第01讲 集合（高效培优讲义）（教师版）

第01讲集合目录考情探究 2知识梳理 3探究核心考点 4考点一集合的含义与表示 4考点二集合间的基本关系 5考点三集合的基本运算 7考点四venn图 9考点五集合新定义 12三阶突破训练 14基础过关 14能力提升 17真题感知 23

一、5年真题考点分布5年考情考题示例考点分析关联考点2025年北京卷，第一题，5分集合的交集无2025年，全国I卷，5分集合的补集无2024年新I卷，第1题,5分集合的交集一元三次不等式的解法及范围估算2023年新I卷，第1题,5分集合的交集一元二次不等式的解法2023年新Ⅱ卷，第2题,5分元素的性质、集合的子集无2022年新I卷，第1题,5分集合的交集根号不等式的解法2022年新Ⅱ卷，第1题,5分集合的交集单绝对值不等式的解法2021年新I卷，第1题,5分集合的交集无2021年新Ⅱ卷，第2题,5分集合的交集、补集无二、命题规律及备考策略【命题规律】集合是高考数学的必考考点，常见以一元一次、一元二次不等式的形式，结合有限集、无限集来考查集合的交、并、补集等运算，偶尔涉及集合的符号辨识，一般出现在高考的第1题，以简单题为【备考策略】1.理解、掌握集合的表示方法，能够判断元素与集合、集合与集合的关系2.能掌握集合交集、并集、补集的运算和性质3.具备数形结合的思想意识，会借助Venn图、数轴等工具解决集合的计算问题4.会解一元二次不等式、一元二次方程、简单的分式不等式、简单的根号不等式，简单的指对不等式，简单的高次不等式和简单的单绝对值不等式【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般给两个集合，要求通过解不等式求出一个集合，然后通过集合的运算得出答案。

1．集合与元素(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN*(或N＋)ZQR2．集合的基本关系(1)子集：若对于任意的x∈A都有x∈B，则A⊆B；(2)真子集：若A⊆B，且A≠B，则A⫋B；(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B；(4)∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．3．集合的基本运算表示运算文字语言集合语言图形语言记法交集属于A且属于B的所有元素组成的集合{x|x∈A，且x∈B}A∩B并集属于A或属于B的元素组成的集合{x|x∈A，或x∈B}A∪B补集全集U中不属于A的元素组成的集合称为集合A相对于集合U的补集{x|x∈U，x∉A}∁UA

考点一集合的含义与表示典例1．已知集合，且，则实数的值为（）A． B．0 C．3 D．或3【答案】C【分析】由或求得并代入集合检验．【详解】因为，所以分为以下两种情况讨论．①或，当时，集合，满足题意；当时，集合，不满足集合的互异性，故舍去．②，此时集合，不满足集合的互异性，故舍去．综上所述，．故选：C．典例2．若集合中只有一个元素，则.【答案】0或1【分析】分和时分别讨论计算求解即可.【详解】因集合中只有一个元素，则当时，方程为，解得，即集合，则，当时，由，解得，集合，则，所以或.故答案为：0或1跟踪训练1．（2025·江苏·模拟预测）已知集合满足，若，则必有（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据交集和并集结果分析即可得解.【详解】因为，所以必有，且，又，则和4均仅是集合A中元素或仅是集合B中元素.若，则必有.故选：C跟踪训练2．已知正六棱柱的底面为边长为2，高为3，则集合中元素的个数为（

）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】A【分析】根据空间向量数量积公式及运算律计算求解.【详解】因为正六棱柱的底面为边长为2，高为3，平面，所以，则.故选：A.考点二集合间的基本关系典例1．设集合，则的真子集的个数是（

）A．8 B．7 C．4 D．3【答案】D【分析】写出集合，计算真子集个数.【详解】，因为集合中有个元素，所以真子集个数为.故选：D.典例2．（多选）已知集合，则（

）A．满足的数列的所有项构成的集合是集合A的子集B．满足的数列的所有项构成的集合是集合A的子集C．若m，，则D．若m，，则【答案】AC【分析】对于A由即可判断，对于B由于即可判断，对于C存在，，，使得，，计算是否满足集合即可判断，对于D验证是否满足集合即可判断.【详解】对于A：因为对任意的，均有，显然，，故的所有项构成的集合是A的子集，故A正确；对于B：数列的首项，，a，，故B错误；对于C：若m，，则存在，，，使得，，则，故，故C正确；对于D：由C项知，但不一定是整数，故不一定有，故D错误．故选：AC.跟踪训练1．设集合，则集合的非空真子集的个数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】结合不等式及幂函数的性质求出集合，进而结合非空真子集的结论求解即可.【详解】由，，则，即，，由，，，，则，所以，共有个元素，所以集合的非空真子集的个数为.故选：B.跟踪训练2．（2025·河南·三模）(多选)已知全集，集合，，，若，则（

