比例。2.学生以小组为单位自主动手操作，合作研究。小组内互相交流。预设1:如果两个比的比值相等，那么这两个比就能组成比预设2:2.4:1.6=60:40 通过呈现实际生活中的例子让学生感知比例、认识比例，让学生义。培养学生的观察能力，帮助学生养成动脑思惯。作学习，学生有动，在互相合作、互相补充中学生更好地理解比例教学环节三：辅导练习，解决问题设计意图1.基础练习1.预设：巩固“比例的意那么这两个比就()组成比例。(2)一个比例，等号左边的比和等号右边的比一定是()的。你是怎么想的?说说你的做2.变式练习判断。(1)由两个比组成的式子叫作(2)如果两个比可以组成比例，那么这两个比的比值一定(3)比值相等的两个比可以组(4)0.1:0.3与2:6能组成(5)组成比例的两个比一定是3.提升练习下面哪个比能与1/5:4组成比那么这两个比就(能)组成比(2)一个比例，等号左边的比和等号右边的比一定是(相等)2.预设：(1)有两个比组成的式子叫作(2)如果两个比可以组成比例，那么这两个比的比值一定(3)比值相等的两个比可以组(4)0.1:0.3与2:6能组成(5)组成比例的两个比一定是3.预设：选择C。选项A的比值是1.25;选项B的比值是20;义”问题中的简单数量关系，使学生能熟练地解培养学生灵活应用“比例的意义”的相关知识解决能够准确理解题意，运用所学知教学环节四：引导反思，提升问题设计意图通过学习，说一说你的收获。1.说一说，这节课对“比例”2.验证组成比例的方法是什么?成比例。预设2:求比值，比值相等才能组成比例。知识和方法进行固、理解。基础作业：根据给定的比，通过计算比值判断能否组成比例。巩固作业：从多组比中找出能组成比例的组合，并写出比例式。提升作业：解决需要逆向思考的比例问题，如根据比例关系求未知比例的意义1.比例的定义：表示两个比相等的式子叫作比例。2.判断方法：求两个比的比值。成功之处：国旗实例有效激发学习兴趣，学生通过计算比值直观理解比例概念，小组合作探究氛围浓厚。改进措施：设计对比性更强的辨析练习，用图示辅助理解概念差异，加强数学语言表达的规范性训授课者：课时：第1课时在学生已理解比例意义的基础上，通过具体比例式(如2.4:1.6=60:40根据乘积相等判断能否组成比例),构建了从具体定关系，提出"比例各项之间存在什么规律"的探究问题。②知识与技能：理解比例各项的名称，掌握比例的基本性质(内项积等于外③思维与表达：能够用数学语言描述比例的基本性质，解释内项积与外项积相等的推导过程，并用④交流与反思：在小组合作验证比例性质的过程中，分享发现，反思比例基本性质在解决教学重点：理解并掌握比例的基本性质，即比例中两个内项的积等于两个外项的教学难点：灵活运用比例的基本性质解决实际问题，特别是逆向思考问设计意图我们上节课学习了比例的意义，复习了求比值的方法。你能写出几个比值是1.5的比吗?活动一：各自写出比值是1.5的比，小组讨论，是不是都可以组成比例?写出小组内组成通过复习比和比识，为接下来比例的基本性质的今天我们继续来学习比例的相预设1:2.4:1.6=1.5预设2:2.4:1.6=60:40加深学生对比例的理解和掌握。教学环节二：引导合作，探究问题设计意图容。思考以下问题：(1)每个比例都有几个数组成?(2)什么叫比例的项?比例中有几个项?分别叫什么?(3)你能把比例改写成分数形式吗?改写成分数后你还能找到比例的外项和内项吗?一说下面几个问题。先计算，再观察，看看有什么发现?比例的内项和外项之间存在着什么样的关系呢?你能用字母表示这个性质吗?1.独立学习相关内容，小组讨论，说一说你的想法。交流后全班汇报。预设2:组成比例的四个数，叫作比例的项。两端的两项叫作比例的外项，中间的两项叫作比例的内项。预设3:把上面的比例写成分数形式：2.4/1.6=60/40预设4:2.4和40仍然是外项，预设1:第一个比例两个外项的积和两个内项的积都是96;3预设2:在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。这叫作比例的基本性质。预设3:用字母表示比例的基本性质：如果a:b=c:d(b、d通过练习，组成比例的四个数的名称的认识对学生来说是比较简单的，所以让学生自学，培养学生的自主学习能学生小组合作举例验证比例的基本性质，让学生经历“猜想——验证——归纳一一完善”的知识探究过程，提高学习效率。教学环节三：辅导练习，解决问题设计意图1.基础练习(1)a:8=6:b中，()和()1.预设：(1)a:8=6:b中，(a)和(b)复习巩固“比例的基本性质”中(2)一个比例的两个内项互为倒数，一个外项是0.5,另一个2.变式练习在5:12=10:24中，如果外项5扩大到原来的3倍，要使比例成立，内项12应该()。3.提升练习根据乘法算式写出8个比例。怎么求?你是怎么想的?(2)一个比例的两个内项互为倒数，一个外项是0.5,另一个外项是(2)。2.预设：如果外项5扩大到原来的3倍，那么内项12也要扩大到原来的3倍，也就是内项12增加了24。扩大到原来的3倍(或增加24)3.预设：各项的关系及特点，准确找出方法，能熟练地解分析掌握“比例的基本性质”,巩识，使学生能够熟练解题。运用所学比例的基本性质相关知识灵活解题，体会数学与生活的密切联系，提高思维的灵活性。