第06讲 函数的图象 （高效培优讲义）（教师版）

第06讲函数的图象目录考情探究 2知识梳理 2探究核心考点 4考点一由函数解析式判断函数图象 4考点二由函数图象判断函数解析式 7考点三创新型轨迹图象问题 10考点四函数图象的变换 13考点五图象的综合应用 15三阶突破训练 20基础过关 20能力提升 23真题感知 27一、5年真题考点分布5年考情考题示例考点分析关联考点2024年全国甲卷理数，第7题,5分函数图象的识别指数函数及正弦函数图象的应用二、命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的命题载体内容，通常会结合其他知识点考查，需要掌握函数的基本性质，难度中等偏下，分值为5分【备考策略】1.掌握基本初等函数的图象特征，能熟练运用基本初等函数的图象解决问题2.能熟练运用函数的基本性质判断对应函数图象3.能运用函数的图象理解和研究函数的性质【命题预测】本节内容通常考查给定函数解析式来判断所对应的图象，是新高考复习的重要内容知识点1函数图象的定义及描点法作图将自变量的一个值x0作为横坐标，相应的函数值f(x0)作为纵坐标，就得到了坐标平面上的一个点的坐标，当的点，所有这些点组成的集合(点集)用符号表述为{(x，y)|y＝f(x)，x∈A}，所有这些点组成的图形就是函数的图象．描点法作图方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图象．知识点2图象问题解题思路（判断奇偶性、特值、极限思想）①②③④特别地：当时例如：，当时知识点3图象变换(1)平移变换(2)对称变换①y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(关于x轴对称))y＝－f(x)；②y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(关于y轴对称))y＝f(－x)；③y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(关于原点对称))y＝－f(－x)；④y＝ax(a>0且a≠1)eq\o(→,\s\up7(关于y＝x对称))y＝logax(a>0且a≠1)．(3)伸缩变换①把函数图象的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的倍得(0<<1)②把函数图象的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍得(>1)③把函数图象的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的倍得(>1)④把函数图象的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的倍得(0<<1)(4)翻折变换①y＝f(x)eq\o(→,\s\up11(保留x轴上方图象),\s\do4(将x轴下方图象翻折上去))y＝|f(x)|.②y＝f(x)eq\o(→,\s\up11(保留y轴右边图象，并作其),\s\do4(关于y轴对称的图象))y＝f(|x|)．考点一由函数解析式判断函数图象典例1．（2025·河北·模拟预测）函数的部分图象大致为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由余弦函数性质、函数在上单调递增排除BD，再由可得答案.【详解】因为，由余弦函数性质可知，又，且函数在上单调递增，得.所以当时，，BD错误.又时，，得，A错误.故选：C.典例2．（2025·天津·二模）函数的大致图象可能是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用定义法证明为偶函数，根据，结合排除法即可求解.【详解】的定义域为R，则，所以为偶函数，图象关于y轴对称，故排除C，D选项；又因为，故排除B选项.故选：A．跟踪训练1．（2025·河北邢台·三模）函数的部分图象大致是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】法一，利用特殊值排除；法二，求导得出在，上单调递增也可.【详解】解法一：因为函数的定义域为，故排除A；，，所以，，故非奇非偶函数，故排除B，D.解法二：由题可知，当或时，，则在，上单调递增，故ABD错误；故选：C跟踪训练2．（2025·辽宁盘锦·三模）函数在上的大致图象为（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据函数的解析式，运用直接法判断函数在上的单调性，排除C，D；再运用求导判断函数在上的单调性，排除B项即可.【详解】对于，当时，，因和在上都是减函数，故在上单调递减，故排除C，D；当时，，，因，则在上单调递增，排除B．故选：A.考点二由函数图象判断函数解析式典例1．（2025·天津·二模）函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】通过观察图象，根据函数的奇偶性和定义域即可用排除法进行作答.【详解】根据图象可以看出，函数的定义域不包括，这说明函数在这两个点上无意义，而选项C,D的定义域包括，所以排除C,D.由图象可以看出，函数关于原点对称，是奇函数，而选项B中，因为，说明选项B中的函数为偶函数，不符合图象，所以排除.故选：A.典例2．（2025·天津武清·模拟预测）已知函数，，某函数的部分图象如图所示，则该函数可能是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】结合函数的奇偶性及特值法可判断.【详解】对于A，令，由，则，，所以是非奇非偶函数，由图象不符，故A错误；对于B，令，由，则，，所以是非奇非偶函数，由图象不符，故B错误；对于D，，当时，，与图象不符，排除D，故C正确.故选：C.跟踪训练1．（2025·甘肃金昌·二模）如图，这是函数的部分图象，则的解析式为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】结合图象的对称性，及具体点函数值符号，逐个判断即可.【详解】由图可知，函数图象关于轴对称，因此为偶函数，对于B，的定义域为，且，奇函数；对于D，的定义域为，，奇函数；因此排除选项B，D这两个奇函数；由图象知，若取一个很小的正数，比如，对于A：，函数值为正数，因此排除A.对于C:的定义域为，，，综上只有C符合，故选：C.跟踪训练2．（2025·安徽·三模）已知函数，，若下图是函数图象的一部分，则可能等于（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据函数特殊值法及函数值域排除B，C，D.【详解】由图可知，，所以不合题意，排除C；定义域内没有，不合题意，排除D；当时，，故B错误；故选:A.考点三创新型轨迹图象问题典例1．（2025·湖南岳阳·模拟预测）曲线的图象大致为（）A． B．C． D．【答案】D【分析】由结合诱导公式得出或，化简曲线方程，可得合适的选项.【详解】由可得或，即或，所以，曲线由一族同心圆与直线以及两族等轴双曲线、构成.故选：D.典例2．（2025·内蒙古呼和浩特·二模）如图，梯形是上底为，下底为，高为的等腰梯形，记梯形位于直线左侧的阴影部分的面积为，则的大致图象是（