）A．的取值有个 B．C． D．所有子集的个数为【答案】BCD【分析】利用集合的包含关系结合集合元素的互异性可求出的值，可判断A选项；利用交集的定义可判断B选项；利用并集的定义可判断C选项；利用集合的运算结合子集个数公式可判断D选项.【详解】对于A选项，因为，，且，则或，且，，解得，故的取值只有个，故A错误；对于B选项，，，所以，故B正确；对于C选项，，，故C正确；对于D选项，，所以，，则，其的子集的个数为，故D正确．故选：BCD.考点三集合的基本运算典例1．已知集合，若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题可得1是方程的根，据此可得答案.【详解】因为，,所以1是方程的根，3不一定是方程的根，则，解得，故，符合题意，故．故选：B．典例2．已知集合，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据分式不等式求解方法求出，利用指数函数的性质求出，再根据集合间的交集和补集计算即可.【详解】由题意，即，解得，可得，所以，故，故选：D.典例3．（2025·陕西咸阳·三模）设集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据已知写出集合，再由集合的交运算求集合.【详解】由题设，则.故选：D跟踪训练1．设集合，.若，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先解对数不等式和分式不等式得到集合和，再分、和对含参一元二次不等式的解集进行讨论可得结果.【详解】，．当时，，由得；当时，，由得；当时，，与不符．综上，.故选：D．跟踪训练2．已知非空集合A，B，，若，则实数的取值范围为.【答案】【分析】解不等式得到，根据交集结果得到答案.【详解】由题意可知，因为，则，所以实数的取值范围为.故答案为：考点四venn图典例1．已知集合，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】解一元二次不等式求集合，再应用集合的交补运算求阴影部分集合.【详解】由题得，，则或，所以图中阴影部分表示的集合为.故选：A典例2．某寺院有甲、乙、丙三口铜钟．甲钟每4秒敲响一声，乙钟每5秒敲响一声，丙钟每6秒敲响一声．新年到来时，三口钟同时敲响并且同时停敲，某人共听到365声钟响．若在此期间，甲、乙、丙三口钟敲响的次数分别，则（

）A．365 B．256 C．484 D．516【答案】C【分析】根据题意分析，结合容斥原理求解即可.【详解】设敲钟持续的时间为秒，则甲乙丙钟敲响次数分别为，，，由于甲乙敲响周期的最小公倍数为20，则甲乙同时敲响次数为，由于甲丙敲响周期的最小公倍数为12，则甲丙同时敲响次数为，由于乙丙敲响周期的最小公倍数为30，则乙丙同时敲响次数为，由于甲乙丙敲响周期的最小公倍数为60，则甲乙丙同时敲响次数为，由容斥原理易知，解得，则．故选：C．典例3．（2025·广东佛山·二模）图中阴影部分用集合符号可以表示为（

）

A． B．C． D．【答案】A【分析】根据集合的运算即可得到答案.【详解】在阴影部分区域内任取一个元素，则或，故阴影部分所表示的集合为或者，故A正确.故选：A.跟踪训练1．（2025·广东佛山·模拟预测）已知全集，集合，，且，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用韦恩图法即可判断.【详解】如图，对于A：，所以A错误；对于B：，所以B错误；对于D：，所以D错误，对于C：由图观察显然，故C正确．故选：C跟踪训练2．（多选）若表示集合和关系的图如图所示，则可能是（

）A．B．C．，D．【答案】AD【分析】根据可知,即可结合选项逐一判断即可.【详解】由可知,对于A,满足,故A正确，对于B,，此时不满足,故B错误，对于C,，当且仅当取等号，故，此时,故C错误，对于D，或，故,D正确，故选：AD跟踪训练3．一个学校只有三门课程：数学、语文、外语，已知修这三门课的学生分别有172，132，130人；同时修数学、语文两门课的学生有48人，同时修数学、外语两门课的学生有30人，同时修语文、外语两门课的学生有21人；三门课全修的学生有5人.问：(1)该校共有多少学生？(2)只修一门课的学生有多少？(3)正好修两门课的学生有多少？【答案】(1)340人(2)251人(3)84人【分析】（1）设修数学、语文、外语的学生组成集合为，由容斥原理求解即可；（2）由容斥原理只修一门课的学生有；（3）由容斥原理正好修两门课的学生有【详解】（1）设修数学、语文、外语的学生组成集合为，则，，，所以该校共有340人.（2）只修一门课的学生有,所以只修一门课的学生有251人.（3）正好修两门课的学生有，所以正好修两门课的学生有84人.考点五集合新定义典例1．设，是两个非空集合，定义与的差集，则等于（

