第6讲：函数的单调性与最值（8个题型）（学生版）

【第6讲：函数的单调性与最值】总览总览题型梳理一．函数的单调性与函数图象的特征（共5小题）二．定义法求解函数的单调性（共5小题）三．求函数的单调区间（共4小题）四．由函数的单调性求解函数或参数（共8小题）五．复合函数的单调性（共8小题）六．求函数的最值（共6小题）七．由函数的最值求解函数或参数（共4小题）八．复合函数的最值（共5小题）【知识点清单】1．函数的单调性【知识点的认识】一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间．【解题方法点拨】判断函数的单调性，有四种方法：定义法；导数法；函数图象法；基本函数的单调性的应用；复合函数遵循“同增异减”；证明方法有定义法；导数法．单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“和”或“，”连结．设任意x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，那么①f(x1)−f(x2)x1−f(x1)−f(x2)x1−②（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0⇔f（x）在[a，b]上是增函数；（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0⇔f（x）在[a，b]上是减函数．函数的单调区间，定义求解求解一般包括端点值，导数一般是开区间．【命题方向】函数的单调性及单调区间．是高考的重点内容，一般是压轴题，常与函数的导数相结合，课改地区单调性定义证明考查大题的可能性比较小．从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用，主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思想方法．预测明年高考仍将以利用导数求函数的单调区间，研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取值范围为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力．2．函数的单调性与函数图象的特征【知识点的认识】一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间．函数的单调性反映了函数在某一区间内的增减情况，图象可以直观展示这种单调性．【解题方法点拨】判断函数的单调性，有四种方法：定义法；导数法；函数图象法；基本函数的单调性的应用；复合函数遵循“同增异减”；证明方法有定义法；导数法．单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“和”或“，”连结．﹣通过图象观察函数在各区间的增减情况．﹣分析函数在各单调区间的行为，并确定单调区间的边界点．﹣总结函数在各区间的单调性，并结合解析式进行验证．3．定义法求解函数的单调性【知识点的认识】一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间．【解题方法点拨】判断函数的单调性，有四种方法：定义法；导数法；函数图象法；基本函数的单调性的应用；复合函数遵循“同增异减”；证明方法有定义法；导数法．单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“和”或“，”连结．设任意x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，那么①f(x1)−f(x2)x1−f(x1)−f(x2)x1−②（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0⇔f（x）在[a，b]上是增函数；（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0⇔f（x）在[a，b]上是减函数．4．求函数的单调区间【知识点的认识】一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间．【解题方法点拨】判断函数的单调性，有四种方法：定义法；导数法；函数图象法；基本函数的单调性的应用；复合函数遵循“同增异减”；证明方法有定义法；导数法．单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“和”或“，”连结．设任意x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，那么①f(x1)−f(x2)x1−f(x1)−f(x2)x1−②（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0⇔f（x）在[a，b]上是增函数；（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0⇔f（x）在[a，b]上是减函数．5．由函数的单调性求解函数或参数【知识点的认识】一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＞x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间．【解题方法点拨】证明函数的单调性用定义法的步骤：①取值；②作差；③变形；④确定符号；⑤下结论．利用函数的导数证明函数单调性的步骤：第一步：求函数的定义域．