教学环节四：引导反思，提升问题设计意图通过学习，说一说你的收获。1.说一说，你对这节课“比例2.如何用比例的基本性质判断是否成比例?预设2:先算外项积，再算内项积，若相等就能组成比例。知识和方法进行固，加深对本节知识的理解。基础作业：直接应用比例基本性质填空，如根据已知项求未知内项或外项。巩固作业：解决比例项变化问题，如一个外项扩大后如何调整内项使比例成立。提升作业：根据乘法算式写出多个比例式，或解决需要综合运用比例性质的复杂问题。比例的基本性质在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这叫作比例的基本性质。外项积：3×15=45内项积：5×9=45成功之处：学生通过计算多组比例的内项积与外项积，自主发现了比例的基本性质不足之处：部分学生在将比例性质逆向运用时存在困难，特别是在处理分数形式内外项。改进措施：设计更多逆向思维训练题目，加强比例不同表示形式(比式与分数式)的对比练习，帮助学生建立灵活应用的信心。3.解比例授课者：课时：第1课时在学生掌握比例意义和基本性质的基础上，重点教授如何运用“两个外项的积等于两个内项的积”这一性质求比例中的未知项。教材以长征五号火箭模型的总长计算为实际问题切入点，通过设未知数、建立比例关系、交叉相乘求解的完整过程，系统展示解比例的方法步骤；随后通过分数形式的比例方程求解，强化算法迁移能力，并设计消毒液配比等生活化练习，体现数学知识的应用价值，培养学生将实际问题转化为数学模型的能学生已能熟练判断比例关系并理解比例的基本性质，具备将比例式转化为等式的基本技能，但独立设未知数构建比例关系仍存在困难；在解分数形式比例时，容易混淆交叉相乘的对应关系，且在解决复合单位问题(如毫升与升的换算)时需加强审题意识。教学中需通过分层示例和错例分析，帮助学生突破从性质理解到灵活应用的思维瓶①情境与问题：通过计算火箭模型与实际火箭高度比例的实际问题，发④交流与反思：在小组合作解比例的过程中，分享不同的解题策略，反思解比例方法在解决实际问思政元素：通过构建火箭模型的比例计算，培养严谨求教学重点：掌握解比例的方法，能正确求出比例中的未知教学难点：理解分数形式比例式的解法，掌握交叉相乘法设计意图少的项是多少吗?根据图片内容，你有什么想知学生提问：预设1:这两个比例的内项和外项分别是多少?预设2:如何利用比例的知识求出比例中未知的项是多少?通过复习唤起学生对已有知识经验的回忆，回顾与本节课相关的知识点。搭建从已知走向未知的道的，或者想告诉同学们的，一起交流一下。2.揭示课题。同学们了解到了很多，掌握的也不错，这节课我们就来学习解比例。【板书课题：解比例】预设3:第一个比例：内项是5和2,一个外项是10,另一个外向未知。第二个比例：外项是1.8和5,一个内项是0.9,另一个内向未的意义求解。方法二：可以根据比例的基本性质求解。知提供合适的空教学环节二：引导合作，探究问题设计意图(1)师：从题目中，你知道了哪些信息?师：你会解决这个问题吗?试一试吧!(2)师：哪些同学是使用这两种们还能用设未知数的方法解决问题，有没有同学能说说你的想法?引导学生说出，根据题目中“它的高度与火箭总长高度的比是1:10”这条信息列出数量关系式=1:10或模型高度：实际高度=1:10,然后设模型的高度是xm,对应着关系式列出比师：你听懂了吗?请你也来说一说吧!模型高度：实际高度=1:10(2)师：根据比例的基本性质可以把它变成什么形式?(根据学生的回答，教师板书：10x=571.学生说出，已知长征五号运载火箭总长约57m,一个长征五号运载火箭的模型的总长与火箭总长的比是1:10,要求模型的总长。学生独立思考并解答，再汇报交流。预设1:57÷10=5.7(m)(让学生说说是怎样想的),火箭总长高度是模型高度的10倍。预设2:57×1/10=5.7(m)(让学生说说是怎样想的),模型高度是火箭总长高度的1/10。2.学生通过自学，了解解比例的方法与格式，并说出解比例的第一步是依据比例的基本性质把比例转化成外项之积与内项之积相等的等式。3.学生以小组为单位合作研究。交流后，独立解题。然后在小组之间互相交流。2.4和x是外项，6和1.5是内预设2:根据比例的基本性质把后，让学生独立思考、积极主动地去寻求解决问题的策略。允许学生解决问题的方法多样化，但重点探究用解比例的方法解决问的解比例方法的一步熟悉解比例的过程及如何去突出重点、突破难点、巩固新学方程)师小结：根据比例的基本性质解比例，首先把比例转化成乘积相等的等式，也就是方程，再利用解方程的原理求出未知项。注意通常把含有未知项的积放在等号的左边，这样便于计算。计算时一般写成两个数的积除以一个数的分数形式，这样便于约分，先约分再计算2.学习解比例的方法和格式。(1)师：你会解x:57=1:10这个比例吗?怎样规范写出解答过程呢?请大家自学教科书思考：(1)这个比例中的内项，外项分别是什么?(2)这种分数形式的比例根据比例的基本性质如何解?(3)你能自己解这个比例吗?等号两端的分子和分母交叉相预设3:解：2.4x=1.5×6教学环节三：辅导练习，解决问题设计意图1.基础练习(1)a:7=8:b,那么a×b=(2)如果4x=5y,那么x:y=(3)在一个比例里，两个外项之积是最小的质数，如果一个内项是1/2,另一个内项是(4)根据0.5×8=0.4×10,写2.