第01讲 函数的概念及其表示（原卷版）

第二章《函数》第01讲函数的概念及其表示1．函数的概念一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.2．函数的定义域、值域(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为同一个函数．3．函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．4．分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．(2)分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．一．函数的概念例1．（1）下列四个图像中（如图），属于函数图象的是（）

（1）

（2）

（3）

（4）A．(1)(2) B．(1)(3)(4) C．(2)(3)(4) D．(1)(2)(3)(4)（2）集合A={x|0≤x≤4}，B={y|0≤y≤2}，下列不能表示从A到B的函数的是（）A． B．： C． D．（3）（多选）下列各组函数表示同一个函数的是（

）A．，B．，C．，D．，【复习指导】：(1)函数的定义要求第一个数集A中的任何一个元素在第二个数集B中有且只有一个元素与之对应，即可以“多对一”，不能“一对多”，而B中有可能存在与A中元素不对应的元素．(2)构成函数的三要素中，定义域和对应关系相同，则值域一定相同．二．求函数的解析式命题点1已知函数类型求解析式例2．（1）已知是一次函数，且满足；（2）已知函数为二次函数，且，求的解析式；（3）已知y＝f(x)是二次函数，若方程f(x)＝0有两个相等实根，且f′(x)＝2x＋2，则f(x)＝________.命题点2已知求解析式例3．（1）已知f(＋1)＝x＋2，求的解析式．（2）设函数f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－x,1＋x)))＝x，则f(x)的表达式为()A.eq\f(1＋x,1－x)(x≠－1) B.eq\f(1＋x,x－1)(x≠－1)C.eq\f(1－x,1＋x)(x≠－1) D.eq\f(2x,x＋1)(x≠－1)（3）已知，求的解析式．（4）已知，求的解析式．命题点3方程组法求解析式例4．（1）知函数满足条件对任意不为零的实数恒成立,求.（2）已知定义域为R的函数满足，则___________.（3）已知函数的定义域为，且，则_______（4）已知函数，，且满足，则的值是（

）A． B． C． D．【复习指导】：函数解析式的求法：(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法．(2)换元法：已知复合函数f

(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围．(3)配凑法：由已知条件f

(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f

(x)的解析式．(4)消去法（方程组法）：已知f

(x)与f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))或f

(－x)之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f

(x)．三．分段函数命题点1求分段函数的函数值例5．（1）已知函数，则（）A． B． C． D．5（2）设函数，则的值为（）A． B． C． D．（3）设函数,（）A．3 B．6 C．9 D．12命题点2分段函数与方程、不等式问题例6．（1）设函数，若，则（）A． B． C． D．（2）设函数，若，则的取值范围是（

）A． B．C． D．（3）设函数，则不等式的解集是（

）A．或 B．C． D．或（4）设函数则满足的的取值范围是（

）A． B． C． D．【复习指导】：(1)分段函数的求值问题的解题思路：①求函数值：当出现f

(f

(a))的形式时，应从内到外依次求值．②求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．(2)分段函数与方程、不等式问题的求解思路：依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来．四．函数的定义域例7．（1）函数的定义域为（

）A． B．C． D．（2）函数的定义域为（

）A．B．C．D．（3）已知函数的定义域是，则的定义域是（

）A． B． C． D．（4）已知函数f(x)的定义域是[1，5]，求函数f(x2＋1)的定义域.（5）已知函数f(2x2－1)的定义域是[1，5]，求f(x)的定义域.【复习指导】：(1)给定函数的解析式，求函数的定义域的依据是使解析式有意义，如分式的分母不等于零，偶次根式的被开方数为非负数，零指数幂的底数不为零，对数的真数大于零且底数为不等于1的正数以及三角函数的定义域等．(2)求函数定义域应注意的问题①不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化；②定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．=3\*GB3③求函数的定义域往往归结为解不等式组的问题．在解不等式组时要细心，取交集时可借助数轴，并且要注意端点值或边界值．(3)求抽象函数的定义域的策略①若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；②若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域．五．函数的值域例8．求下列函数的值域（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）（9）；（10）.【复习指导】：求函数值域的一般方法(1)分离常数法；(2)配方法；(3)不等式法；(4)单调性法；(5)换元法；(6)数形结合法；(7)导数法．六．定义域与值域的应用例9．（1）已知函数y＝eq\r(x2＋ax－1＋2a)的值域为[0，＋∞)，求a的取值范围．（2）若函数f(x)＝ln(ax－1)在(2，＋∞)上有意义，则实数a的取值范围为________．（3）已知函数f(x)＝eq\f(1,2)(x－1)2＋1的定义域与值域都是[1，b](b>1)，则实数b＝________.（4）若函数的定义域为，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．（5）函数的定义域为,则的取值范围为______.【复习指导】：已知函数的定义域、值域求参数问题，可通过分析函数解析式的结构特征，结合函数的图象、性质、转化为含参数的方程(组)、不等式(组)，然后求解．1．对于集合，，由下列图形给出的对应中，不能构成从到的函数有（）个A．个 B．个 C．个 D．个2．下列变量与的关系式中，不能构成是的函数关系的是（

