重庆市2026届高三第一次联合检测数学模拟试题（二）（含答案）

数学试题第=page11页共=sectionpages33页数学试题第=page11页共=sectionpages33页重庆市高2026届高三第一次联合检测数学模拟试题（二）考试说明：1.考试时间120分钟2.试卷总分150分3.试卷页数4页一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．某物体运动后，其位移（单位：）为.在这段时间里，该物体的平均速度为（

）A． B． C． D．2．设甲：，乙：，则甲是乙的（

）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知向量，，若向量在向量上的投影向量为，则（

）A． B． C． D．4．某圆台形无盖水桶的表面积为，水桶下底面的半径为5cm，上底面的半径为10cm，则该水桶的容积为（

）（水桶壁与底的厚度忽略不计）A． B． C． D．5．一个将输入计算机的正整数“归零”的程序执行规则如下：按回车键，计算机等可能地用中的任意一个整数替换的值并输出替换后的值，重复以上操作，直到输出0后终止操作.若输入的初始值为3，终止操作时按回车键的次数为，则的数学期望为（

）A． B． C． D．6．若关于的不等式恒成立，则的取值范围为（

）A．B．C．D．7．如图，在平面直角坐标系xOy上，有一系列点，，…，，每一个点均位于抛物线的图象上.点F为抛物线的焦点，以点为圆心的都与x轴相切，且与外切.若，且，，的前n项之和为，则以下说法错误的是（

）A． B．是等差数列C． D．8．已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与相交于两点．若，则A．1 B． C． D．2二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.9．在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，则（

）A． B．C．的周长为 D．的面积为10．已知棱长为2的正方体中，分别为，，的中点，则下列结论正确的是（

）

A． B．C．棱锥的体积为 D．与平面所成角的正切值为11．已知抛物线的焦点为F，过F的一条直线交C于A，B两点，过A作直线的垂线，垂足为D，过F且与直线垂直的直线交于点E，则（

