2025-2026学年广东省中山市纪雅学校九年级（上）开学数学试卷参考答案

第1页（共1页）2025-2026学年广东省中山市纪雅学校九年级（上）开学数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案CCACBAAADC一、单选题（本大题共10小题，每题3分，共30分）1．（3分）下列方程中，一定是一元二次方程的是（）A． B．ax2+bx+c＝0 C．x2+1＝0 D．x2+x＝x2【解答】解：A、该方程不是整式方程，故本选项不符合题意．B、该方程中，当a＝0时，该方程是不是关于x的一元二次方程，故本选项不符合题意．C、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意．D、由该方程得到x＝0，它属于一元一次方程，故本选项不符合题意．故选：C．2．（3分）已知函数y＝（m+3）x2+1是二次函数，则m的取值范围为（）A．m＞﹣3 B．m＜﹣3 C．m≠﹣3 D．任意实数【解答】解：由题意得：m+3≠0，∴m≠﹣3，故选：C．3．（3分）若x＝﹣2是关于x的一元二次方程x2﹣kx+k+2＝0的一个根，则k的值为（）A．﹣2 B．2 C． D．6【解答】解：把x＝﹣2代入程x2﹣kx+k+2＝0得4+2k+k+2＝0，解得k＝﹣2．故选：A．4．（3分）将抛物线y＝x2先向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到的新的抛物线的解析式为（）A．y＝（x+2）2+4 B．y＝（x+2）2﹣4 C．y＝（x﹣2）2+4 D．y＝（x﹣2）2﹣4【解答】解：抛物线y＝x2先向右平移2个单位长度，得：y＝（x﹣2）2；再向上平移4个单位长度，得：y＝（x﹣2）2+4．故选：C．5．（3分）新能源汽车已逐渐成为人们的交通工具，据某品牌新能源汽车经销商1月至3月份统计，该品牌新能源汽车1月份销售1000辆，3月份销售1210辆．设月平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的是（）A．1210（1﹣x）2＝1000 B．1000（1+x）2＝1210 C．1000（1+2x）＝1210 D．1210（1﹣2x）＝1000【解答】解：设某品牌新能源汽车销售量的月均增长率为x，根据题意得：1000（1+x）2＝1210，故选：B．6．（3分）若方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根为x1、x2，则（x1﹣1）（x2﹣1）值为（）A．﹣5 B．3 C．7 D．9【解答】解：∵方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根为x1、x2，∴x1+x2＝2，x1x2＝﹣4，则（x1﹣1）（x2﹣1）＝x1x2﹣（x1+x2）+1＝﹣4﹣2+1＝﹣5．故选：A．7．（3分）已知A（﹣3，y1），B（2，y2），C（﹣1，y3）是二次函数y＝x2﹣4x+2k的图象上的三点，则y1、y2、y3的大小关系是（）A．y1＞y3＞y2 B．y2＞y1＞y3 C．y2＞y3＞y1 D．y1＞y2＞y3【解答】解：∵y＝x2﹣4x+2k，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣＝2，∴x＜2时，y随x增大而减小，∵﹣3＜﹣2＜＜2，∴y1＞y3＞y2，故选：A．8．（3分）函数y＝ax+1与y＝ax2+bx+1（a≠0）的图象可能是（）A． B． C． D．【解答】解：当a＞0时，直线y＝ax+1从左至右上升，抛物线y＝ax2+bx+1开口向上，选项A正确，选项B，D错误．当a＜0时，直线y＝ax+1从左至右下降，抛物线y＝ax2+bx+1开口向下，选项C错误．故选：A．9．（3分）已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）．下列说法：①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；②若方程两根为﹣1和2，则2a+c＝0；③若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；④若b＝2a+3c，则方程有两个不相等的实根．其中结论正确的有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：①若a+b+c＝0，方程ax2+bx+c＝0有一根为1，又a≠0，则b2﹣4ac≥0，正确；②由两根关系可知，﹣1×2＝，整理得：2a+c＝0，正确；③若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则﹣ac＞0，可知b2﹣4ac＞0，故方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根，正确；④由b＝2a+3c，b2﹣4ac＝（2a+3c）2﹣4ac＝4（a+c）2+5c2＞0，所以④正确．