变式练习(1)x和3/4的比等于1/5和2/5的比。(2)等号左端的比是1.5:x,等号右端比的前项和后项分别是3.6和4.8。(3)比例的两个内项分别是23.提升练习度是40m,它的高度与模型高度的比是400:1。模型的高度是多少厘米?1.基础练习预设：(1)a:7=8:b,那么a×b=(2)如果4x=5y,那么x:y=(4)根据0.5×8=0.4×10,写出比例，可以写(8)个。2.变式练习预设：(3)x:2=5:2.5(答案不唯3.提升练习预设：40米=4000厘米答：模型的高度是10厘米。巩固“比例的基检测学生灵活应用“比例的基本性质”的知识解决问题的能力。性质和解比例”教学环节四：引导反思，提升问题设计意图1.说一说这节课对“解比例”2.如何解比例?的意义求解。方法二：可以根据比例的基本性质求解。预设2:根据比例的基本性质把等号两端的分子和分母交叉相乘。对本节课的相关知识和方法进行归纳汇总和巩基础作业：根据比例的基本性质直接求解简单比例解比例成功之处：学生通过火箭模型的实际情境积极参与学习，能熟练运用比例基本性质4.正比例授课者：课时：第1课时解，完整构建了从数据关系到图像表征的正比例认知体学生在前期已掌握比和比例的相关知识，具备分析表格数据的基本能力，但对函数关系的理解尚属初步接触阶段。虽然学生能通过计算发现数据间的比值关系，但将具体案例抽象为一般性数学概念仍存在困难，特别是对"相关联的量""比值一定"等核心术语的理解需要具体实例支撑；同将数据关系转化为图像表征需要较强的数形结合能力，这对学生的抽象思维提通过多层次的教学活动帮助实现认知跨越。②知识与技能：理解正比例关系的意义，掌握判断两个量是否成正比例的方法，③思维与表达：能够用数学语言描述正比例关系的特征，解释比值一教学重点：理解正比例关系的概念，掌握判断成正比例量的方法。教学难点：准确理解"比值一定"的数学本质，能根据实际问题判断两个量是否成正比设计意图1.小学阶段，我们接触过许多数量关系。谁来说说你知道的1.学生回答。预设1:路程、速度和时间。通过引导学生回有哪些?【板书课题：正比例】2.你能根据数量关系提出什么问题?(1)已知路程和时间，怎样求速度?(2)已知总价和数量，怎样求单价?(3)已知工作总量和工作时间，怎样求工作效率?3.揭题。天要学的正比例。预设2:总价、单价和数量。预设3:工作总量、工作效率和工作时间。2.学生独立思考。提出相应问题，学生回答。预设1:路程÷时间=速度预设2:总价÷数量=单价工作效率关系，帮助学生理解什么是相关联的量，学生在这个过程中体会题中量之间的关系，增强数感。教学环节二：引导合作，探究问题设计意图1.文具店有一种彩带，销售的总价/仔细观察数据表中的数据，思(1)表中有哪两个量?(2)总价是怎样随着数量的变化而变化的?(3)相对应的总价和数量的比是多少?比值是多少?(4)哪些量发生变化?哪些量自始至终没有变化，是一定的?小结：定，这两种量就叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系。1.学生独立思考后小组内交流。然后集体交流，研讨，全班汇报。预设1:有数量和总价两种相关联的量。预设2:数量增加，总价增加；数量减少，总价也减少。预设3:3.5/1=7/2=10.5/3=…=3.5,比值是3.5,实际就是彩带的单价。用式子表示它们的关系就是：总价/数量=单价。预设4:数量和总价发生变化。总价和数量的比值没有变化，即单价是一定的。2.学生独立思考后小组内交流。然后集体交流、研讨，全班汇报。预设1:所有的点都在同一条直线上。预设2:这两个点也在这条直线预设3:买9m彩带总价是31.5学生以小组为单位交流探讨，自主解决问题，充分发挥学生学习用，培养学生的数感。先从观察图象入手，引导学生直观认识相关联的量，再结合表中的数据，引导学生发现总价与数量的比值一定，使学生理解正比例的意义，最后象，把数据与点联系起来，根据图象，不用计算就能找到一个量的值所对应的另(2)如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的比值(一定),那么正比例关系可以用下面的式子表示：y/x=k(一定)。预设4:由y/x=3.5(一定)可知：他花的钱是小丽的2倍。3.学生先自己动脑思考。以小组为单位交流汇报。预设：正方形的周长和边长。一个量的值，使学生在解决问题的同时，感受数维，培养学生的发散思维能力，让学生通过动脑思考掌握正比例关系。总价/元这是正比例图象，认真观察并思考。(1)从图中你发现了什么?(2)把数对(10,35)和(12,的图象连起来并延长，你还能发现什么?买9m彩带，总价是多少?49元能买多少米彩带?你能自己解答这个问题吗?(4)小明买的彩带的米数是小丽的2倍，他花的钱是小丽的几倍?学生汇报，教师板演。3.你能举出生活中成正比例关系的例子吗?同桌互相交流，说一说。教学环节三：辅导练习，解决问题设计意图1.基础练习判断下面每题中的两个量是不(1)梨的单价一定，购买梨的总价和数量。()(2)圆的周长与它的直径。()(4)和一定，一个加数和另一2.变式练习(1)一辆自行车在公路上行1.预设1:是总价÷数量=单价(一定)圆的周长÷直径=圆周率(一预设3:不是没有说明速度是否一定。