2025届北京市清华大学中学高考压轴卷：数学试题试卷

2025届北京市清华大学中学高考压轴卷：数学试题试卷

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

2

1.若z=l-i+(,贝心的虚部是

A.3B.-3C.3iD.-3i

2.已知复数z满足(z-i)(T)=5,则2=()

A.6/B.-6zC.-6D.6

3.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物

不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二.问物几何？现有这样一个相关

的问题：将1到2020这2020个自然数中被5除余3且被7除余2的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，

则该数列各项之和为()

A.56383B.57171C.59189D.61242

4.已知抛物线4)，上一点A的纵坐标为4,则点A到抛物线焦点的距离为()

A.2B.3C.4D.5

5.已知向量2=(1,g),R是单位向量，若口一万卜百，则(词=()

兀71广兀,2汽

A.-B.—C.—D.—

6433

x+y<2

6.已知变量x,丁满足不等式组卜一)，41,则2x-y的最小值为()

x>0

A.-4B.-2C.0D.4

7.要得到函数y=2sin(2x+j］的图象，只需将函数y=2cos2x的图象

A.向左平移二个单位长度

B.向右平移二个单位长度

C.向左平移［个单位长度

6

D.向右平移Z个单位长度

O

8.如图在直角坐标系xOy中，过原点。作曲线y=f+1(x20)的切线，切点为尸,过点尸分别作工、y轴的垂线,

垂足分别为A、B，在矩形OAP3中随机选取一点，则它在阴影部分的概率为()

1

-D-

4・2

9.已知定义在R上的奇函数，工)和偶函数g*)满足/(©+«*)=优一，L+2(。>0且awl),若g(2)=〃，则

函数/(x2I2x)的单调递增区间为()

A.(-1,1)B.(-co,l)C.(L-KO)D.(-1,-KO)

10.在边长为2的菱形ABC。中，BD=2C，将菱形A5c。沿对角线AC对折，使二面角B-若C—的余弦值为

则所得三棱锥A-BC力的外接球的表面积为()

2

A.—B.2乃C.4乃D.67r

3

11.己知集合4=卜,2-3为一4＞()}]={41＜工＜3},贝iJ(QA)nb=()

A.(-1,3)B.[-1,3]

C.D.(-1,4)

12.己知〃：|x+l|>2,q:x>at且力是F的充分不必要条件，则。的取值范围是()

A.a<\B.a<-3C.a>-\D.a>\

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知集合4=卜|0"<1},笈=词。-1W},若猛△中有且只有一个元素，则实数〃的值为

14.在平面直角坐标系xO.y中，曲线)，二-在点夕(%,泊)处的切线与x轴相交于点A,其中e为自然对数的底数.

若点3(M,0),仙四8的面积为3,则,％的值是

15.在AA3C中，己知49=3,AC=2,F是边BC的垂直平分线上的一点，则前.衣=

16.若奇函数/*）满足/（x+2）=-/（x）,#3为K上的单调函数，对任意实数X£R都有g[g（x）-2'+2]=1,

当时，/（x）=g（x）,则/（唾212）=.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）已知等差数列｛%｝中，%=5,%=14,数列出｝的前〃项和5；=22-1.

⑴求明也；

（2）若cn=a”,求｛%｝的前〃项和小

18.（12分）已知函数/（力二（1一2）-—〃卜一1）2,其中々£11*（力=X一1g.

（1）函数/（"的图象能否与X轴相切?若能，求出实数若不能，请说明理由.

⑵若/心）=/（X）-g（X）在X=1处取得极大值，求实数a的取值范围.

19.（12分）设函数/（x）=or-3+l）ln（x+l）.

（1）〃=1时，求f（力的单调区间;

（2）当”>0时，设“X）的最小值为g（〃），若g（。）〈/恒成立，求实数f的取值范围.

11

x=—+—COSCZ,

42

20.（12分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是是参数），以原点为极点，x轴的正

x/31

y=——+—sintz

*42

半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求曲线C的极坐标方程；

（2）在曲线。上取一点“，直线OM绕原点。逆时针旋转?，交曲线。于点N,求|OM|“OV|的最大值.

8

X=---

21.（12分）在平面直角坐标系X。），中，直线/的参数方程为]21（/为参数）.以坐标原点。为极点，x轴的正

半轴为极轴建立极坐标系，曲线。的极坐标方程为夕=2sin0.

（1）求直线/的普通方程与曲线。的直角坐标方程；

（2）若射线。=f（p>0）与/和C分别交于点A3,求|A8|.

4

22.（10分）已知数列｛。〃｝满足4=5,且4=爷+芯4〃N2,“£N*）.