故选：D．10．（3分）如图，在直角坐标系中，点A（0，a2+a）和点B（0，﹣a﹣2）在y轴上，点M在x轴负半轴上，S△ABM＝2，当线段OM最长时，点M的坐标为（）A．（﹣2，0） B．（﹣3，0） C．（﹣4，0） D．（﹣5，0）【解答】解：∵点A（0，a2+a）和点B（0，﹣a﹣2），∴AB＝a2+a﹣（﹣a﹣2）＝a2+2a+2＝（a+1）2+1，∴AB的最小值为1，此时OM最长，S△ABM＝AB•OM＝×1•OM＝2，解得OM＝4，又∵点M在x轴负半轴，∴点M的坐标为（﹣4，0）．故选：C．二、填空题（本大题共5小题，每题3分，共15分）211．（3分）将一元二次方程3x2﹣6x＝4化成一般式为3x2﹣6x﹣4＝0．【解答】解：由3x2﹣6x＝4移项得到：3x2﹣6x﹣4＝0，故答案是：3x2﹣6x﹣4＝0．12．（3分）若关于x的一元二次方程x2+（b+1）x+4＝0有两个相等的实数根，则常数b的值b＝3或﹣5．【解答】解：根据题意得Δ＝（b+1）2﹣4×4＝0，解得b＝3或﹣5．故答案为3或﹣5．13．（3分）已知二次函数y＝x2+bx+3的对称轴为直线x＝2，则b＝﹣4．【解答】解：∵对称轴为直线x＝2，∴﹣＝2，∴b＝﹣4．14．（3分）二次函数y＝x2﹣x﹣2的图象如图所示，则函数值y＜0时，x的取值范围是﹣1＜x＜2．【解答】解：根据抛物线与x轴两交点坐标为（﹣1，0），（2，0）故当函数值y＜0时，对应x的取值范围上是：﹣1＜x＜2．故答案为：﹣1＜x＜2．15．（3分）如图，若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴为直线x＝1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），则以下结论：①abc＞0；②二次函数的最大值为a+b+c；③a﹣b+c＜0；④b2﹣4ac＜0；⑤2a+b＝0；⑥a+b≥m（am+b）（m为实数）；其中正确有②⑤⑥（填序号）．【解答】解：①∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象开口向下，对称轴为x＝1，与y轴的正半轴相交，∴a＜0，b＞0，c＞0，∴abc＜0，故①不正确；②∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象开口向下，对称轴为x＝1，∴当x＝1时，二次函数的最大值为a+b+c，∴②正确；③∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象过点B（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，∴③不正确；④∵抛物线与x轴有两个不同的交点，∴b2﹣4ac＞0，∴④不正确；⑤∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）对称轴为x＝1，∴﹣＝1，∴2a+b＝0∴⑤正确；⑥∵二次函数的最大值为a+b+c，∴a+b+c≥am2+bm+c，∴a+b≥m（am+b）（m为实数），∴⑥正确．故答案为：②⑤⑥．三、解答题（一）（本大题共3小题，每题7分，共21分）16．（7分）解方程：（1）x2﹣7x+12＝0；（2）（x﹣1）2﹣（x﹣1）＝0．【解答】解：（1）x2﹣7x+12＝0，（x﹣3）（x﹣4）＝0，则x﹣3＝0或x﹣4＝0，所以x1＝3，x2＝4．（2）（x﹣1）2﹣（x﹣1）＝0，（x﹣1）（x﹣1﹣1）＝0，（x﹣1）（x﹣2）＝0，则x﹣1＝0或x﹣2＝0，所以x1＝1，x2＝2．17．（7分）已知二次函数图象的顶点坐标为（1，4），且经过点（4，﹣5）．（1）求该二次函数表达式；（2）直接写出y随x的增大而减小时，x的取值范围．【解答】解：（1）由条件可设二次函数表达式为y＝a（x﹣1）2+4，把（4，﹣5）代入y＝a（x﹣1）2+4，得a（4﹣1）2+4＝﹣5，解得a＝﹣1，所以二次函数表达式为y＝﹣（x﹣1）2+4；（2）∵a＝﹣1＜0，抛物线的开口向下，抛物线的对称轴为直线x＝1，∴当y随x的增大而减小时x的取值范围x＞1．18．（7分）在2025年跳水世界杯女子十米台单人赛中，中国队包揽冠亚军，某商场为宣传体育精神，计划在如图所示的长36dm，宽12dm的矩形海报上分别展示全红婵和陈芋汐两位运动健儿的照片，每幅小矩形照片（铺灰部分）的面积均为165dm2，若海报外沿与照片之间及相邻照片之间的空白区域的宽度均相等，求空白区域的宽度．【解答】解：设空白区域的宽度为xdm，根据题意得：（36﹣3x）（12﹣2x）＝2×165，整理得：x2﹣18x+17＝0，解得：x1＝17（不符合题意，舍去），x2＝1，答：空白区域的宽度为1dm．四、解答想（二）（各大器共3小题.