路程÷时间=速度。预设4:不是加数+加数=和2.预设1:因为比值不同，所以路程和时预设2:比值一定。3.预设：(2)汽车的速度。(3)成正比例关系。因为路程和时间是两种相关联的量，随着时间的变化，路程也随着变化，路程和时间的比值(速度)一定，所以路程和时间成正比(4)按要求画成一条直线，行驶120km大约要用1.5小时。掌握判断成正比例的方法，能够通过分析信息找出数量关系，理解正比例关系及成正比例的量必须符合的条件，并正确解决相关问题。通过练习，使学生能更加熟练地运用正比例的知识解决问题，进一步体会数学与系，在解决问题的过程中，提高思维的灵活性。时间/时123456是相关联的量吗?成正比例吗?为什么?(2)成正比例的量必须符合哪些条件?3.提升练习一辆汽车行驶的时间和路程如下表。时间/时123456(2)说一说这个比值表示什(3)汽车行驶的路程与时间成正比例关系吗?为什么?(4)在图中描出表示路程和相对应时间的点，然后把它们按教学环节四：引导反思，提升问题设计意图通过学习，你有什么收获?1.什么是正比例?2.如何判断成正比例?像这样，两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，那么这两种量就叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系。知识和方法进行基础作业：根据给定数据判断各组量是否成正比例关系，并说明理巩固作业：分析实际问题中的数量关系，如行程问题中的路程与时间关系，判断是否成正比提升作业：根据正比例图像解决实际问题，如利用图像进行预测和估算。正比例不足之处：部分学生在理解"比值一定"这一关键条件时存在困难，在复杂情境中判断正易出错。改进措施：增加更多生活实例的对比分析，设计从具体到抽象的梯度练习，强化比值不变这一条件的理解与应用。5.反比例授课者：课时：第1课时通过“相同体积的水倒入不同底面积容器”的直观实验，引导学生观据关系，发现“一种量变化，另一种量随之变化，且对应数值乘积一定”的例关系式xy=k后，进一步引入反比例关系的曲线图像表征，并通过运输问题等生活实例强化应用理解，构建了从具体到抽象、从数据到图像的反比例概念完整认知体系。学生在学习本课前已掌握正比例的意义和判断方法，具备分析变量关系的基础，但容易将“比值一定”与“乘积一定”的判断条件混淆；反比例关系中“此消彼长”的变化模式虽可借助实验感知，但将其抽象为一般数学关系仍存在难度，尤其是对“乘积一定”这一本质特征的理解需要反复通过实例验证。此外，反比例图像作为平滑曲线，与学生熟悉的直线图像①情境与问题：通过观察容器底面积与水高度的变化关系，发现两种量之间此消彼长的规律，提出②知识与技能：理解反比例关系的意义，掌握判断两个量是否成④交流与反思：在小组合作分析数据的过程中思政元素：在探究反比例关系的过程中，培养严谨求实的教学重点：理解反比例关系的概念，掌握判断成反比例量的方法。教学难点：准确理解"乘积一定"的数学本质，能根据实际问题判断两个量是否成反比设计意图1.上节课学习了正比例的相关知识，四人为一小组，提出一个与正比例相关的问题，组内回答。同组组员进行回答反馈。预设1:两种相关联的量；一种量扩大，另一种量也随着扩大，通过引导学生回顾已学过的正比例相关知识，帮助学生进(1)成正比例的量有什么特征?(2)正比例关系式是什么?2.揭题。的量之间的关系有关的内容。就是反比例。【板书课题：反比例】一种量缩小，另一种量也随着缩预设2:两种量中相对应的两个数的比值一定。预设3:y/x=k(一定)。一步理解什么是相关联的量。教学环节二：引导合作，探究问题设计意图1.容器的底面积与水的高度的面积/cm²水的高度(1)表中有哪两种量?(2)水的高度是怎样随着杯子底面积的大小变化而变化的?(3)相对应的杯子的底面积与水的高度的乘积分别是多少?(4)哪些量发生变化?哪些量自始至终没有变化，是一定的?小结：(1)像这样两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中两种量就叫作成反比例的量，它们的关系叫作反比例关系。(2)如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的积(一定),反比例关系可以用下面的式子表示：xy=k(一交流想法，全班汇报。预设1:水的高度和容器的底面预设2:水的高度是随着容器的底面积的变大而不断变小的，而且水的高度与容器的底面积的乘积总是一定的。预设3:30×10=20×15=15×20=300,这里的积300,实际就是倒入容器的水的体积。用式子表示它们的关系就是：底面积×预设4:水的高度和容器的底面积是变化的，底面积和高度的乘积没有变化，即体积是一定的。2.同学先独立思考，然后组内交预设1:如果总价一定，那么单价与数量成反比例关系。预设2:如果长方形的面积一定，以小组为单位交流探讨，自主发挥学生学习数学的主体作用，培养学生的观察能力和动脑思考问题的能力，在分析中找出数量关系，培养数感。通过学生自己举例，拓展学生的思维，培养学生的发散思维能力，让学生通2.你能举出生活中成反比例关系的例子吗?分析图中所给数据，思考下列问题：(1)表中有哪两种量?它们是不是相关联的量?