江苏省镇江市第一中学、镇江中学等2025-2026学年高三上学期1月四校联考数学试题(含解析)

江苏省镇江市第一中学、镇江中学等第一批次学校2026届高三上学期1月学情调研（四校联考）数学试题注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将答题卡上交.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={x|xA.{0,1,2,3} B.{0,1,2}C.{1,2,3} D.{1,2}2.已知i为虚数单位，复数z=(1+i)·i，则其共轭复数A.−i B.C.−1 D.13.已知f(x)=cos(x+φA.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.数列{an}是各项均为正数的等比数列，数列{A.a3+aC.a3+a5.若|a|=2，|b|=1，|c|=A.1 B.2C.3 D.36.已知∆ABC的内角A，B，C满足1−cos2A.sinB.∆ABCC.aD.∆ABC7.已知函数f(x)=e−x−eA.a<1 B.C.a>1 D.8.已知O为坐标原点，F为抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点，点M−p2,0，点A.x=−2 B.C.x=−1 D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分9.已知logb2026>logA.0.B.1C.lnbD.若m>0，则10.某班要举办一次学科交流活动，现安排A，B，C，D，E这五名同学负责语文、数学、英语、物理学科相关工作.则下列说法中正确的是（

）A.若这五人每人任选一门学科，则不同的选法有54B.若每人安排一门学科，每门学科至少一人，则有240种不同的方案C.若数学学科必须安排两人，其余学科安排一人，则有60种不同的方案D.若每人安排一门学科，每门学科至少一人，其中A不负责语文且B不负责数学工作，则有138种不同的方案.11.如图，在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面边长AB=2，侧棱长AA1

A.动点P的轨迹长度为π2B.当B1P∥平面A1C1C.直线C1P与底面ABCDD.二面角P−A三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知二项式(x+213.已知圆C：[x−(a−2)]2+(y−3a)2=16，定直线14.设函数f(x)和g(x)的定义域为D，若存在非零实数c∈D，使得上具有性质P.现有下列三组函数：①f(x)=x，g(x)=x2；②其中具有性质P的是