每题9分，共27分）19．（9分）已知关于x的一元二次方程ax2+（2+2a）x+a+2＝0（a≠0）．（1）求证：此方程总有两个不相等的实数根；（2）若此方程的两个根都为整数，求整数a的值．【解答】证明：（1）Δ＝（2+2a）2﹣4a（a+2）＝4+8a+4a2﹣4a2﹣8a＝4．∵Δ＝4＞0，∴方程有两个不相等的实数根．（2）∵ax2+（2+2a）x+a+2＝（x+1）（ax+a+2）＝0，∴x1＝﹣1，x2＝﹣＝﹣1﹣．∵方程的根均为整数，∴a＝±1或a＝±2．20．（9分）浩然文具店新到一种计算器，进价为25元，营销时发现：当销售单价定为30元时，每天的销售量为150件，若销售单价每上涨1元，每天的销售量就会减少10件．（1）写出商店销售这种计算器，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）求销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大值是多少？【解答】解：（1）由题意可得，销售量为150﹣10（x﹣30）＝﹣10x+450，∴w＝（x﹣25）（﹣10x+450）＝﹣10x2+700x﹣11250（25≤x≤45）．（2）∵w＝﹣10x2+700x﹣11250＝﹣10（x﹣35）2+1000，∴当x＝35时，w取得最大值，为1000．故当单价为35元时，每天的利润最大，最大利润是1000元．21．（9分）如图所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发．（1）经过几秒，使△PBQ的面积等于8cm2？（2）线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由．【解答】解：（1）设运动时间为ts（0≤t≤4），则BP＝（6﹣t）cm，BQ＝2tcm，依题意得：×2t（6﹣t）＝8，整理得：t2﹣6t+8＝0，解得：t1＝2，t2＝4．答：经过2s或4s，使△PBQ的面积等于8cm2．（2）线段PQ不能将△ABC分成面积相等的两部分，理由如下：设运动时间为xs（0≤x≤4），则BP＝（6﹣x）cm，BQ＝2xcm，依题意得：×2x（6﹣x）＝××6×8，整理得：x2﹣6x+12＝0．∵Δ＝（﹣6）2﹣4×1×12＝﹣12＜0，∴该方程无实数根，即线段PQ不能将△ABC分成面积相等的两部分．五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分）22．（13分）【综合与实践】数学来源于生活，同时数学也可以服务于生活．【知识背景】如图，校园中有两面直角围墙，墙角内的P处有一古棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，在美化校园的活动中，某数学兴趣小组想借助围墙（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB＝xm．【方案设计】设计一个矩形花园，使之面积最大，且要将古棵树P围在花园内（含边界，不考虑树的粗细）．【解决问题】思路：把矩形ABCD的面积S与边长x（即AB的长）的函数解析式求出，并利用函数的性质来求面积的最大值即可．（1）请用含有x的代数式表示BC的长；（2）花园的面积能否为192m2？若能，求出x的值，若不能，请说明理由；（3）求面积S与x的函数解析式，写出x的取值范围；并求当x为何值时，花园面积S最大？【解答】解：（1）由题意，AB＝xm，∴BC＝（28﹣x）m．（2）∵AB＝x，则BC＝（28﹣x），∴x（28﹣x）＝192，解得：x＝12或x＝16（由于树与墙CD为15m，从而x＝16不合题意，舍去），∴花园的面积可等于192m2，此时x的值为12m．（3）①S＝x（28﹣x）＝﹣x2+28x＝﹣（x﹣14）2+196．∵在点P与CD，AD的距离分别是15m和6m，∴28﹣15＝13．∴6≤x≤13．∴面积S与x的函数解析式为：S＝﹣（x﹣14）2+196（6≤x≤13）．②∵﹣1＜0，抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝14，∴当6≤x≤13时，S随x的增大而增大．∴当x＝13时，S取到最大值＝﹣（13﹣14）2+196＝195，即当x＝13m时，花园面积S最大，最大值为195m2．23．（14分）综合与实践：根据以下素材，分析问题，探索解决问题．如何设计建造花园？提出问题某高端酒店准备打造一个面积为450m2的长方形花园，现有墙AB长25m，篱笆长65m的（全部用于建造花园），设计公司为酒店提供了两种方案，请通过计算帮助酒店作出合理决策．决策依据长方形的宽与长的长度之比越接近黄金比越美观，黄金比约为0.6．方案一如图，选取境AB的一部分作为长方形的一边，其他三边用篱笆围成．方案二如图，将墙AB全部借用，并在墙AB的延长线上拓展BF，构成长方形ADEF，其中BF，FE，ED和DA都由篱