(2)写出几组这两种量中相对应的两个数的积，并比较积的大小，说一说这个积表示什么?(3)运货的天数与每天运的吨数成反比例关系吗?为什么?同桌讨论，组内交流，全班反那么长与宽成反比例关系。3.学生自主探究。集体交流，研预设1:每天运的吨数、运货的天数，是相关联的量。预设2:300×1=150×2=100×预设3:运货的天数与每天运的吨数成反比例关系，因为它们的乘积一定。固反比例关系。通过分析，学生理解和掌握反比例的相关知教学环节三：辅导练习，解决问题设计意图1.基础练习判断下面每题中的两种量是否成比例(2)汽车的载质量、运货次数(3)铺地面积、方砖面积和方(4)跳高的高度和身高。2.变式练习1.基础练习预设：(1)成反比例。总价=单价×数量(2)成反比例。运货总量=汽车载质量×运货次数(3)成反比例。铺地面积=方砖面积×方砖块数2.变式练习预设：(1)长和宽是两个相关联的量。(2)长随着宽的不断增大而减30表示长方形的面积。(4)长方形面积一定，长方形的并掌握判断是否成反比例的地进行判断。通过分析信息找出数量关系，理解反比例关系及成反比例的量必须符合的条件，并能正确解决相关问宽(厘米)长(厘米)12345观察上表，回答下列问题。(1)表中哪两个量是相关联的?(2)长是怎样随着宽的变化而变化的?(3)长和宽相乘的积表示什么?它们是否相等?(4)长方形的长和宽是否成反比例关系?3.提升练习判断下面每题中的两个量是不是成比例，成什么比例，并说(2)小明从家到学校，速度和(3)平行四边形面积一定，底和高。(4)小林做10道数学题，已做的题和没做的题。(5)小明拿一些钱买铅笔，单(6)你能再举一个反比例的例子吗?长和宽是成反比例的量，成反比例关系。3.提升练习预设：(1)路程=速度×时间。路程一定，速度和时间是成反比例的量，成反比例关系。(2)虽未注明路程一定，但是家到学校的路程是一定的。路程=速度×时间。路程一定，速度和所用的时间是成反比例关系的量，成反比例关(3)平行四边形面积=底×高。(4)总题数=已做的题数+未做的题数，所以已做的题数和未做的题数不成比例。(5)总价=单价×数量。总价一定，单价和购买的数量成反比例关系。通过练习，使学生能更加熟练地运用反比例的知识解决问数学与生活的决问题的过程中，提高思维的灵活性。教学环节四：引导反思，提升问题设计意图通过学习，你有什么收获?1.什么是反比例?2.如何判断是否成反比例关系?预设：两种相关联的量，它们的乘积一定，这两种量成反比例关对本节课的相关知识和方法进行归纳汇总和巩固。基础作业：根据给定数据判断各组量是否成反比例关系，并说明理巩固作业：分析实际问题中的数量关系，如长方形面积一定时长与宽的关系，判断是否成反比例。提升作业：解决需要综合判断的比例关系问题，能区分正比例、反比例和不成比例的情况。反比例像这样，两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫作成反比例的量，它们的关系叫作反比例关如果用字母x和y表示两种相关联的量，k表示它们的乘积(一定),反比例关系可以用式子表示为：xy=k(一定)。不足之处：部分学生在理解"乘积一定"这一关键条件时存在困难，在复杂情境中判断反易出错。改进措施：增加更多生活实例的对比分析，设计从具体到抽象的梯度练习，强化乘积不变这一条件的理解与应用。授课者：课时：第1课时学生在学习本课前已掌握比例的基本性质和解比例的方法，具备学习比例尺的必要知识基础；错，对"图上距离"与"实际距离"的对应关系理解需要过程。特别是在进行平面图绘制时，如何将实际空间位置准确转化为图纸上的比例关系，对学生的空间想象能力和动手操作能力都提出了较高要求，需要通过循序渐进的练习来巩固掌握。出"如何表示缩小的比例关系"的数学问题。②知识与技能：理解比例尺的意义，掌握比例尺的计算方法，能进行图③思维与表达：能够解释比例尺的含义，清晰表述数值比例尺与线段比例尺的思政元素：在绘制地图和平面图的过程中，培养严谨教学重点：理解比例尺的概念，掌握图上距离与实际距离的换算方教学难点：正确进行单位换算，灵活运用比例尺解决实际问五、教学准备：各种比例尺的地图实物、绘图设计意图1.完成下列练习。(1)根据比的基本性质，把下面的比化成前项是1或后项是1.学生独立完成题目。预设：通过设计复习环温故化简整数比和长度单位间的(2)25千米=(25000)米(2)填上适当的数。6千米=(6000)米=(600000)厘米(3)30厘米：90米30厘米：90米2.根据上面的题目，同学们能2.预设：怎样化简整数比呢?3.今天我们继续学习比例的相如何进行长度单位的换算?带【板书课题：比例尺】教学环节二：引导合作，探究问题设计意图1.感知比例尺2.比例尺北北早果园回多利60°灯塔比例尺1:4000例尺观察给出的图片，思考下列问(1)什么叫比例尺?(2)两幅图中的比例尺有什么区别?(3)你能说说1:400000表示1的比例尺表示什么意思呢?1.学生独立思考。以小组为单2.学生以小组为单位合作研究。小组之间互相交流。学生回答。预设1:一幅图的图上距离和实际距离的比，叫作这幅图的比例尺或图上距离/实际距离=比预设2:1:400000是数值比例尺，有时写成1/400000;例尺10:1表示图上距离是实际距离的10倍，实际距离是图表示实际距离1cm。