故选：c

【点睛】

本题考查等差数列的应用，属基础题。

4.D

【解析】

试题分析：抛物线d=4y焦点在）,轴上，开口向上，所以焦点坐标为（0,1）,准线方程为因为点A的纵坐

标为4,所以点A到抛物线准线的距离为4+1=5,因为抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，所以点A与

抛物线焦点的距离为5.

考点：本小题主要考查应用抛物线定义和抛物线上点的性质抛物线上的点到焦点的距离，考查学生的运算求解能力.

点评：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，这条性质在解题时经常用到，可以简化运算.

5.C

【解析】

设坂=（.y）,根据题意求出x，＞的值，代入向量夹角公式，即可得答案；

【详解】

设〃二（苍y）,。一B=（1-x,百一y）,

,・•］是单位向量，f+y2=1,

ci—b—>/3t(1—_v)~+(\/3—yY=3,

1

X

~~2"x=1,

联立方程解得：

G",

1

X—1a

当广时，一二221；：.<a』)>=巴

)'=£2x12

2

x=1,—11一T冗

当时，cos<a,b>=；<a,b>=—

y=0,2x123

—一71

综上所述：＜a,b＞=

3

故选：C.

【点睛】

本题考查向量的模、夹角计算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时

注意万的两种情况.

6.B

【解析】

先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值.

【详解】

'x+y<2

解：由变量工，y满足不等式组|工-,画出相应图形如下:

x>0

可知点4(1,1),8(0,2),

【点睛】

本题主要考查简单的线性规划，运用了数形结合的方法，属于基础题.

7.I)

【解析】

先将y=2sin,根据函数图像的平移原则，即可得出结果.

【详解】

因为y=2sin2x+—

k6

所以只需将)，=2cos2x的图象向右平移自个单位.

6

【点睛】

本题主要考查三角函数的平移，熟记函数平移原则即可，属于基础题型.

8.A

【解析】

设所求切线的方程为产质，联立卜'°L消去)'得出关于x的方程，可得出△=(),求出女的值，进而求得

y=x-+1

切点尸的坐标，利用定积分求出阴影部分区域的面积，然后利用几何概型概率公式可求得所求事件的概率.

【详解】

设所求切线的方程为＞=则后＞0,

y=kx(k＞0)、_

联立厂/,),消去》得/一a+1=0①，由△=抬一4=0,解得k=2,

y=x~+\

方程①为f-2%+1=0,解得x=l,则点尸。,2),

-x3-x2+x||*=-,

3y3

qI

矩形QAPB的面积为£=1x2=2,因此，所求概率为P=R=:.

S6

故选：A.

【点睛】

本题考查定积分的计算以及几何概型，同时也涉及了二次函数的切线方程的求解，考查计算能力，属于中等题.

9.D

【解析】

根据函数的奇偶性用方程法求出/(x),g(x)的解析式，进而求出。，再根据复合函数的单调性，即可求出结论.

【详解】

依题意有/(x)+g(x)=ax-a~x+2,①

/(--r)+gj)=「-"+2=-/(.r)+g(x)，②

①一②得f(x)=ax-a~\g(x)=2,又因为g⑵=a,

所以。=2J(x)=2'-2T,f(x)在R上单调递增，

所以函数/(f+2x)的单调递增区间为(T+8).

故选:D.

【点睛】

本题考查求函数的解析式、函数的性质，要熟记复合函数单调性判断方法，属于中档题.

10.D

【解析】

取AC中点N,由题意得N8M)即为二面角8—AC—。的平面角，过点3作8O_LDN于O,易得点。为△AOC的

[7丫//-\2

中心，则三棱锥A—38的外接球球心在直线笈。上，设球心为。一半径为小列出方程—-r+—=r

I3JI3J

即可得解.

【详解】

如图，由题意易知AAAC与△AOC均为正三角形，取AC中点N,连接BN,DN,

则BN_LAC,ON_L4C,二即为二面角B—4C—。的平面角，

过点B作8O_LDV于。则AO_L平面ACD,

.BMC"而邛，如手，OB=R|J=手

由BN=ND=6,cos/BND=；可得ON:

.•・0'二；2。即点0为4人。。的中心，

二•三棱锥4一8CO的外接球球心在直线BO上,设球心为。I,半径为小

：.BO】=DC\=r,OO、=巫-r,

3

，席省]解叫亚

13J13J2

3

二•三棱锥A-BCD的外接球的表面积为S=44/=4乃x==6%■

2

故选：D.

(■

【点睛】

本题考食了立体图形外接球表面枳的求解，考查了空间想象能力,属于中档题.

11.B

【解析】

先由f一3N-4>0得/>4或不〈一1,再计算(QA)n。即可.

【详解】

由x2-3尤一4>0得x>4或xv-l,

A=(fO,-l)l」(4,+on),^A=[-l,4],

又8=同―1。43},.•.QA)n3=[—l,3].