）A．P B． C． D．M【答案】A【分析】根据题目当中给出的定义，画出韦恩图，进行集合的运算即可.【详解】当时，由韦恩图知，为下图中的阴影部分，则显然为P．

当时，，则故选：A．典例2．规定集合为集合的第个子集，其中，若，则的值是（

）A．20 B．21 C．22 D．23【答案】D【分析】根据二进制写出即可求出.【详解】因，则．故选：D．跟踪训练1．设是集合的两个子集，若规定满足的集合称为的理想配对，则满足条件的理想配对有（

）.A．8种 B．9种 C．27种 D．16种【答案】C【分析】根据题意，对于1，3，5每个数都有3种选择，故有种.【详解】根据题意，对1，3，5而言，要么只在集合中，要么只在集合中，要么不在这两个集合的任意一个中，即每个数都有3种选择，故有种.故选：C跟踪训练2．将集合分拆成两个集合和，且，，这样的分拆方法共有种．【答案】【分析】按集合中元素的个数进行分类，再应用二项式展开式逆用求解.【详解】按集合中的元素个数进行分类：若中有0个元素（即种）时，则有种，共有种；若中有1个元素（即种）时，则有种，共有种；若中有2个元素（即种）时，则有种，共有种；若中有3个元素（即种）时，则有种，共有种；…若中有个元素（即种）时，则有种，共有种.可得，故这样的分拆方法有种.故答案为：跟踪训练3．给定整数，设，，…，是互不相等的非负实数，记集合，，求的最小值，其中表示集合X中元素的个数．【答案】【分析】由集合新定义即可求解.【详解】不妨设，则，所以．又，所以．故，当时，等号成立．1．已知集合，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】解一元二次不等式求集合，再应用集合的交补运算求阴影部分集合.【详解】由题得，，则或，所以图中阴影部分表示的集合为.故选：A2．集合的子集个数为（

）A．15 B．16 C．31 D．32【答案】B【分析】根据定义域的求法，先解对数不等式；再利用集合子集个数的计算公式，即可求解.【详解】依题意得，，所以，因为，所以，所以集合的子集个数为．故选：B．3．已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】解不等式及分式不等式，再根据集合的关系进行判断即可.【详解】等价于，解得，所以，，即，因为函数为增函数，所以，即，所以，.故选：B.4．（2025·广东佛山·模拟预测）已知全集，集合，，且，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用韦恩图法即可判断.【详解】如图，对于A：，所以A错误；对于B：，所以B错误；对于D：，所以D错误，对于C：由图观察显然，故C正确．故选：C5．（2025·广东佛山·二模）图中阴影部分用集合符号可以表示为（

）

A． B．C． D．【答案】A【分析】根据集合的运算即可得到答案.【详解】在阴影部分区域内任取一个元素，则或，故阴影部分所表示的集合为或者，故A正确.故选：A.6．（2025·甘肃白银·二模）已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】解不等式求得集合,然后求交集.【详解】由图知，阴影部分表示的集合为，或，.或或，，.故选：B7．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知集合的最大元素等于该集合的所有元素之和，则实数（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分类讨论，根据题意列出关系式求解即可.【详解】根据集合中元素的互异性可得：，且.当集合时，集合的最大元素为；当集合时，集合的最大元素为；根据题意可得：集合的所有元素之和为.且或，解得：.故选：B.8．（2025·云南玉溪·模拟预测）如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合.若集合，集合，则集合（

）A．B．C．或D．或【答案】D【分析】根据给定的韦恩图，结合集合的运算求解.【详解】集合，集合，则，由韦恩图得或.故选：D9．设集合，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用解分式不等式来求解集合，然后利用交集运算即可．【详解】由题可知：或，所以．因为，所以.故选：B1．已知集合，，则满足的集合的个数为（