通过呈现两组图片引入新课，培养了学生的观察能力和动脑思考问题的能力。习，以小组为单位相互交流，经历学习研究的过程，培养学生的合作意识和团队精神以及分析问题、解决问题的(5)你能把上面的线段比例尺转化成数值比例尺吗?以小组为单位，说说想法。北京到天津的实际距离是120km,在一幅地图上量得两地间的图上距离是2.4cm。这幅地图的比例尺是多少?你能从题干中获得哪些信息?要求的问题是什么?这个问题怎么解答呢?学生独立思考，(2)求实际距离。下面是北京轨道交通路线示意图。地铁1号线从苹果园站至四惠东站在图中的长度大约是7.8cm,从苹果园站至四惠东站的实际长度大约是多少千米?北苹果园四惠东比例尺1:400000你能获得哪些信息?要解决的问题是什么?要解决这个问题应该怎样思考呢?学生独立思考，独立完成，全班交流。(3)求图上距离我们学校的操场长300m,宽180m,你能将操场占地的平面图画在纸上吗?能按照原来的长度来画吗?能更真实地反映操场长与宽的关系?预设5:图上距离：实际距离4000000。计算比例尺时，长度单位要统一。3.同桌讨论，说一说想法。预设1:实际距离是120km,图上距离是2.4cm。求比例尺是多少?比例尺答：这幅地图的比例尺是1:预设1:图上距离为7.8cm,比3120000厘米=31.2千米答：从苹果园站至四惠东站的实际长度大约是31.2km。预设1:纸张的大小有限，不能确定适宜的比例尺；计算出图预设2:通过分析数量关系，培养学生分析问题、解决问题能力的同时，巩固了比例尺的认识，使学生能熟练掌握求比例尺、图上距离和法。北学生独立思考，独立完成，小小明家到学校的图上距离：小亮家到学校的图上距离：小红家到学校的图上距离：小红家北小明家小亮家教学环节三：辅导练习，解决问题设计意图1.基础练习(1)在比例尺是1:2000的地图上，图上距离1厘米表示实(2)在比例尺是1:250000的(3)在比例尺是1:4000000的地图上，图上距离是实际距离的(),实际距离是图上2.变式练习(1)第三实验小学新建一个长方形游泳池，长50米，宽30图最大；选用比例尺()画(2)南京到上海的距离是200千米，在一幅地图上量得它们1.基础练习预设：(1)2000厘米=20米(2)250000厘米=2.5千米2.变式练习预设：画出的图越大；比例尺越小，画出的图越小。20厘米：200千米=20厘米：20000000厘米40米=4000厘米4000×1/500=8(厘米)掌握“比例尺”能根据信息进行条件之间关系的分析，并正确解决相关问题，以之间的距离是20厘米，图上距(3)要建一个长40米、宽20米的厂房，在比例尺是1:5003.提升练习学校有一块长方形的操场，长是200米，宽是125米。把它画在一幅平面图上，长画了8厘米.宽应当画多少厘米?并3.提升练习预设：求比例尺：8厘米：200米求宽：125米=12500厘米12500×1/2500=5(厘米)通过练习学生能更加熟练地运用比例尺的知识解决问题，进一步体会数学与生活的密切联系，体会数形结合的思想，提高思维的教学环节四：引导反思，提升问题设计意图通过学习，你有什么收获?1.什么是比例尺?2.如何求比例尺、图上距离和实际距离?预设：一幅图的图上距离和实际距离的比，叫作这幅图的比例尺。图上距离：实际距离=比例尺图上距离/实际距离=比例尺图上距离=实际距离×比例尺实际距离=图上距离÷比例尺知识和方法进行归纳汇总和巩基础作业：根据给定的图上距离和实际距离计算比例尺，或根据比例尺进行简单换算。巩固作业：解决需要综合运用比例尺知识的实际问题，如选择合适比例尺绘制平面图。提升作业：完成需要多次换算的复杂问题，如根据局部比例尺推算整体距比例尺一幅图的图上距离和实际距离的比，叫作这幅图的比例图上距离：实际距离=比例尺图上距离=实际距离×比例尺实际距离=图上距离÷比例尺成功之处：学生通过实际测量和计算活动，积极参与比例尺概念的理解，能熟练进行基本不足之处：部分学生在处理复杂单位换算时存改进措施：增加单位换算的专项训练，设计更多生活化的应用案例，帮助学生建立空授课者：课时：第1课时通过生活中常见的放大镜成像、照片冲洗、计算机图像缩放等现实情境，引导学生初步感知图形放大与缩小的现象，进而聚焦到数学意义上的按比例缩放。教材以"按2:1画出图形放大后的图形”为核心任务，通过具体操作让学生理解"各边放大到直角三角形斜边变化的观察与思考，引导学生发现图形放大后对应边成比例、形状不变(角度不变)的核心性质。最后通过“先按4:1放大，再按1:2缩小”培养空间观念和推理能力。学生在生活中对图形放大缩小有丰富的感性经验，并已掌握比例的意义和基本性质，具备学习本节内容的知识基础。然而，学生容易将生活中的放大(如用放大镜看物体)与数学上按特定比例的放大相混淆，对"2:1"表示放大、"1:2"表示缩小的比例含义理解需要强化；在动手操作中三角形的斜边)是否也按相同比例变化存在疑问，需要通过测量验证来建立准确的空间观念。①情境与问题：通过观察生活中图形放大与缩小的实际现象，发现图形变缩小时什么变了、什么不变”的探究问题。②知识与技能：理解图形放大与缩小的意义，掌握按比例放大缩小图形的方法，能正确判③思维与表达：能够用数学语言描述图形放大④交流与反思：在小组合作探究图形变化规律的过程中，分享发现，反思图形放大缩小在教学重点：理解图形放大与缩小的特征，掌握按比例作图的方法。