第01讲 集合（高效培优讲义）（学生版）

第01讲集合目录考情探究 2知识梳理 3探究核心考点 4考点一集合的含义与表示 4考点二集合间的基本关系 4考点三集合的基本运算 5考点四venn图 5考点五集合新定义 6三阶突破训练 7基础过关 7能力提升 8真题感知 10

一、5年真题考点分布5年考情考题示例考点分析关联考点2025年北京卷，第一题，5分集合的交集无2025年，全国I卷，5分集合的补集无2024年新I卷，第1题,5分集合的交集一元三次不等式的解法及范围估算2023年新I卷，第1题,5分集合的交集一元二次不等式的解法2023年新Ⅱ卷，第2题,5分元素的性质、集合的子集无2022年新I卷，第1题,5分集合的交集根号不等式的解法2022年新Ⅱ卷，第1题,5分集合的交集单绝对值不等式的解法2021年新I卷，第1题,5分集合的交集无2021年新Ⅱ卷，第2题,5分集合的交集、补集无二、命题规律及备考策略【命题规律】集合是高考数学的必考考点，常见以一元一次、一元二次不等式的形式，结合有限集、无限集来考查集合的交、并、补集等运算，偶尔涉及集合的符号辨识，一般出现在高考的第1题，以简单题为【备考策略】1.理解、掌握集合的表示方法，能够判断元素与集合、集合与集合的关系2.能掌握集合交集、并集、补集的运算和性质3.具备数形结合的思想意识，会借助Venn图、数轴等工具解决集合的计算问题4.会解一元二次不等式、一元二次方程、简单的分式不等式、简单的根号不等式，简单的指对不等式，简单的高次不等式和简单的单绝对值不等式【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般给两个集合，要求通过解不等式求出一个集合，然后通过集合的运算得出答案。

1．集合与元素(1)集合中元素的三个特征：、、．(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：、、．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN*(或N＋)ZQR2．集合的基本关系(1)子集：若对于任意的x∈A都有x∈B，则A⊆B；(2)真子集：若A⊆B，且A≠B，则A⫋B；(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B；(4)∅是任何集合的，是任何非空集合的．3．集合的基本运算表示运算文字语言集合语言图形语言记法交集属于A且属于B的所有元素组成的集合{x|x∈A，且x∈B}并集属于A或属于B的元素组成的集合{x|x∈A，或x∈B}补集全集U中不属于A的元素组成的集合称为集合A相对于集合U的补集{x|x∈U，x∉A}

考点一集合的含义与表示典例1．已知集合，且，则实数的值为（）A． B．0 C．3 D．或3典例2．若集合中只有一个元素，则.跟踪训练1．（2025·江苏·模拟预测）已知集合满足，若，则必有（

）A． B． C． D．跟踪训练2．已知正六棱柱的底面为边长为2，高为3，则集合中元素的个数为（

）A．1 B．2 C．4 D．8考点二集合间的基本关系典例1．设集合，则的真子集的个数是（

）A．8 B．7 C．4 D．3典例2．（多选）已知集合，则（

）A．满足的数列的所有项构成的集合是集合A的子集B．满足的数列的所有项构成的集合是集合A的子集C．若m，，则D．若m，，则跟踪训练1．设集合，则集合的非空真子集的个数为（

）A． B． C． D．跟踪训练2．（2025·河南·三模）(多选)已知全集，集合，，，若，则（

）A．的取值有个 B．C． D．所有子集的个数为考点三集合的基本运算典例1．已知集合，若，则（

）A． B． C． D．典例2．已知集合，则（

）A． B．C． D．典例3．（2025·陕西咸阳·三模）设集合，，则（

）A． B． C． D．跟踪训练1．设集合，.若，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．跟踪训练2．已知非空集合A，B，，若，则实数的取值范围为.考点四venn图典例1．已知集合，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（

）A． B．C． D．典例2．某寺院有甲、乙、丙三口铜钟．甲钟每4秒敲响一声，乙钟每5秒敲响一声，丙钟每6秒敲响一声．新年到来时，三口钟同时敲响并且同时停敲，某人共听到365声钟响．若在此期间，甲、乙、丙三口钟敲响的次数分别，则（