）

B．

C．

D．

【答案】A【分析】写出的表达式，再根据分段函数性质选出图象即可.【详解】根据题意可知在梯形中，；当时，阴影部分为等腰直角三角形，其面积为；当时，阴影部分为等腰直角三角形加上一个矩形，其面积为；当时，阴影部分面积为整个梯形面积减去右侧空白部分表面积，即；所以可得；根据函数类型对比图象可得A正确.故选：A跟踪训练1．（2025·浙江·二模）下列可以作为方程的图象的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】借助排除法，得到，不可能同时成立，即可排除A，B，C.【详解】当时，，若，则，即，不符合，故，不可能同时成立，故A，B，C，选项错误.故选：D跟踪训练2．（2025·江西新余·模拟预测）是平面直角坐标系内一点，我们以轴正半轴为始边，射线为终边构成角，的长度作为的函数，若其解析式为：，则的轨迹可能为：（

）.A． B．C． D．【答案】B【分析】证明得到是以为周期的函数，排除C、D.再研究的函数性质，借助导数即可.【详解】，，可以得到是以为周期的函数，所以的轨迹在四个象限内应相似，故排除C、D.由于A、B项均关于对称，所以仅研究，此时，令

，，令，则，解得(负数根舍去)，则

在单调递减，单调递增，即在单调递增，在有且仅有一个极值点，所以不会一直增大，B正确.

