高中数学第三章不等式3.5.1二元一次不等式(组)所表示的平面区域讲义新人教版B

3.5.1

二元一次不等式(组)所表示的平面区域一二三一、二元一次不等式(组)的概念【问题思考】

1.填空:(1)二元一次不等式是指含有两个未知数,且未知数的最高次数是1的整式不等式.二元一次不等式组是指由几个含有两个未知数,且未知数的最高次数为1的整式不等式组成的不等式组.(2)二元一次不等式(组)的解集是指满足这个不等式(组)的实数x和y构成的有序数对(x,y)构成的集合.(3)二元一次不等式的一般形式为Ax+By+C>0或Ax+By+C<0.一二三2.找出下列问题中x,y满足的约束条件.完成一项装修工程,请木工需付工资每人50元,请瓦工需付工资每人40元,现工人工资预算2000元,设木工x人,瓦工y人.一二三二、二元一次不等式表示的平面区域【问题思考】

1.填空:(1)直线l:Ax+By+C=0,它把坐标平面分为两部分,每个部分叫做开半平面.开半平面与l的并集叫做闭半平面.以不等式解(x,y)为坐标的所有点构成的集合,也叫做不等式表示的区域或不等式的图象.(2)坐标平面内的任一条直线都有如下性质:直线l:Ax+By+C=0把坐标平面内不在直线l上的点分为两部分,直线l的同一侧的点的坐标使式子Ax+By+C的值具有相同的符号,并且两侧的点的坐标使Ax+By+C的值的符号相反,一侧都大于0,另一侧都小于0.一二三知识拓展在判断不等式Ax+By+C>0(或Ax+By+C<0)所表示的平面区域时,“代点法”无疑是快捷且准确的方法.即基本方法是“直线定界,特值定域”.其步骤:(1)画直线Ax+By+C=0;(2)在直线的一侧任取一点P(x0,y0),可取较特殊的点,易计算;(3)将P(x0,y0)代入Ax+By+C求值;(4)若Ax0+By0+C>0,则此点所在的半平面为不等式Ax+By+C>0所表示的平面区域;反之此点所在的半平面不是不等式Ax+By+C>0所表示的平面区域.一二三2.如何确定m的范围使点(1,2)和点(1,1)在y-3x-m=0的异侧?提示:由于直线y-3x-m=0将平面分成两部分,在它同一侧的区域内所有的点的坐标代入y-3x-m中所得的代数式符号相同,因此要使两点在它的异侧,则将两点坐标代入后所得代数式的符号相异,由此得到关于m的不等式,解之即可.把(1,2)和(1,1)代入y-3x-m所得到的两个代数式的值异号即可,于是(-1-m)(-2-m)<0,即(m+1)(m+2)<0,解得-2<m<-1.故所求m的范围为-2<m<-1.一二三3.做一做:已知一直线l的方程为ax+by=0(a,b不同时为零),点P1(x0,y0),P2(2x0,2y0),则(

)A.点P1,P2分别在l的两侧或在l上B.点P1,P2均在l的同侧或在l上C.点P1,P2分别在l的两侧,不可能在l上D.点P1,P2均在l上解析:若ax0+by0=0,则2ax0+2by0=0,此时P1和P2都在直线l上,否则,一定有ax0+by0与2ax0+2by0同号,故选B.答案:B一二三三、二元一次不等式组表示的平面区域【问题思考】

1.填空:在平面直角坐标系中,二元一次不等式组表示的平面区域就是这个不等式组中每个二元一次不等式表示的平面区域的公共部分.2.平面区域的边界有时为实线,有时为虚线,它们有什么区别?提示:边界为实线时表示包括边界,对应的不等式含有等号;边界为虚线时表示不包括边界,对应的不等式不含等号.一二三3.你能画出|x|+|y|≤1对应的平面区域吗?一二三思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里打“√”,错误的打“×”.(1)点(1,1)是不等式2x-3y+1>0的解.(

)(2)是二元一次不等式.(

)(3)当B>0时,不等式Ax+By+C<0表示直线Ax+By+C=0的下方区域;当B<0时,不等式Ax+By+C<0表示直线Ax+By+C=0的上方区域.(

)(4)由三个二元一次不等式构成的二元一次不等式组表示的区域是一个三角形区域.(

)答案:(1)×

(2)×

(3)√

(4)×探究一探究二探究三探究四思想方法当堂检测二元一次不等式表示平面区域【例1】

(1)由不等式3x+2y+6≤0表示的平面区域(阴影部分)是(

)(2)画出不等式2x+y-4>0表示的平面区域.(1)答案:D(2)解:先画直线2x+y-4=0(画成虚线).取原点(0,0)代入2x+y-4得2×0+0-4=-4<0,所以原点不在2x+y-4>0表示的平面区域内,不等式2x+y-4>0表示的区域如图中的阴影部分.探究一探究二探究三探究四思想方法当堂检测反思感悟二元一次不等式Ax+By+C>0(或Ax+By+C<0)表示的平面区域一定是直线Ax+By+C=0的某一侧.要断定究竟是哪一侧,可以取直线Ax+By+C=0某侧的一点,将它的坐标代入不等式,如果不等式成立,那么这一侧就是该不等式表示的平面区域;如果不等式不成立,那么直线的另一侧就是该不等式表示的平面区域.如果直线不通过原点,一般取原点(0,0)来进行判断.探究一探究二探究三探究四思想方法当堂检测变式训练1(1)已知点P1(0,0),P2(1,1),,则在3x+2y-1≥0表示的平面区域内的点是

.