）A． B． C． D．3．已知集合M＝{－1,1,2,4}，N＝{1,2,4}，给出下列四个对应关系：①y＝x2，②y＝x＋1，③y＝x－1，④y＝|x|，其中能构成从M到N的函数的是（）A．① B．② C．③ D．④4．设函数对的一切实数均有，则等于（）A．2016 B．-2016 C．-2017 D．20175．已知函数f(x)满足f(x)＋2f(3－x)＝x2，则f(x)的解析式为（

）A．f(x)＝x2－12x＋18B．f(x)＝－4x＋6C．f(x)＝6x＋9D．f(x)＝2x＋36．设，则（）A． B． C． D．7．已知，若，则（

）A．5 B． C．2 D．2或8．已知函数，则不等式的解集是（

）A． B．C． D．9．设函数f(x)=若，则实数的取值范围是（

）A．B．C．D．10．已知函数则不等式的解集为（

）A．B．C．D．11．已知函数，则使得成立的的取值范围是（

）A． B． C． D．12．已知函数若f(x0)>3，则x0的取值范围是()A．(8，＋∞) B．(－∞，0)∪(8，＋∞)C．(0,8) D．(－∞，0)∪(0,8)13．已知函数，若，则的取值范围为（

）A． B．C． D．14．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．15．已知的定义域为[0，3]，则的定义域是（

）A． B．C． D．16．若函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（

）A． B． C． D．17．函数的值域为（）A． B． C． D．18．函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（）A．[0，4] B．[4，6] C．[2，6] D．[2，4]19．函数的值域为（

）A．B．C．D．20．函数的值域为（

）A． B． C． D．21．已知函数，（），则它的值域为（

）A． B．（-3，0） C．（-1，0） D．（-2，0）22．已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．23．已知函数的值域是（

）A． B． C． D．24．已知集合，，则（

）A． B． C． D．25．已知函数则函数的值域为（

）A．R B． C． D．26．设集合，则（

）A． B． C． D．27．函数值域是（

）A． B． C． D．28．已知函数，，若对任意，总存在，使得，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．29．(多选)下列各组函数是同一个函数的是()A．f(x)＝x2－2x－1，g(s)＝s2－2s－1B．f(x)＝x－1，g(x)＝eq\f(x2－1,x＋1)C．f(x)＝eq\r(x2)，g(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x，x≥0，,－x，x<0))D．f(x)＝eq\r(－x3)，g(x)＝xeq\r(－x)30．（多选）有以下判断，其中是正确判断的有（

）A．与表示同一函数B．函数的图象与直线的交点最多有1个C．与是同一函数D．若，则31．若函数满足条件，则的最小值为__________．32．已知函数，若，则______．33．已知，函数，若，则__________．34．函数的定义域为______________．35．设函数则满足的x的取值范围是____________.36．设函数f(x)＝若f(f(a))≤2，则实数a的取值范围是__________.37．已知函数，则不等式的解集为__________．38．函数的定义域为_____________.39．函数的定义域为，则实数的取值范围为______．40．函数的定义域，则实数的值为________41．已知函数的定义域为，则实数的取值范围是____________．42．函数的值域是______________（用区间表示）43．函数的值域是___________.44．已知函数，则________；若当时，，则的最大值是_________.45．（1