若题设中有对数函数一定先求定义域，若题设中有三次函数、指数函数可不考虑定义域．第二步：求函数f（x）的导数f′（x），并令f′（x）＝0，求其根．第三步：利用f′（x）＝0的根和不可导点的x的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开区间，并列表．第四步：由f′（x）在小开区间内的正、负值判断f（x）在小开区间内的单调性；求极值、最值．第五步：将不等式恒成立问题转化为f（x）max≤a或f（x）min≥a，解不等式求参数的取值范围．第六步：明确规范地表述结论【命题方向】从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用，主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思想方法．预测明年高考仍将以利用导数求函数的单调区间，研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取值范围为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力．6．复合函数的单调性【知识点的认识】所谓复合函数就是由两个或两个以上的基本函数构成，这种函数先要考虑基本函数的单调性，然后再考虑整体的单调性．平常常见的一般以两个函数的为主．【解题方法点拨】求复合函数y＝f（g（x））的单调区间的步骤：（1）确定定义域；（2）将复合函数分解成两个基本初等函数；（3）分别确定两基本初等函数的单调性；（4）按“同增异减”的原则，确定原函数的单调区间．【命题方向】理解复合函数的概念，会求复合函数的区间并判断函数的单调性．7．求函数的最值【知识点的认识】函数最大值或最小值是函数的整体性质，从图象上看，函数的最大值或最小值是图象最高点或最低点的纵坐标，求函数的最值一般是先求出极值在求出端点的值，然后进行比较可得．【解题方法点拨】﹣分析函数图象，找出函数的顶点、极值点等特征点．﹣确定函数的最值，并结合边界点进行验证．﹣结合函数的解析式和图象，确定最值的准确性．﹣一次函数由于一次函数y＝ax+b为单调函数，其最值在定义域的端点处取得．﹣二次函数分析顶点处的值以及定义域的边界点，确定最大值或最小值．若a＞0，函数在顶点处取得最小值，若a＜0，函数在顶点处取得最大值．8．由函数的最值求解函数或参数【知识点的认识】函数最大值或最小值是函数的整体性质，从图象上看，函数的最大值或最小值是图象最高点或最低点的纵坐标，求函数的最值一般是先求出极值在求出端点的值，然后进行比较可得．【解题方法点拨】﹣分析已知最值和函数的形式，设定函数的表达式．﹣利用最值条件，代入求解函数的解析式或参数．﹣验证求解结果的正确性．9．复合函数的最值【知识点的认识】函数最大值或最小值是函数的整体性质，从图象上看，函数的最大值或最小值是图象最高点或最低点的纵坐标，求函数的最值一般是先求出极值在求出端点的值，然后进行比较可得．【解题方法点拨】﹣分析内层函数g（x）的取值范围．﹣将内层函数的值域代入外层函数f（x），确定复合函数的最值．﹣综合考虑复合函数的各部分，确定其最大值或最小值．题型题型分类知识讲解与常考题型一．函数的单调性与函数图象的特征（共5小题）1．已知函数f(x)=(12)x+1，x＜1，ax−x2，x≥1，且A．（0，2] B．（0，2） C．(2，52)2．已知f(x)=loga(a−2x)，x≤1，−A．(12，1) B．（2，6] 3．已知函数f（x）的图象关于y轴对称，若∀x1，x2∈[0，+∞），且x1≠x2，都有x1f（x1）+x2f（x2）＞x2f（x1）+x1f（x2），则下列结论正确的是（）A．f（x）的最大值为f（0） B．f（﹣1）＞f（﹣2） C．函数y＝f（x﹣1）的图象关于点（1，0）中心对称 D．若x＞0，则f（x﹣1）＜f（2x+1）4．已知函数f（x）=2x2−2x−3，x＞aA．[3，+∞） B．（3，+∞） C．（1，3） D．（4，+∞）（多选）5．下列判断不正确的是（）A．函数f(x)=1xB．f（x）＝ln（x2﹣2x﹣8）的单调减区间为（4，+∞） C．已知x＞0，y＞0，且1x+1y=1，若x+y＞m2+3D．已知f(x)=(3a−1)x+4a，x≤1logax，x＞1在二．定义法求解函数的单调性（共5小题）6．下列函数中在区间（1，+∞）单调递增的是（）A．y＝（x﹣2）2 B．y=−x−1 C．y=13−x D．y7．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．y＝lnx B．y＝x3 C．y=|x|+1|x| D．y＝2|（多选）8．已知函数f(x)=x+kA．函数f（x）的图象关于原点对称 B．当k＜0时，函数f（x）在定义域上单调递增 C．当k＞0时，函数f（x）的最小值为2kD．若对∀x∈[1，+∞），都有f（x）≥1，则k≥0（多选）9．函数y＝f（x）在（0，+∞）是减函数，且0＜x1＜x2，则下列选项正确的是（）A．f（x1）＞f（x2） B．f（x1）﹣f（x2）＞0 C．（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0 D．f(（多选）10．对于函数f(x)=a⋅3x+a−43A．函数f（x）的定义域为R B．函数f（x）在R上为增函数 C．函数f（x）在R上为减函数 D．当a＝2时，函数f（x）为奇函数三．求函数的单调区间（共4小题）11．函数f（x）＝（1﹣x）•|2﹣x|的单调递增区间为（）A．(32，2) B．(1，32)12．函数f(x)=3A．（﹣∞，0） B．（﹣1，0） C．（0，1） D．