高考数学 第二章　§2.2　函数的单调性与最值

第二章§2.2函数的单调性与最值数学

大一轮复习1.借助函数图象,会用数学符号语言表达函数的单调性、最值,理解实际意义.2.掌握函数单调性的简单应用.课标要求课时精练内容索引第一部分落实主干知识第二部分探究核心题型落实主干知识第一部分1.函数的单调性(1)单调函数的定义

增函数减函数定义一般地,设函数f(x)的定义域为D,区间I⊆D,如果∀x1,x2∈I当x1<x2时,都有

,那么就称函数f(x)在区间I上单调递增,特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递增时,我们就称它是增函数当x1<x2时,都有

,那么就称函数f(x)在区间I上单调递减,特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递减时,我们就称它是减函数f(x1)<f(x2)f(x1)>f(x2)

增函数减函数图象描述

自左向右看图象是

的

自左向右看图象是

的上升下降(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间I上

或

,那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间I叫做y＝f(x)的单调区间.单调递增单调递减2.函数的最值前提一般地,设函数y＝f(x)的定义域为D,如果存在实数M满足条件(1)∀x∈D,都有

；(2)∃x0∈D,使得_________(1)∀x∈D,都有

；(2)∃x0∈D,使得_________结论M是函数y＝f(x)的最大值M是函数y＝f(x)的最小值f(x)≤Mf(x)≥Mf(x0)＝Mf(x0)＝M

××√×2.下列函数中,在区间(0,＋∞)上单调递增的是A.y＝－x＋1 B.y＝(x－1)2C.y＝|lnx| D.y＝x√

√

微点提醒2.解题时谨防以下易误点(1)单调区间只能用区间表示,不能用不等式表示.(2)求函数单调区间或讨论函数的单调性时,必须先求函数的定义域.(3)一个函数的同一种单调区间用“和”或“,”连接,不能用“∪”连接.(4)“函数的单调区间是M”与“函数在区间N上单调”是两个不同的概念,显然N⊆M.返回微点提醒探究核心题型第二部分

√确定函数的单调性题型一命题点1函数单调性的判断√√

命题点2利用定义证明函数的单调性

确定函数单调性的四种方法(1)定义法.(2)导数法.(3)图象法.(4)性质法.思维升华

√

函数单调性的应用题型二命题点1比较函数值的大小√

命题点2求函数的最值

(1)配方法：主要用于和一元二次函数有关的函数求值域问题.(2)单调性法：利用函数的单调性，再根据所给定义域来确定函数的值域.(3)数形结合法.(4)换元法：引进一个(几个)新的量来代替原来的量，实行这种“变量代换”.(5)分离常数法：分子、分母同次的分式形式采用配凑分子的方法，把函数分离成一个常数和一个分式和的形式.求函数的值域(最值)的常用方法微拓展

√√√对于A，(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由x∈[0，3)，再结合函数的图象(如图①所示)，可得函数的值域为[2，6).

例5

(2025·湖州模拟)已知函数f(x)＝ex－e－x,则使f(|x|)<f(－3x2＋4)成立的实数x的取值范围是A.(－1,0) B.(－1,＋∞)C.(－1,1) D.(1,＋∞)命题点3解函数不等式√函数y＝ex为增函数,函数y＝e－x为减函数,所以函数f(x)＝ex－e－x为增函数,所以f(|x|)<f(－3x2＋4)⇔|x|<－3x2＋4,即3|x|2＋|x|－4<0,(|x|－1)(3|x|＋4)<0,得0≤|x|<1,解得－1<x<1,所以实数x的取值范围为(－1,1).命题点4求参数的值(范围)

√

(1)比较函数值的大小时,先转化到同一个单调区间内,然后利用函数的单调性解决.(2)求解函数不等式时,由条件脱去“f”,转化为自变量间的大小关系,应注意函数的定义域.(3)利用单调性求参数的取值(范围).根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降,再结合图象求解.对于分段函数,要注意衔接点的取值.思维升华

[1,2)

√√

返回课时精练对一对答案1234567891011121314题号12345678答案CCBCCACDBCD题号9101314答案f(x)=-x(答案不唯一)ACD(-∞，0]

(2，4]答案1234567891011121314

11.答案1234567891011121314

11.答案1234567891011121314

12.答案1234567891011121314

12.

√1234567891011121314知识过关答案1234567891011121314答案

1234567891011121314答案2.已知f(x)＝2x＋x,则“f(x1)＝f(x2)”是“x1＝x2”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件√因为函数y＝2x,y＝x在R上为增函数,则函数f(x)＝2x＋x在R上为增函数,则“f(x1)＝f(x2)”可以推出“x1＝x2”,“x1＝x2”也可推出“f(x1)＝f(x2)”,故“f(x1)＝f(x2)”是“x1＝x2”的充要条件.

√1234567891011121314答案

√1234567891011121314

答案

√1234567891011121314答案1234567891011121314

答案

√1234567891011121314答案1234567891011121314

答案

1234567891011121314√答案√

1234567891011121314答案充分性：当a≥1时,因为－1≤sin

x≤1,由f(x)为增函数,所以f(a2)≥f(sin

x),故充分性成立；必要性：由f(x)为增函数,当f(a2)≥f(sin

x)恒成立时,因为－1≤sin

x≤1,所以a2≥1,解得a≥1或a≤－1,故必要性不成立,综上可知“a≥1”是“f(a2)≥f(sin

x)”的充分不必要条件,故D正确.1234567891011121314答案

√1234567891011121314答案√√1234567891011121314

答案1234567891011121314

答案1234567891011121314

答案

1234567891011121314答案

1234567891011121314答案

10.柯西(Cauchy,1789—1857)是著名的法国数学家.我们把函数方程f(x＋y)＝f(x)＋f(y)称为柯西方程,满足该方程的函数f(x)称为“加性函数”.请写出一个在R上单调递减的加性函数

.

1234567891011121314答案f(x)＝－x(答案不唯一)设f(x)＝－x,在R上单调递减.f(x＋y)＝－x－y,f(x)＝－x,f(y)＝－y,满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y).所以函数f(x)＝－x是在R上单调递减的加性函数.

1234567891011121314答案1234567891011121314答案

(2)求函数f(x)在区间[3,6]上的最大值和最小值.1234567891011121314答案

1234567891011121314答案

(2)若f(2)＝1,解不等式f(x＋2)－f(2x)>2.1234567891011121314答案1234567891011121314答案

1234567891011121314答案