教学难点：准确理解比例关系，区分放大与缩小的比值特五、教学准备：方格纸、直尺、三角形、长方形、正方形设计意图1.通过观察，你有什么问题?你还想说些什么?2.揭题。这些现象不是放大就是缩小，今天我们就来研究图形的放大板书课题：图形的放大与缩小学生观察，提出疑问：四幅图片里的这些现象中，哪些是把物体放大?哪些是把物体缩小?预设1:图1是把物体缩小，图2、图3、图4都是把物体放大。预设2:都是按一定比例放大或者缩小的。通过情境创设，充分调动学生学习的积极性，渗透了图形放大与缩小时的一个特变。教学环节二：引导合作，探究问题设计意图1.按2:1画出下面三个图形放思考下列问题。(1)按2:1放大是什么意思?(2)以正方形为例，具体画图时应该怎样做?(3)怎样按2:1放大画长方形?怎样按2:1放大画三角形?没变?(5)如果把放大后的正方形按1:3、长方形按1:4、三角形按1:2缩小，各个图形又会发生什么变化?(6)放大或缩小后的图形与原图形有什么异同?带着这些问题，独立思考后，小组内说一说自己的想法。2.图形可以按比例放大或者缩1.请同学们独立思考，小组内交流想法。全班汇报。预设1:“按2:1放大”就是把图形各边的长放大到原来的2预设2:正方形原来的边长是3个单位长度，现在按2:1放大后，边长应该是6个单位长度。预设3:把长方形的长和宽分别放大到原来的2倍，画出长方形；把直角三角形的两条直角边分别放大到原来的2倍后，连接两条直角边的端点。预设4:图形放大后，内角的大小不变，所以形状不变。图形各边的长都放大到原来的2倍，所以周长扩大到原来的2倍。预设5:图形在缩小时长和宽变小了，周长也变小了，内角没有变。预设6:图形各边的长按一定的比放大或缩小，图形的大小会改变，但形状不变。2.学生以小组为单位互相交流汇报。然后组内交流一下自己的想法。学生回答。先理解“按2:1放大”的意义，再引导学生把正大，使学生初步掌握把一个图形放大的方法，然后为学生提供独立画图的平台，使学生在操作中既发现了图形放大与缩小的基本特征，又培养了通过小组探究帮解和掌握图形的小，图形的放大与缩小的区别与联系是什么?预设：放大与缩小的区别与联系。通过让学生自己动脑思考问题，培养学生的观察能力和分析问题的能力，以及空间观念。相同点1.边的长度按一定的倍数放化。图形的形状不变。2.比的前项表示变化后的长 图形放大。比值小于1(如1:3),表示 教学环节三：辅导练习，解决问题设计意图1.基础练习(1)图形在平移和旋转后，()发生了变化，()不变。图形在放大与缩小后，()发这个比的比值比1()。图形按一定的比缩小时，这个比的说说你是怎么想的?1.基础练习预设：状2.变式练习掌握图形放大与缩小的特征，能正确判断图形的能根据图形放大与缩小的特征分析，正确画出相关图形。增强空2.变式练习按4:1画出下面图形放大后的图形。通过练习，促使学生能更加熟练地画出图形，在画图的过程中，3.提升练习先按4:1把下面的三角形放大，提高空间观念。教学环节四：引导反思，提升问题设计意图通过学习，你有什么收获?1.如何判断是放大还是缩小?2.如何画图?比值小于1缩小。预设2:放大与缩小：大小发生了改变，形状不变。方法：先把图形的关键边进行放大或缩小，再连接。知识和方法进行基础作业：判断图形是放大还是缩小，并说明理巩固作业：按给定比例在方格纸上放大或缩小简单图提升作业：完成图形的连续放大缩小操作，分析图形变化规律。图形的放大与缩小2:1=2÷1=2(放大到原来的2倍)1:2=1÷2=1/2(缩小到原来的1/2)比值大于1放大比值小于1缩小成功之处：学生通过动手操作积极参与探究活动，能准确理解图形放大缩小的本质浓厚。不足之处：部分学生在理解比例关系时存在改进措施：设计更多对比性操作活动，强化比例授课者：课时：第1课时作为比例单元的实践应用环节，通过水费计算和节能用电两个典型生活案例，系统展示如何利用正反比例关系解决实际问题。教材采用"阅读与理解一分析与解答一回顾与反思"的标准化解题流费问题中单价一定(正比例关系),用电问题中总电量一定(反比例关系)。这种设计旨在培养学生从具体情境中抽象数学关系的能力，实现从知识掌握到实际应用的转化。学生在学习本课前已理解正反比例的概念特征，能判断两种量的比例关系，但将这一知识主动应用于解决问题时仍面临挑战。学生容易机械记忆解题步骤而忽视对"不变量"的实质性把握，在复杂情境中难以准确判断该用正比例还是反比例关系；同时，由于算术解法的基础更牢固，学生可能缺乏尝试比例解法的主动性，需要教师通过对比两种解法的思维过程，凸和应用广泛性上的优势，促进学生解题策略的优化。①情境与问题：通过计算水费、用电量等生活实际问题，发现数量之间的比例关系，提出如何运用④交流与反思：在小组合作解决问题的过程中，分享不同的解题策略，反思比例知识在实际生活中思政元素：在解决水电费计算等生活问题时，渗透节约资教学重点：掌握用比例知识解决实际问题的基本方法和步教学难点：准确判断实际问题中的数量关系是正比例还是反比例关设计意图都是有两种相关联的量。学生2.揭题。学生独立思考。预设：别是什么关系?成什么比例?通过设计复习环节帮助学生们重新温故正、反比例的知识，为下一下正、反比例在实际生活中(4)一堆煤，每天的用煤量和用的天数。