¯四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在锐角∆ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.且cos（1）求角B的大小；（2）求cosA+16.如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=CD=12AD=2（1）证明：平面PAC⊥平面ACD（2）若M为PD上的一点，点P到平面ACM的距离为255，求二面角17.正项数列{an}的前n项和（1）求数列{an}（2）令bn=n+1(n+2)2an18.在直角坐标系xOy中，动点Q到直线l:x=−4的距离与到点F(−1,0)的距离之比为2，动点（1）求曲线C的方程；（2）P是直线l上一点，过点P作曲线C的两条切线PA、PB，切点为A、B，求tan∠19.已知函数f(x)=x（1）令g(x)=（2）令h(x)=f(（i）求a的取值范围；（ii）若方程xex−a(lnx+x)=0参考答案题号1234567891011答案DCCBDBDAACBCDAC1.A={x|0<2.z=(1+i)·i=−1+i，则有3.若f(1)+f(−1)=0，则cos(1+φ)+cos(−1+φ)=0，所以cos(1+φ)+cos(−1+φ)=2cosφcos1=0，且cos1≠0，则cosφ=0，即φ=π24.∵an=a1qn−1，bn=b1+(5.|a+b|2=(a+b)2=a6.1−cos2Asin2A=2sin2A2sinAcosA=sinAcosA=1−sinBcosB，sinAcosB=cosA(1−sinB)，cosA=sinAcosB7.令g(x)=f(x)−5=e−x−ex−3x3−5x，∴g(−x)=e8.由题知C的准线过点M，如图，过点P作C的准线的垂线，垂足为Q，由抛物线的定义可知|PQ|=|PF|，则由|PM|=2|PF|可知|PQ||PM|=|PF||PM|=22，∴9.由logb2026>loga2026>0及换底公式ln2026lgb>lg2026lga>0，∴0<lgb<lga，∴1<b<a，又y=0.2x单调递减，故0.2a<0.2b，A正确；由1<b<a得a2>b210.这五人每人任选一门学科，则不同的选法有45种，故A错误；根据若每人安排一门学科，每门学科至少一人，我们把这五人分成四组共有C52=10种方法，再将这四组人去负责四个学科相关工作共有A44=24种，有10×24=240种不同的方案，故B正确；若数学学科必须安排两人，则有C52=10种方法，其余学科各安排一人共有A33=6种，有10×6=60种不同的方案，故C正确；“每人安排一门学科，每门学科至少一人”的总方案数为240（同选项B），需排除“A负责语文”或“B负责数学”的情况，用容斥原理计算：情况1：A负责语文，A固定在语文，剩余4人分配到4科（每科至少1人），分2种子情况：①语文为“2人组”（A+1人）：选1人加入语文（C41），剩余3人分配到其他3科（A33），方案数：C41×A33=4×6=24；②语文为“1人组”（仅A）：先B、C、D、E分为三组(2,1,1)，有C42种方法，再将三组分到数学、英语、物理，有A33种方法，故总的方法数为：C42×A11.因为AA1∥BB1且A1P与BB1所成角为30°，所以A1P与AA1所成角也为30°.又AA1⊥AP，∴AP=AA1·tan30°=1.又P在底面ABCD内，∴P的轨迹为以A为圆心，1为半径的圆周的四分之一，长度为14×2π×1=π2故选项A正确；当B1P∥平面A1C1D时，B1到平面A1C1D的距离即为B1P与平面A1C1D当P在线段AB上时，AP=1，BP=2−1，因为∆A1C1D是等腰三角形，所以取A1C1中点O，连接OD，则OD⊥A1C1。过P作PM∥A1C1交BC于点M，分别连接A1P，C1M，则A1P=C1M=2，故四边形A1PMC1是等腰梯形，取PM中点N12.Tr+1=C5r(x)5−r·(213.圆心C坐标为(a−2,3a)，半径r=4。令x=a−2，y=3a，消去参数a可得，y=3(x+2)，所以圆心C在直线y=3(x+2)上运动。因为直线l被圆C截得的弦长始终为定值，结合弦长公式可知，圆心到直线l的距离为定值。因此直线l应与圆心轨迹直线平行。又直线l经过点14.对于①：函数f(x)=x和g(x)=x2定义域均为ℝ，且存在x=−1使得f(−1)+g(−1)=−1+(−1)2=0，所以函数f(x)和g(x)在ℝ上具有性质P；对于②：函数f(x)=2−x和g(x)=−ex定义域均为ℝ，如图，函数y=2−x与y=−2−x图象关于x轴对称，y=−2−x与−ex图象只有一个交点(0,−1)，所以只存在一个实数x=0使得f(0)+g(0)=0，所以函数f(x)和g(x)在ℝ上不具有性质P；对于③：f(x)=15.（1）因为cos2C=所以sin2B=sin因为B∈(0,π（2）cosA=−因为∆ABC为锐角三角形，且B=π所以C∈π6,所以cosA+cosB+16.（1）在梯形ABCD中，取AD中点N，连接CN，∵BC∥AD，BC=AN平行四边形，∴AB∴CN=1∵PA⊥CD，PA∩AC=A，PA，AC∵CD⊂平面ACD，∴平面PAC⊥（2）分别取AC，AD中点O，G，连接PO，OG，∵PA=PC，OAC，又平面PAC⊥平面ACD，平面PAC∩平面ACD=AC，∴PO⊥平面ACD，∵O，G分别为AC，AD中点，∴OG∥则以O为坐标原点，OA，OG，OP正方向为x，y，z轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则P(0,0,1)，A(3,0,0)，C(−(−23,0,0)，CD=(0,2,0)，AD设DM=λDP=(3λ则{AC⋅n=−23x=0AM⋅∴点P到平面ACM的距离d=|PA·n||n|=平面ACD的一个法向量m=(0,0,1)，∴|cos⟨m，∴二面角M−AC−17.（1）因为数列{an}的前n项和Sn满足：Sn2−(n2+n−1)Sn−(所以S1=2，因为Sn解得Sn=n2+n或当n≥2时，有an=当n=1时，a1=S1=2，符合（2）因为bn=n所以数列{bn}的前nT=当n∈N∗时，有518.（1）设动点Q的坐标为(x,y)，因为动点Q到直线l:可得|x+4|(（2）设点P(−4,t)y=联立方程组：{y(4k由Δ=64t2−3=0，设两条切线的斜率分别为k1，k2，则则tan∠APB=k1−k19.（1）因为f'(x)=1−2lnx则g'(x)=x−2x，g(x)在区间(0,2)，g递增区间为(2,+∞)，极小值为g(2)=2−2（2）（i）h(x)=①当a≤0时，h'(x)>0②当a>0时，令h'(x