（注：本题在A、B当中选择亦可使用特殊值法，，选B）故选：B考点四函数图象的变换典例1．已知指数函数，将函数的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的倍，得到函数的图象，再将的图象向右平移个单位长度，所得图象恰好与函数的图象重合，则a的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据函数图象变换求出变换后的函数解析式，结合已知条件可得出关于实数的等式，进而可求得实数的值.【详解】由题意可得，再将的图象向右平移个单位长度，得到函数，又因为，所以，，整理可得，因为且，解得.故选：D.典例2．（2025·辽宁本溪·模拟预测）函数的图象可看作是由函数的图象向左平移1个单位长度后得到的，则的图象大致为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用平移变换可得，判断函数的奇偶性，结合赋值法可得结论.【详解】因为，所以，其定义域为，且，所以为偶函数，故排除BC；又时，，当时，，故排除A，故选：D.跟踪训练1．将函数的图象向下平移1个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到函数的图象，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据函数的图像的平移变换法则可得答案.【详解】将函数的图象向下平移1个单位长度,可得再向右平移1个单位长度，可得所以故选：D跟踪训练2．函数的图象向右平移1个单位长度得到函数的图象，则的图象大致为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据函数图象的变换，求得函数，根据当时，得到，可排除A、B；当时，得到，可排除C，进而求解.【详解】由题意，可得，其定义域为，当时，，函数，故排除A、B选项；当时，0，故函数，故排除C选项；当时，函数，该函数图象可以看成将函数的图象向右平移一个单位得到，选项D符合.故选：D.考点五图象的综合应用典例1．已知函数，，则函数的图象与x，y轴围成的封闭图形的面积是（

）A．4 B．5 C．6 D．8【答案】A【分析】根据函数的对称性结合割补法求封闭图形的面积.【详解】函数的定义域为，因为，所以是奇函数，其图象关于原点对称．又，函数在R上单调递增，所以在上单调递减，因此在上单调递减，且其图象关于点对称.由题知，由函数的解析式和二次函数的性质可得在上单调递减，而时，，当时，同理有，故图象关于点对称，函数与的图象如图1所示．因此在上单调递减，且，故图象关于点对称，又，故点关于点的对称点为，所以，连接，如图2．易知的图象与x，y轴围成的封闭图形可以通过割补变成一个直角三角形，如图中的，其中，，故，即的图象与x，y轴围成的封闭图形的面积为4．故选：A.典例2．（2025·广西柳州·模拟预测）（多选）如图所示，是定义在上的四个函数，其中满足性质：“对中任意的和，任意恒成立”的有（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】应用函数的凹凸函数的性质判断各个选项.【详解】对中任意的和，任意恒成立”，所以函数是下凹函数，令，则恒成立，所以在时为下凹函数才能满足题意，所以排除B，D，当等号成立时，选项C满足题意，因此满足题意的是A，C.故选：AC跟踪训练1．（多选），下列说法正确的有（

）A．的减区间为B．的值域为C．若有3个零点，则D．若有5个零点，则【答案】BCD【分析】根据函数的解析式，可画出函数草图，利用函数草图，可轻松判断ABC的真假；再结合分类讨论思想的应用，判断D的真假.【详解】函数的草图如下：由图象可知：函数的减区间为和两个，不能用“并集”符号连接，故A错误；函数值域为，故B正确；若有3个零点，则，故C正确；对D：结合函数草图：由或；由或，解得：或或.设，由题意方程有5个不同的根.由，若，则只有1解，且，此时方程有3个解；若，则有2解，且或，此时方程有3个解，方程也有3个解，所以方程有6个解；若，则有3解，且，，，此时方程有1个解，方程有3个解，方程也有3个解，所以方程有7个解；若，则有3解，且或或，此时方程有1个解，方程有3个解，方程有和两个解，所以方程有6个解；若，则有3解，且，，，此时方程有1个解，方程有3个解，方程有1个解，所以方程有5个解；若，则有2解，且或，此时方程有，共2个解，方程有1个解，所以方程有3个解；若，则有1解，且，此时方程至多有1个解.综上：若有5个零点，则.故D正确.故选：BCD跟踪训练2．（2025·江苏盐城·模拟预测）（多选）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正三角形，沿着轴连续滚动（滚动时无滑动），若滚动中，顶点恰好经过坐标原点，设顶点满足，则下列判断正确的有（

