安徽省淮北市2025-2026学年上学期高二年级元月素质检测数学试题(含解析)

2024级高二年级元月素质检测

数学试题考生注意：1.试卷分值：150分，考试时间：120分钟。2.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答案区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。3.所有答案均要答在答题卡上，否则无效。考试结束后只交答题卡。一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求。1.直线3x+3A.30° B.60°C.120° D.150°2.经过点A(−3,2)，B(4,4)的直线的两点式方程为（A.y−22=C.y+22=3.在空间直角坐标系中，直线l的方向向量m=(1,0,2)，点A(0，1，0)在直线l上，点B(−1，2，3)A.5 B.6C.7 D.24.将直线3x−y+a=0向上平移1个单位，所得直线与圆A.5或−15B.−5C.3或−17D.−35.已知椭圆x26+y2A.2 B.5或7 C.5 D.2或106.等差数列{an}前n项的和为Sn，已知am−1+A.7 B.8 C.9 D.107.已知F1，F2是双曲线C:x2a2−y2b2=1(A.102 B.C.10 D.58.过抛物线x2=4y焦点F的直线与抛物线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，lA.4 B.8 C.16 D.32二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列计算正确的是（

）A.若f(x)=(B.若f(x)=C.若f(x)=D.若f(x)=10.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的体积为8，线段CC1，BC的中点分别为E，F，动点G

A.三棱锥H−DEFB.动点G的轨迹长度为5C.不存在点G，使得EG⊥平面D.四面体DEFG体积的最大值为1511.已知抛物线C:y2=2px的焦点为F，点A(8,8)在抛物线上，过点F作直线交抛物线于A.|MNB.以线段MN为直径的圆与直线x=−2C.当MF→=2D.OM三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知f'(x)是f(x)的导函数，且13.已知等差数列{an}的公差为d(d>0)，且满足2a14.在平面直角坐标系xOy中，射线l1:y=x(x≥0)，l2:y=0(x≥0)，半圆四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.（本题满分13分）已知圆E过三点A(3,−1)，B(1,1)，（1）求圆E的标准方程；（2）已知直线ax+by+c=0与圆E相交于M，N16.（本题满分15分）如图，在四棱台ABCD−A1B1C1D1中，A（1）若AD⊥BB1，证明：（2）若AD⊥AC，CD=7，17.（本题满分15分）已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为6（1）求椭圆E的标准方程；（2）若弦MN的中点的纵坐标为12，求∆（3）若PM→·PN18.（本题满分17分）已知数列{an}的首项a1=1（1）求证：{a（2）求数列{an}的前n（3）令bn=n19.（本题满分17分）已知双曲线C:x2a2−y2b（1）求双曲线C的标准方程。（2）C的左、右焦点分别为F1，F2，若过F1的直线与C交于A，B两点，直线AF2（i）证明：直线BP过定点；（ii）当A，B两点均在C的左支上时，直线BF2与l交于点Q，直线BP与直线AQ交于点D，求2024级高二年级元月素质检测