故选：B

【点睛】

本题主要考查了集合的交集，补集的运算，考查学生的运算求解能力.

12.D

【解析】

“力是r的充分不必要条件”等价于“夕是P的充分不必要条件”，即q中变量取值的集合是P中变量取值集合的真子

集.

【详解】

由题意知：〃:|x+l|>2可化简为{幻[<-3或¥>1},q:x>af

所以《中变量取值的集合是〃中变量取值集合的真子集，所以〃二1.

【点睛】

利用原命题与其逆否命题的等价性，对是F的充分不必要条件进行命题转换，使问题易于求解.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.2

【解析】

利用An8中有且只有一个元素，可得可求实数。的值.

【详解】

由题意4n6中有且只有一个元素，所以。-i=i,即。=2.

故答案为：2.

【点睛】

本题主要考查集合的交集运算，集合交集的运算本质是存同去异，侧重考查数学运算的核心素养.

14.In6

【解析】

对），二廿求导，再根据点p的坐标可得切线方程，令），=（）,可得点A横坐标，由△氏3的面积为3,求解即得.

【详解】

由题，・.切线斜率％=则切线方程为）」*=1（冗一用），令），=（）,解得4=占-1,又zVHB的

面积为3,.,.SA%B=gxlxe”=3,解得.％=ln6.

故答案为：In6

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的切线，难度不大.

15.--

2

【解析】

作出图形，设点上为线段8C的中点，可得出而=（（而+/）且»=通+乔，进而可计算出丽.前的值.

【详解】

设点石为线段的中点，则砂_LBC,.•.而.BC=O，

AE=AB+BE=AB+-BC=AB+-\<AC-AB^=-^AB+ACy

2

.觉=（荏+而）•就=荏辰+炉阮=4而+砌.辰-西

宿同伞一昨一!.

故答案为：一2.

2

【点睛】

本题考查平面向量数量积的计算，涉及平面向量数量积运算律的应用，解答的关键就是选择合适的基底表示向量，考

查计算能力，属于中等题.

【解析】

根据/(1+2)=-/(月可得屈数/(火)是以4为周期的函数，令g(x)-2'+2=Z:,可求g(x)=2*I,从而可得

〃力=g(力=2T,/(log212)=-/(2-log23)代入解析式即可求解.

【详解】

令g(x)-2"2=h贝ijg(x)32-2,

由g[g(x)—2'+2]=l,则g㈤=1,

所以g㈤=%+2人—2=1,解得左=1,

所以g(i)=2'—1,

由xw[Oj]时,/(x)=^(x),

所以XE[0,1]时，/(x)=2x-l；

由/(工+2)=—/(x),所以/(x+4)=—/(x+2)=/(x),

所以函数/(x)是以4为周期的函数，

“log?12)=/(log23+log24)=/(log23+2)=/(log23-2),

又函数/(x)为奇函数，

所以/(log,12)=_/(2_log,3)=-「2"-_i]=_"

L」3

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了换元法求函数解析式、函数的奇偶性、周期性的应用，属于中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

4

2"+'〃一1,〃为偶数

n-12

17.(1)bn=2；(2)Tn

2”一三〃_工〃为奇数

22

【解析】

(a-,=a.±d=5(a.=2,.

(1)由条件得出方程组--1°，可求得的通项，当〃之2时，I-,1,可得

[%=4+4"=14[d=3

2=2%,当〃=1时，S曰=2①八,得出也｝是以1为首项,2为公比的等比数列，可求得依｝的通项；

(2)由(1)可知，%=(-1)”(3〃-1)+2“-1分〃为偶数和〃为奇数分别求得.

【详解】

=4+1=5伉=2-

(1)由条件知，①，:.an=3n-\t

a5=a｝+4J=14[d=3

当几之2时,bn=Sn-Sn_x=2btl-1-12/?,,，1-1),即2=2%,

当〃=1时，S=b[=2Z?j-1,=1,

\｛2｝是以1为首项，2为公比的等比数列，.•.〃,二2〃T；

(2)由(1)可知，=(一1)"(3〃-1)+2”-1

当〃为偶数时，7；=[(—2)+5+(—8)+-+(3〃-1)]+S“=3X]+2"-I=2'+/LI

]n

当〃为奇数时，T“=TQcn=r-'+-(/!-I)-I-(3/Z-1)+2"-=2--n--

2”+士〃-为偶数

综上，4=1qa

2“一士为奇数

22

【点睛】

本题考查等差数列和等比数列的通项的求得，以及其前〃项和，注意分〃为偶数和〃为奇数两种情况分别求得其数列

的和，属于中档题.