学生回答。预设：正比例、反比例、正比例、反比例。比例的知识解决问题奠定基础。教学环节二：引导合作，探究问题设计意图1.出示：张阿姨家上个月用了8t水，水费是28元；李奶奶家用了10t水。李奶奶家上个月的水费是多少钱?吗?么比例关系?你能用比例的知识解答这道题吗?2.一个办公楼原来平均每天照明用电100千瓦时。改用节能灯以后，平均每天只用电25千瓦时。原来5天的用电量现在可以用多少天?(1)这道题用以前学过的方法该怎样解答?这种解答方法先求的是什么?(2)这道题能用比例的知识解决吗?(3)为什么要列成积相等的式子?这里的积表示什么?预设1:=35(元)预设2:=35(元)预设3:题目中有水费、用水量这两种量。它们成正比例关系。预设4:解：设李奶奶家上个月的水费是x元。答：李奶奶家上个月的水费是35元。①分析题意，判断两种量是否成正比例。值，根据比值一定列出比例。③解比例。预设1:通过小组合作，让学生主动找出用比例的方法来解决含有归一、归总数量关系的问题。培养学生对数量关系的理解和分析能力，通过独立分析和思考，让学生自己发现方法，经历学习研究的过(4)用正、反比例知识解决问题的异同点是什么?=20(天)预设2:解：设原来5天的用电量现在可以用x天。以用20天。预设3:积表示是原来5天的总用电量。预设4:这两类题都是用比例知识解答，解题思路相同。用正比例知识解决问题是根据比值一定列出比例，用反比例知识解决问题是根据积一定列出比程，培养学生灵活利用所学知识解决实际问题的能力。教学环节三：辅导练习，解决问题设计意图1.基础练习照这样的速度，从甲地到乙地共行驶5小时。甲、乙两地间的公路长多少千米?(用比例知识解答)怎么求?你是怎么想的?1.预设：解：设甲、乙两地间的公路长x千米。答：甲、乙两地间的公路长350千米。2.预设：掌握正、反比例的解题方法和策能根据信息进行条件之间关系的分析，并正确解2.变式练习可以烧96天。由于改进炉灶，可以烧多少天?答：这堆煤实际可以烧120天。3.预设：通过练习，促使学生能更加熟练地运用比例知识解决问题，进一3.提升练习木头锯成3段需要9分钟，锯成6段需要几分钟?答：锯成6段需要22.5分钟。步体会数学与生活的密切联系，在解决问题的过程中，提高思维教学环节四：引导反思，提升问题设计意图通过学习，你有什么收获?1.用比例解决问题的方法是什么?2.解决相关问题应该注意什么?1.分析题意，判断两种量是否成正比例或反比例。2.找出相关联的量的对应数值，根据比值一定或乘积一定列出比例。3.解比例。知识和方法进行归纳汇总和巩基础作业：解决简单的正比例或反比例问题，如根据已知条件求未知巩固作业：解决需要先判断比例关系再计算的实际问题，如资源消耗类问提升作业：解决需要多步分析的比例问题，如涉及复合比例关系的实际问用比例解决问题用比例解题的方法：1.分析题意，判断两种量是否成正比例或反比例。2.找出相关联的量的对应数值，根据比值一定或乘积一定列出比例。3.解比例。成功之处：学生能将比例知识与生活实际紧密结合，积极参与问题解决过程，掌握了用比例解题的不足之处：部分学生在判断复杂情境中的比例关系时存改进措施：增加更多生活实例的对比分析，设计专项的比例关系判断训练，帮助学生建立清晰的判授课者：课时：第1课时《自行车里的数学》是一节综合实践课，以学生熟悉的自行车为研究对象，通过“脚踏板蹬一圈能走多远”的核心问题驱动探究。教材设计了两大递进式活动：活动一引导学生理解自行车传动原理，发现“前齿轮齿数×前齿轮圈数=后齿轮齿数×后齿轮圈数”的比例关系，并推导出路程计算公式；活动二则聚焦变速自行车，通过计算不同齿轮组合的齿数比，探究“哪种组合使自行车走得最远”的优化问题。整个内容将比例知识、圆周长计算与机械传动原理巧妙融合，体现了数学与工程技术的跨学科联系，培养学生建立数学模型解决实际问题的能学生在生活中对自行车有丰富的使用经验，并已掌握比例关系和圆周长计算等基础知识，这为理解齿轮传动原理提供了认知前提。然而，学生往往对自行车的工作原理缺乏系统认识，难以将直观的骑行体验与抽象的齿轮传动比建立联系；在分析变速自行车的最优组变量(前/后齿轮齿数、车轮半径),这对学生的系统思维和数据综合分析学中需通过实物观察和数据记录，帮助学生实现从生活经验到数学模型的思维跨②知识与技能：理解自行车齿轮传动原理，掌握③思维与表达：能够建立齿轮传动的数学模型，用比例关系解释自行④交流与反思：在小组合作测量计算的过程中思政元素：通过了解自行车发展历程，培养绿色出教学重点：理解齿轮传动比例关系，掌握自行车行驶距离的计算方教学难点：建立齿轮转动与行驶距离的数学模型，灵活运用于变速自行车分设计意图1.同学们，随着人们环保意识的增强，越来越多的人选择绿色的出行方式。自行车就是一1.学生根据自己的经验，说出自行车的种类。预设1:普通自行车的联系。种不错的选择。你都知道哪些种类的自行车?(课件出示自行车图片)其实，自行车里也蕴含了很多数学知识，今天我们就一起来(出示课题：自行车里的数学)2.大家知道，自行车蹬一圈能走多远吗?我们怎么解决这个问题呢?算预设2:变速自行车2.讨论探究方法预设1:可以测量蹬一圈的距计算出车轮周长，再乘车轮转动的圈数就可以了。经历提出问题、程，使学生掌握法。教学环节二：引导合作，探究问题设计意图1.测量们一起看一