(2)在平面直角坐标系中,画出下列二元一次不等式表示的平面区域.①x-y+1>0;②x+2y-4≤0.探究一探究二探究三探究四思想方法当堂检测(1)答案:P2,P3(2)解:①画出直线l1:x-y+1=0(虚线),取原点O(0,0)代入x-y+1,得1>0,不等式成立.所以O(0,0)在x-y+1>0表示的平面区域内,故x-y+1>0表示的平面区域就是直线l1右下方的区域.画出区域如图①所示的阴影部分(不包括直线l1上的点).②画出直线l2:x+2y-4=0(实线).取原点O(0,0)代入x+2y-4,得-4<0,不等式成立.所以x+2y-4≤0表示的平面区域是直线l2及其左下方的区域.画出区域如图②所示的阴影部分(包括直线l2上的点).探究一探究二探究三探究四思想方法当堂检测二元一次不等式组表示平面区域

将(1,0)代入①②③的左边.根据“异号下”的规则,不等式①表示的平面区域在直线x-y=0的下方,不等式②表示的区域在直线x+2y-4=0的下方.根据“同号上”的规则,不等式③表示的平面区域在直线y+2=0上方.故不等式组表示的平面区域如图中的三角形阴影(不包括边界).探究一探究二探究三探究四思想方法当堂检测反思感悟1.在画二元一次不等式组所表示的平面区域时,应先画出每个不等式表示的区域,再取它们的公共部分即可,其步骤为:(1)画线;(2)定侧;(3)求“交”;(4)表示.2.有些不等式可等价地转化为二元一次不等式组来解决.探究一探究二探究三探究四思想方法当堂检测画出不等式(x+2y+1)(x-y+4)≤0表示的平面区域.解:此不等式可转化为

分别画出这两个不等式组所表示的平面区域,这两个平面区域的并集即为所求的平面区域,如图所示(阴影部分).探究一探究二探究三探究四思想方法当堂检测根据平面区域写出二元一次不等式(组)【例3】将下面图中的平面区域(阴影部分)用不等式表示出来.思路分析:观察图形,先写出边界直线,并确定虚实,再写出不等式.探究一探究二探究三探究四思想方法当堂检测解:(1)易知直线方程为x=-1,图中阴影部分的点的横坐标都小于-1,故不等式为x≤-1.(3)易知直线斜率为1,过点(1,0),其方程为y=x-1.因为0>0-1且原点在阴影部分中,故阴影部分可用不等式y>x-1,即x-y-1<0表示.探究一探究二探究三探究四思想方法当堂检测反思感悟根据平面区域写二元一次不等式的方法与步骤第一步:确定直线方程,根据平面区域(阴影部分)的边界与两坐标轴的交点确定直线方程;第二步:在阴影部分中取特殊点确定不等号的方向,写出对应平面区域的二元一次不等式.探究一探究二探究三探究四思想方法当堂检测变式训练2如下图所示,求△PQR内任一点(x,y)满足的关系式.解:易得直线PQ的方程为x+2y-5=0;直线QR的方程为x-6y+27=0;直线RP的方程为3x-2y+1=0.探究一探究二探究三探究四思想方法当堂检测平面区域内的整点问题

解析:画出不等式组表示的平面区域,如图所示(阴影部分,不含x轴和y轴).从图形可以看出区域内点的横坐标在区间(0,3)内,取x=1,2,当x=1时,区域内的整点有(1,1),(1,2).当x=2时,区域内的整点有(2,1).共3个.答案:3探究一探究二探究三探究四思想方法当堂检测反思感悟求不等式组所表示的平面区域内的整点坐标常有两种方法:(1)先确定区域内横坐标的范围,确定x的所有整数值,通过x的值再确定y相应的整数值;(2)网格法求整点,此法关键是作图要准确.探究一探究二探究三探究四思想方法当堂检测利用数形结合思想解决平面区域问题中的参数问题探究一探究二探究三探究四思想方法当堂检测解析:答案:C探究一探究二探究三探究四思想方法当堂检测方法点睛1.本典例所体现的主要数学思想是数形结合思想.具体来说,即用图示的方法来解决有关二元一次不等式(组)的问题.2.若不等式组中含有参数,画平面区域时要明确参数的位置,并可适当地对参数有针对性地赋值,进而方便快捷作图.画出平面区域后再解决有关相对位置或面积等问题.探究一探究二探究三探究四思想方法当堂检测变式训练已知直线l:ax+by+c=0(a,b不同时为0,c<0),点P(x0,y0)和坐标原点位于直线l同侧,求点P到直线l的距离.解:由题意得(ax0+by0+c)·c>0,因为c<0,所以ax0+by0+c<0,探究一探究二探究三探究四思想方法当堂检测1.(x-2y+1)(x+y-3)<0表示的平面区域为(

)答案:C探究一探究二探究三探究四思想方法当堂检测解析:(x-y+5)(x+y)≥0据题意作出不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示.故选C.答案:C探究一探究二探究三探究四思想方法当堂检测3.若点P(m,3)到直线4x-3y+1=0的距离为4,且点P在不等式2x+y<3表示的平面区域内,则m=