(e-1

18.(1)答案见解析⑵

【解析】

/W=o

(1)假设函数/(X)的图象与X轴相切于(/,0),根据相切可得方程组看方程是否有解即可;(2)求出/l(x)

小)=°

的导数，设G(x)="-L—2々1>0),根据函数的单调性及〃(x)在x=l处取得极大值求出。的范围即可.

.1

【详解】

⑴函数“X)的图象不能与X轴相切，理由若下:

/'（口="-1）--24（%-1）.假设函数/（工）的图象与“轴相切于（/,0）

"”二"即|('一2)-—。("1)“=0

则r(r)=01(r-l)?-2^(r-l)=0

显然rwl,/=2Q>0,代入（/一2）/-。（/-1）2二0中得,『-4，+5=0无实数解.

故函数/（力的图象不能与x轴相切.

(2)/?(x)=(x-2)eA-67(x-l)'+lnx-x(x>0)

/r(x)=(x-i)----2。卜⑴=0,

设G（x）="-J-2a*>0）,

6'（力二炉+3恒大于零.

.•.G（x）在（O,+8）上单调递增.

又xf田,G（x）f+oo,x40+,G（.r）—>YO

・・・存在唯一%,使G（%）=0,且

0Vxe0时G（x）<0/>玉）时G（x）>0,

①当天=1时,"（X）>0恒成立.4（6在（0,+8）单调递增，

〃（大）无极值，不合题意.

②当天<I时,可得当时,〃当X£（1,+OO）时,〃'（X）>（）.

所以力（力在（用,1）内单调递减，在（l,+oo）内单调递增，

所以力（“在X=1处取得极小值，不合题意.

③当方>1时,可得当xe（O,l）时,当时,"（x）vO.

所以力卜）在（0,1）内单调递增，在（1,%）内单调递减，

所以“⑴在X=1处取得极大值，符合题意.

此时由%>1得G(l)vG(jr0)=。即6-1一次<0,

e-\

a>

9

（）

综上可知，实数a的取值范围为1e;-1一,+8.

【点睛】

本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，属于难题.

19.（1）的增区间为（1,+8）,减区间为（一1,1）；（2）t＞o.

【解析】

（1）求出函数〃幻=奴-（〃+1）济。+1）（。＞-1）的导数，由于参数。的范围对导数的符号有影响，对参数分类，再研究

函数的单调区间；

（2）由（1）的结论，求出g（〃）的表达式，由于恒成立，故求出g（〃）的最大值，即得实数/的取值范围的

左端点.

【详解】

解：（1）解：尸（工）=。一但=^1。＞一1）,

x+1x+1

当。=1时，r（x）=—,解rw＞o得/a）的增区间为a”），

x+\

解r（r）Vo得/（"）的减区间为（一1,1）.

(2)解：若4〉0,由/'。)>。得由/'(X)V。得一1<X<L,

aa

所以函数/。)的减区间为m，增区间为(*8)；

g(a)=f(-=l-(«+l)lnf-+l\

I。J

因为4>0,所以g(a)v，，.—2vo,.—1+—Inf1+—1—<0

aaa\aJ\a)a

令〃(x)=x-(l+x)ln(l+x)-a(x>0),则/?(x)<。恒成立，

由于〃'(x)=-ln(l+x)-r,

当INO时，h\x)<0,故函数力。)在(0,+8)上是减函数，

所以以幻<〃(0)=0成立；

当fvO时，若则0＜工＜"'-1,故函数万。）在（0,/'-1）上是增函数,

即对0＜工＜"'一1时，/?(x)＞//(0)=0,与题意不符；

综上，/NO为所求.

【点睛】

本题考查导数在最大值与最小值问题中的应用，求解本题关键是根据导数研究出函数的单调性，由最值的定义得出函

数的最值，本题中第一小题是求出函数的单调区间，第二小题是一个求函数的最值的问题，此类题运算量较大，转化

灵活，解题时极易因为变形与运算出错，故做题时要认真仔细.

20.(1)p=sin|0+^|(2)最大值为之

k4

【解析】

(1)利用sir?a+cos2a=1消去参数求得曲线C的普通方程，再转化为极坐标方程.

(2)设出M,N两点的坐标，求得|OM|・|ON|的表达式，并利用三角恒等变换进行化简，再结合三角函数最值的求

法，求得1。例l“ON|的最大值.

【详解】

11

x=—+—costz,.

42i/

()由・厂消去得曲线的普通方程为/+一上工一工

1aC2->,=0-

x/31.22

y=——十—sina,

142

所以C的极坐标方程为p=^sin0+LCos0,

(2)不妨设,N(P2，0+。)，8>°，22>°，〃e[0,2»),

则

|OM|•|ON|=pg=5皿(6+看]立(6+?+?)=sin6+e卜。§6=(

—sin<9+—cos6^-cos/9

22)

6111.