）A．B．函数的对称轴方程为C．函数的单调增区间为D．函数恰有3个零点，则或【答案】ABD【分析】画出图形，结合周期性和对称性以及单调性可判断ABC，由直线与圆的位置关系可得D.【详解】如图，在图中一段一段的扇形上运动，对于A，初始时在原点，当时，即为正三角形的高，故A正确；对于B，的一条对称轴为，周期为6，每经过半个周期均为的对称轴，所以函数的对称轴方程为，故B正确；对于C，函数的单调增区间为，故C错误；对于D，当时，直线与圆相切，此时；当直线与圆相切，此时，经检验切点恰在所在圆弧上，，；当与圆相切时，可得，结合图象要使与恰有3个交点，则或，故D正确.故选：ABD.一、单选题1．（2025·广东广州·模拟预测）函数的图象大致为（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】先判断出为奇函数，排除BD；再根据当趋向于时，趋向于0，C错误，A正确.【详解】恒成立，故的定义域为R，，故为奇函数，BD错误；当趋向于时，的增长速度远大于的速度，故趋向于0，C错误，A正确.故选：A2．（2025·山东·模拟预测）函数的图象大致为（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】采用排除法进行判断，先根据函数的奇偶性进行排除，再结合特殊点的函数值进行选择.【详解】首先：，所以函数为偶函数，图象关于轴对称，故排除CD.又，故排除B.故选：A3．（2025·云南玉溪·二模）已知函数与的图象如图所示，则函数的图象可能是（

） B．C． D．【答案】A【分析】根据函数与的图象可知函数的定义域与奇偶性，即可选出求解.【详解】由图可知函数的定义域为函数和函数的定义域的交集为，故函数的图象不经过坐标原点，排除选项BC；又因为函数是偶函数，函数是奇函数，所以函数是奇函数，排除选项D.故选：A.4．（2025·湖南长沙·一模）已知，且，则函数与的图象可能是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】依题意可得，再由指数函数和对数函数单调性即可判断得出结论.【详解】由可知，，故，故函数与函数的单调性相同，故选：B.5．（2025·河南·模拟预测）已知函数的部分图象如下，则的解析式可能为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据函数的部分图象可得为偶函数，结合和函数值正负，利用排除法得解.【详解】因为的图象关于轴对称，所以为偶函数，排除B，又，排除A，当时，，排除D.故选：C．一、单选题6．（2025·天津河东·二模）如图所示，图象对应的函数解析式为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】函数图象关于轴对称，排除A，C，由排除B，利用排除法即可.【详解】函数图像关于轴对称，则函数是偶函数，对于A，,,,即函数是奇函数，故A错，对于B，，，，是偶函数，当时，，故B错，对于C，，，，是奇函数，故C错，对于D，，，，是偶函数，，符合题意，故D正确.故选：D7．（2025·辽宁·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用函数为偶函数排除B选项，再根据特值，排除AD，即可选出选项.【详解】由图象可知的图象关于轴对称，即为偶函数，选项中函数的定义域都是，对于A项，，为偶函数，对于B项，，为奇函数，对于C项，，为偶函数，对于D项，，为偶函数，排除B项；由图可知，对于A项，，不符合题意；对于C项，，符合题意；对于D项，，不符合题意．故选：C．8．（2025·天津·二模）已知函数的图象如图所示，则该图象所对应的函数可能是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】对各选项的单调性与函数值的情况一一判断，利用排除法即可得解；【详解】对于A：，当时，，故排除A；对于B：当时，函数为增函数，当时，函数为减函数，故排除B；对于D，当时，，，所以在上单调递增，故排除D；对于C，为偶函数，由可得，满足图象，故C正确.故选：C．9．（2025·山东枣庄·二模）将函数的图象上所有点向左平移2个单位长度后，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象，若，则的最小值为（

）A． B． C． D．1【答案】B【分析】通过平移得到,再结合对数的运算性质,由基本不等式即可求解.【详解】由题意可得，因为，所以，所以，即，且.因为，当且仅当时，取到最小值.故选：