（1，+∞）（多选）13．已知函数f(x)=2x−1A．f（x）在（﹣∞，1）∪（1，+∞）上单调递减 B．f（x）的值域为（﹣∞，2）∪（2，+∞） C．f（x）的图象关于直线x＝1对称 D．f（x）的图象关于点（1，2）对称14．函数y=7+6x−x2四．由函数的单调性求解函数或参数（共8小题）15．函数f（x）＝x2+ax﹣5在（﹣1，+∞）上单调递增，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，2] B．（﹣∞，1] C．[1，+∞） D．[2，+∞）16．已知函数f(x)=alnx，x≤11−4ax+3，x＞1满足对任意的x1，x2∈R（x1≠x2），A．（0，1] B．[14，1] C．(17．已知函数f(x)=2x，−1＜x＜13x−m，x≥1单调递增，且f（m+2）＞A．（﹣2，1] B．（﹣2，1） C．（0，1] D．（0，1）18．定义在R上的函数f（x）满足f（0）＝0，f（x）＝2﹣f（3﹣x），f(x3)=12f(x)，且当0≤x1＜x2≤1时，f（x1）≤fA．132 B．164 C．112819．已知函数f（x）定义域为（0，+∞），∀x1，x2∈（0，+∞），x1f(x2)−x2f(x1)x1−x2＜0A．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞） B．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞） C．（﹣3，1） D．（﹣3，﹣2）∪（0，1）20．设函数f(x)=x(1−22x+1)，若a=f(ln23)，A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜a＜c21．已知函数f(x)=x2+1x4，若f（2a+1）＞fA．(23，+∞) C．(−∞，−4)∪(23，+∞)22．已知函数f（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，且f(3)=23，若对∀x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，都有x1x2A．（﹣∞，﹣3）∪（0，3） B．（﹣3，0）∪（3，+∞） C．（﹣3，3） D．（0，3）五．复合函数的单调性（共8小题）23．已知函数f(x)=(1a)−x2A．（1，4] B．（1，4） C．（1，2] D．(24．已知函数f(x)=(a+1)ax2+x−1（aA．(−1，−12]∪(0，+∞) C．（0，+∞） D．[1，+∞）25．若函数f(x)=aax−3（a＞0且a≠1）在区间（4，6）上单调递减，则实数A．（1，+∞） B．[34，1) C．[26．函数f（x）＝lg（x2﹣2x）的增区间为（）A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，0） C．（2，+∞） D．（1，+∞）27．若函数f(x)=log23A．(−∞，174] B．(−∞，194]28．已知函数f（x）＝loga（2﹣3ax）在区间（1，2）上单调递增，则a的取值范围为（）A．a≥13且a≠1 B．0＜a≤13 C．29．已知函数f(x)=logA．f（x）的定义域为R B．f（x）的值域是[0，+∞） C．f（x）是偶函数 D．f（x）的单调递减区间是（﹣∞，﹣2）30．已知函数f(x)=e−(x−1)A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b六．求函数的最值（共6小题）31．已知函数f（x）＝|log2x|，正实数m，n满足m＜n，且f（m）＝f（n），若m+n=52，则f（x）在区间[m2，A．2 B．52 C．1 D．32．已知max{a，b}表示a，b中的最大数，则max{（x+2）2，x+2}的最小值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．233．函数y=5x−1A．22 B．5+6 C．10 34．已知函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递减，∀x∈（0，+∞），均有f(x)⋅f(f(x)+2x)=1，则函数y＝f（2xA．8 B．6 C．4 D．135．已知函数f(x)=2x+a⋅2−x−2，x≥1x2+2x+a，x＜1．若f（x）的最小值为f36．定义min{a，b}=a，a≤bb，a＞b，已知f（x）＝﹣x2+2x，g(x)=−12x+1，记函数M（x）＝min{f（x），g（x）}，则M七．由函数的最值求解函数或参数（共4小题）37．已知函数f(x)=2x+a，x＜aA．（﹣∞，﹣1] B．(−∞，0]∪[1C．(−∞，−1]∪[13，+∞)38．若函数f(x)=2x2A．（﹣∞，4] B．（﹣∞，6] C．[6，+∞） D．[4，+∞）39．已知a＞0，a≠1，函数f(x)=ax2A．（1，+∞） B．（0，1） C．(12，1)∪(1，+∞)40．已知函数f(x)=em−x，x≤m，lnx−1，x＞m，若f（A．（0，+∞） B．[1，+∞） C．[e，+∞） D．[e2，+∞）八．复合函数的最值（共5小题）41．函数f（x）＝cos2x﹣cosx是（）A．奇函数，且最小值为−9B．偶函数，且最小值为−9C．奇函数，且最小值为﹣2 D．偶函数，且最小值为﹣242．若函数y=loga[(5a−2)x243．函数f(x)=lg(x2−2x+a444．已知函数f（x）＝（log2x）