）A．365 B．256 C．484 D．516典例3．（2025·广东佛山·二模）图中阴影部分用集合符号可以表示为（

）

A． B．C． D．跟踪训练1．（2025·广东佛山·模拟预测）已知全集，集合，，且，则（

）A． B．C． D．跟踪训练2．（多选）若表示集合和关系的图如图所示，则可能是（

）A．B．C．，D．跟踪训练3．一个学校只有三门课程：数学、语文、外语，已知修这三门课的学生分别有172，132，130人；同时修数学、语文两门课的学生有48人，同时修数学、外语两门课的学生有30人，同时修语文、外语两门课的学生有21人；三门课全修的学生有5人.问：(1)该校共有多少学生？(2)只修一门课的学生有多少？(3)正好修两门课的学生有多少？考点五集合新定义典例1．设，是两个非空集合，定义与的差集，则等于（

）A．P B． C． D．M典例2．规定集合为集合的第个子集，其中，若，则的值是（

）A．20 B．21 C．22 D．23跟踪训练1．设是集合的两个子集，若规定满足的集合称为的理想配对，则满足条件的理想配对有（

）.A．8种 B．9种 C．27种 D．16种跟踪训练2．将集合分拆成两个集合和，且，，这样的分拆方法共有种．跟踪训练3．给定整数，设，，…，是互不相等的非负实数，记集合，，求的最小值，其中表示集合X中元素的个数．1．已知集合，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（

）A． B．C． D．2．集合的子集个数为（

）A．15 B．16 C．31 D．323．已知集合，，则（

）A． B． C． D．4．（2025·广东佛山·模拟预测）已知全集，集合，，且，则（

）A． B．C． D．5．（2025·广东佛山·二模）图中阴影部分用集合符号可以表示为（

）

A． B．C． D．6．（2025·甘肃白银·二模）已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（

）A． B．C． D．7．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知集合的最大元素等于该集合的所有元素之和，则实数（

）A． B． C． D．8．（2025·云南玉溪·模拟预测）如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合.若集合，集合，则集合（

）A．B．C．或D．或9．设集合，则（

）A． B． C． D．1．已知集合，，则满足的集合的个数为（

）A．4 B．7 C．8 D．152．（2025·浙江宁波·模拟预测）已知集合，，则（

）A． B． C． D．3.已知集合，则（

）A． B． C． D．4.已知集合，集合，则（

）A． B． C． D．5.某寺院有甲、乙、丙三口铜钟．甲钟每4秒敲响一声，乙钟每5秒敲响一声，丙钟每6秒敲响一声．新年到来时，三口钟同时敲响并且同时停敲，某人共听到365声钟响．若在此期间，甲、乙、丙三口钟敲响的次数分别，则（

）A．365 B．256 C．484 D．5166.已知集合，，则（

）A． B．C． D．7．（多选）已知全集，，，，，则下列选项正确的为（

）A． B．的不同子集的个数为4C． D．8．（多选）非空数集，同时满足如下两个性质：（1）若，则；（2）若，则．称A为一个“封闭集”，以下说法正确的是（

）A．若A为一个“封闭集”，则B．若A为一个“封闭集”，且，则C．若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或D．若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或9.设集合，，，，，中，至少有两个元素，且，满足：①对于任意，，若，都有；②对于任意，，若，则．若有4个元素，则有个元素．10.一个学校只有三门课程：数学、语文、外语，已知修这三门课的学生分别有172，132，130人；同时修数学、语文两门课的学生有48人，同时修数学、外语两门课的学生有30人，同时修语文、外语两门课的学生有21人；三门课全修的学生有5人.问：(1)该校共有多少学生？(2)只修一门课的学生有多少？(3)正好修两门课的学生有多少？1．（2025·全国二卷·高考真题）已知集合则（

）A． B．C． D．2．（2025·北京·高考真题）已知集合，则（

）A． B． C． D．3．（2025·天津·高考真题）已知集合，则（

）A． B． C． D．4．（2025·全国一卷·高考真题）已知集合，，则中元素个数为（

）A．0 B．3 C．5 D．85．（2024·北京·高考真题）已知是平面直角坐标系中的点集.设是中两点间距离的最大值，是表示的图形的面积，则（