参考答案、提示及评分细则题号1234567891011答案CABDBDACACACDBCD一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求。1.【答案】C【解答】解：直线的斜率为k=tanα=−3，由直线的斜率与倾斜角的关系可知，2.【答案】A【解答】解：因为直线经过点A(−3,2)，B(4,4)，所以由方程的两点式可得直线方程为y−23.【答案】B【解答】解：由直线l的方向向量为m=(1,0,2)，可得直线l的单位方向向量u=m|m|=554.【答案】D【解答】解：直线3x−y+a=0沿化圆x2+y2−2x+6则|3+3+a+1|10=10，即|5.【答案】B【解答】解：因为椭圆x26+y2k=1的焦距为2，若椭圆的焦点在x轴上，则26−k=2，解得k=56.【答案】D【解答】解：由等差数列的性质，知am−1+am+1−3am2=27.【答案】A【解答】解：因MF1⊥MF2，且sin∠MF1F2=1010即3105c−105c=2a8.【答案】C【解答】解：易知点A处的切线方程为x1x=2(y+y1联立{y=x12(x−x由韦达定理得x2+x3=2x1，设E因为kAB=y2−整理得4y−(x1+粗疏直线l的方程可化为y=即x1x−2S=|x当且仅当y1=1时，等号成立，所以∆ABD二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.【答案】AC【解答】解：f(x)=(x2−3f(x)=cosπ3f(x)==−1(sinxf(x)=2x+10.【答案】ACD【解答】解：对于选项A，依题意，EF∥BC∥AD1，而AD故AD∥平面DEF，则点H到平面DEF故三棱锥H−DEF的体积为定值，故选项A正确；对于选项B，因为AA12=8，故AA故C1故动点G的轨迹为以C1为圆心，3为半径的圆在底面A故所求轨迹长度为14×2π对于选项C，以C1为坐标原点C1D1，C1B1，C则D(2,0,2)，E(0,0,1)，F(0,1,2)，故DE设n→=(x,y得{y+z=0−2x−设G(x0,y0,0)(x0≥0,y解得x0=12，y0对于选项D，因为∆DEF为等腰三角形，故S面点G到平面DEF的距离d=令x0=3则d=3cosθ则四面体DEFG体积的最大值为13×311.【答案】BCD【解答】解：因为点A(8,8)在抛物线上，所以82=2则抛物线C的方程为y2=8x，焦点F(2,0)，设直线联立{x=ty+2y2=8由韦达定理得y1+y2=8当且仅当t=0时，等号成立，故选项A错误；由抛物线的定义知|因为MN的中点横坐标为x1+x22，所以MN的中点与直线x即为|MN|的一半，所以以线段MN为直径的圆与直线x=−2若MF→=2FN→且y1>0>y2，此时所以y1+y2=8则|MN|=x因为OM→·ON三、填空题：本大题共\（3\）小题，每小题\（5\）分，共\（15\）分。12．【答案】−6．【解答】解：由已知可得limΔx13．【答案】3n【解答】解：等差数列{an}的公差为d(d则a1=1，a2·aan14．【答案】−【解答】解：将半圆依次沿着y=x，x=0光线在镜面发生反射可以等效处理为：光线进入了镜子后的空间，因此问题就转化为光线如何与镜子内外的圆没有交点，光线变化的范围如图所示，当光线与(x−4)由对称性可知当光线遇射线l1时反射光线若与(则入射光线所在直线为x=1与圆x当光线与圆x2+(y−4)此时tanθ=14，所以光线斜率为当光线与(x+4)所以由图可知k的取值范围是−15四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.【解答】解：（1）设圆的方程为x2由点A(3,−1)，B(1,1)，C(−1,−5)在圆上，可得{9+1+3C则圆的方程为x2+y（2）由（1）可得：圆心E(0,−2)，半径r由a+c=b，即a−由圆心E到定点A(1,−1)的距离(0−1则定点A(1,−1)在圆E内，易知当AE⊥MN时，MN16.【解答】解：（1）证明：在∆ABC中，AC=2，BC=1由正弦定理得2sin∠ABC=1sinπ因为AA1⊥平面ABCD，AD⊂平面又AD⊥BB1，AA1与BB所以AD⊥平面ABB1A1，又AB⊂平面又AD⊂平面ADD1A1，BC⊄平面（2）结合（1）可得AB=3，根据AC=2，CD可得AD=CD2−所以AA1=32，A1C1=故以A为坐标原点，AC，AD，AA1所在直线分别为x，y，则C(2,0,0)，C1(1,0,32)，D(0,3,0)，B(32,-32,0) 10分所以C1C→=(1,0,−3设平面BCC1B1的法向量为m=(即{x−32z=012x+32y=0，取x=3，则m=(3,-1,2) 11分设平面CC1D1D的法向量为n=(a取a=3，则n=(3,2,2) 12分设二面角B-CC1-D的大小为θ，则cosθ=|m·n||m|·|n|=|3-2+4|8×11=52244 14分因此二面角B-CC1-D的正弦值为1-cos2θ=1-(52244)2=315444 15分17.【解答】解：（1）由题意可得{ca=633a2+1b2=1a2=b2+c2，解得{a=6b=2c=2，∴椭圆方程为x26+y22=1 3分（2）∵弦MN的中点的纵坐标为12，∴直线l设直线l:y=kx+设M(x1,y1)，N(x2,y2)，由韦达定理可得{x1+x2=−6km1+3k2x1x2=3m2−61+3k2 5分Δ=36∵弦MN的中点的纵坐标为12，∴y1∵|MN|=1+k2·Δ1+3k2=231+k2·6k2+2-m21+3k2 7分由点到直线的距离公式可得O到直线MN的距离dO∴S∆MON=12|MN|·dO-MN=34m-m22=3-(m-2)2+42 8分由∆=12(6k2−m2∴当m=2即k=±1时，S∆MON取得最大值3 9分（3）证明：∵PM→·即x1x2-3(x1+x2)+3+y1y2-(y1+y2)+1=0(*) 10分∵y1+代入(*)式，得(1+k2)x1x2+(km-k-3)(x1+x2)+m2-2m+4=0 11分即(1+k2)即(3k+m-1)(3k+2m+1)=0，∴m=1-3k或m=-1-3k2 12分当m=1−3k时，则直线l当m=-1-3k2时，则直线l:y=k(x-32)-12，此时直线过定点(32,-12) 13分当直线斜率不存在时，直线x=32交椭圆于M(32,72)，N(32,-72) 14分此时PM→∴直线l过定点(32,-12) 15分18．【解答】解：（1）证明：数列{an}的首项a1=1，an+an+1=4×3n 2分可得an+1-3n+1=4×3n-an-3n+1=-(an-3n)，且a1-3=-2 3分可得{an-3n}是首项为-2，公比为-1的等比数列 4分（2）由（1）可得an−3n=2(−1（3）bn=n3an-2×(-1)n=n33n，则bn+1-bn=(n+1)33n+1-n33n=-2n3+3n2+3n+13n+1 10分当1≤n≤2时，可得b1<b2<b3 12分当n≥3时，bn+1−bn<0，即有b3>b4>b5>⋯>bn 14分则数列{bn}的最大项为b3=1 17分19.【解答】解：（1）由于x=−aa2+b2<0因此2+aa2+b根据题意可知4a将3a2=b2代入上式，可得双曲线方程4因此C:（2）（ⅰ）证明：根据第一问可知，F1(−2,0)，F2当直线AB与x轴不重合时，设AB:x=my−2联立双曲线方程可得{x=my那么结合根的判别式可得，{3