）A．4 B．7 C．8 D．15【答案】B【分析】根据题意写出集合，再由子集和真子集的定义即可解得.【详解】方法一：的含义是有的都有，有的都有，但不能等于．因为集合，，所以集合可为，共7个．方法二：集合中有2个元素，中有5个元素，则集合可以是集合的任意一个真子集与集合并集组成，所以满足的集合有（个）．故选：B．2．（2025·浙江宁波·模拟预测）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根据一元二次不等式的解法解出集合，再利用并集和补集的定义求解即可.【详解】由可得或，解得或，即或，因此，，则.故选：C.3.已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】通过解不等式化简集合，再求【详解】由得，即，∴，由，得，∴．所以．故选：B．4.已知集合，集合，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】解一元二次不等式求集合，再由集合并运算求集合.【详解】由，，所以.故选：A5.某寺院有甲、乙、丙三口铜钟．甲钟每4秒敲响一声，乙钟每5秒敲响一声，丙钟每6秒敲响一声．新年到来时，三口钟同时敲响并且同时停敲，某人共听到365声钟响．若在此期间，甲、乙、丙三口钟敲响的次数分别，则（

）A．365 B．256 C．484 D．516【答案】C【分析】根据题意分析，结合容斥原理求解即可.【详解】设敲钟持续的时间为秒，则甲乙丙钟敲响次数分别为，，，由于甲乙敲响周期的最小公倍数为20，则甲乙同时敲响次数为，由于甲丙敲响周期的最小公倍数为12，则甲丙同时敲响次数为，由于乙丙敲响周期的最小公倍数为30，则乙丙同时敲响次数为，由于甲乙丙敲响周期的最小公倍数为60，则甲乙丙同时敲响次数为，由容斥原理易知，解得，则．故选：C．6.已知集合，，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】首先分别求出集合和集合的解集，再求两个集合的交集.【详解】因为，，且，，所以必有，解得，则.又，故．故选：B.7．（多选）已知全集，，，，，则下列选项正确的为（

）A． B．的不同子集的个数为4C． D．【答案】AC【分析】根据集合之间的关系作出图，逐项判断即可.【详解】，由，，，，，作出图，如图所示，由图可知，，，故A，正确；集合的子集个数为个，故B错误；因为，所以，错误.故选：AC8．（多选）非空数集，同时满足如下两个性质：（1）若，则；（2）若，则．称A为一个“封闭集”，以下说法正确的是（

）A．若A为一个“封闭集”，则B．若A为一个“封闭集”，且，则C．若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或D．若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或【答案】ABD【分析】对于AB，由“封闭集”的定义可得正确；对于C，举出反例；D选项，先证明充分性，再利用反证法证明必要性成立，得到D正确.【详解】对于A，因为A为一个“封闭集”，所以由定义可知若，则，那么，A正确．对于B，因为A为一个“封闭集”，，所以，所以，B正确．对于C，不妨取“封闭集”，则也是“封闭集”，显然或不成立，C错误．对于D，充分性：都是“封闭集”，若或，则或，则是“封闭集”．必要性：若是“封闭集”，令，假设或不成立，则存在，同时，因为是“封闭集”，所以，分两类情况讨论，若，又当时，，所以，这与假设矛盾，若，又当时，，所以，这与假设矛盾，故假设不成立，原结论是“封闭集”，则或成立，即必要性成立．D正确．故选：ABD.9.设集合，，，，，中，至少有两个元素，且，满足：①对于任意，，若，都有；②对于任意，，若，则．若有4个元素，则有个元素．【答案】7【分析】先通过特例法找出集合中的元素个数，再设集合，且，，，，，得，，，，，，并结合题意和并集的运算求出，进而可得出答案.【详解】由题可知，，，有4个元素，若取，则，此时，包含7个元素，具体如下：设集合，且，，，，，则，且，则，同理，，，，．①若，则，且，，，，则，故，所以，又，故，所以，故，此时，，故，与有4个元素矛盾，舍去．②若，则，故，所以.同理，故，所以.又，故，所以，故，此时．若，则，故，，，，.故，，，，，即.故，此时，即中有7个元素．故答案为：7.10.一个学校只有三门课程：数学、语文、外语，已知修这三门课的学生分别有172，132，130人；同时修数学、语文两门课的学生有48人，同时修数学、外语两门课的学生有30人，同时修语文、外语两门课的学生有21人；三门课全修的学生有5人.问：(1)该校共有多少学生？(2)只修一门课的学生有多少？(3)正好修两门课的学生有多少？【答案】(1)340人(2)251人(3)84人【分析】（1）设修数学、语文、外语的学生组成集合为，由容斥原理求解即可；（2）由容斥原理只修一门课的学生有；（3）由容斥原理正好修两门课的学生有【详解】（1）设修数学、语文、外语的学生组成集合为，则，，，所以该校共有340人.（2）只修一门课的学生有,所以只修一门课的学生有251人.（3）正好修两门课的学生有，所以正好修两门课的学生有84人.1．（2025·全国二卷·高考真题）已知集合则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】求出集合后结合交集的定义可求.【详解】