）A． B．C． D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知向量，，若，则．13．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中提出了关于一阶等差数列的问题：如果一个数列从第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列，则称为一阶等差数列．类比一阶等差数列的定义，我们亦可定义一阶等比数列，即一阶等比数列满足从第二项开始，每一项与前一项的比值构成等比数列．设数列是一阶等比数列，，则；．（本题第1空2分，第2空3分）14．已知四边形为平行四边形，集合均为集合的四元子集，若对于任意，当时，中的元素个数都不超过个，则正整数的最大值为．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（本题13分）已知函数在点处的切线方程为.(1)求的值;(2)当时，，求的最大值.16．（本题15分）记为递增数列的前项和，.(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和；(3)记的前项和为，证明：.17．（本题15分）将平面内任意向量绕坐标原点逆时针方向旋转角，得到向量．已知双曲线，将双曲线绕点逆时针旋转后得到曲线．(1)求的方程；(2)点在曲线上，曲线在点处的切线为直线．（i）若与两坐标轴分别交于两点，求的面积；（ii）若两点都在曲线上（异于点），且满足，求证：．18．（本题17分）某无人机执行飞行挑战任务，规则如下：挑战按阶段依次进行，若连续两个阶段任务都执行失败，则挑战结束；每一个阶段系统随机分配一个低空任务或高空任务，分配到低空任务的概率为，分配到高空任务的概率为.已知该无人机成功完成低空任务与高空任务的概率分别为和，且各阶段任务完成情况相互独立.(1)求该无人机在一个阶段中成功完成任务的概率；(2)记为该无人机在执行完第个阶段任务后，整个挑战还未结束的概率.①求，；②证明：数列单调递减.若对系统分配任务进行设置，在执行完第个阶段任务后，当时，系统停止分配任务，求该无人机最多能挑战多少个阶段的任务?19．（本题17分）如图，某研学基地的篱笆墙是由三条满足，的直线段，，和一条余弦曲线段构成的平面图形，其基准点到标记点，，的距离分别为：，，.曲线段上任意一点的高度满足函数：，其中，为到的距离.现将篱笆墙卷曲在下底面中心为，半径为4、高为23的圆柱侧面上，并使篱笆墙底部线段刚好圈在圆柱底面圆周上.记经过，，三点的平面为.(1)求平面与圆柱的轴线所成角的正弦值；(2)证明：平面，且在平面内存在两定点，，使得为定值；(3)设，是篱笆墙卷曲后曲线段上的两点，求面积的最大值.数学试题答案第=page11页共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页重庆市高2026届高三第一次联合检测数学模拟试题（二）参考答案与评分标准1234567891011ABCBABDBBDBCACD12．±213．32/14．141．【解析】当时，位移为，当时，位移为，在这段时间里，该物体的平均速度为.故选：A.2．【知识点】判断命题的必要不充分条件、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系【解析】.若，又，故，即，则或，故甲无法推出乙，充分性不成立；若，则，两边平方得，所以，故乙可以推出甲，必要性成立，故选：B.3．【解析】，由题意知，所以，所以，即=2，解得，故选：C.4．【知识点】台体体积的有关计算【分析】水桶是一个倒立的圆台，设母线长为，由圆台的体积公式求解．【解析】水桶是一个倒立的圆台，设母线长为，因为表面积为，下底面的半径为5cm，上底面的半径为10cm，所以，解得，设水桶的高为，如图所示：，所以水桶的容积为.5．【知识点】求离散型随机变量的均值【解析】易知的可能取值为1，2，3，按一次输出数字0，；按两次输出数字0，有两种情况，依次输出2，0或者1，0，故；按三次出现数字0，即依次输出2，1，0，故.所以，故选：A.6．【知识点】求函数的零点、基本不等式求和的最小值、函数不等式恒成立问题【分析】根据题设，结合一次函数、对数函数的性质可得，进而得到，再结合基本不等式分，两种情况讨论求解即可.【解析】由于函数在上单调递增，且零点为，函数在上单调递减，且零点为，要使不等式恒成立，则，即，所以，当时，，当且仅当，即时等号成立；当时，，当且仅当，即时等号成立.综上的取值范围为，故选：B.7．【知识点】利用定义求等差数列通项公式、由递推关系证明数列是等差数列、裂项相消法求和、抛物线定义的理解【分析】根据抛物线的定义可得，即可判断A；根据两圆外切可得，即可判断B；整理可得，利用裂项相消法求和，判断CD.【解析】由题意可知：焦点，设点，则的半径为，则，解得，故A正确；因为与外切，，整理可得，且，可得，即，可知数列是以首项为，公差为2的等差数列，故B正确；则，即，则，可得.8．（2010·全国高考）【解析】因为，所以，从而，则椭圆方程为．依题意可得直线方程为，联立可得设坐标分别为，则因为，所以，从而有①再由可得，根据椭圆第二定义可得，即②由①②可得，所以，则，解得．因为，所以，故选B9．【知识点】正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用【分析】由正弦定理得到，再结合三角形面积公式逐项判断即可.【解析】因为，，，所以由正弦定理可得：，即，则，得，则，所以，所以的周长，所以的面积为,由上可知AC错误，BD正确，故选：BD.10．【知识点】锥体体积的有关计算、空间位置关系的向量证明、线面角的向量求法【分析】建系，结合向量的平行垂直可判断AB，由体积公式可判断C，由线面夹角的向量法可判断D.【解析】

如图建系，则，显然不平行，即错误，故A错误；，则，即，故B正确；，故C正确，易知平面的一个法向量为，设与平面所成角为，所以，所以，所以，故D错误.（2025·全国Ⅰ卷· T11）【知识点】抛物线定义的理解、求直线与抛物线相交所得弦的弦长、与抛物线焦点弦有关的几何性质【分析】对于A，先判断得直线为抛物线的准线，再利用抛物线的定义即可判断；对于B，利用三角形相似证得，进而得以判断；对于C，利用直线的反设法（法一）与正设法（法二），联立直线与抛物线方程，结合韦达定理与焦点弦公式可判断C；利用利用三角形相似证得，，结合焦半径公式可判断D.【详解】法一：对于A，对于抛物线，则，其准线方程为，焦点，则为抛物线上点到准线的距离，为抛物线上点到焦点的距离，由抛物线的定义可知，，故A正确；对于B，过点作准线的垂线，交于点，由题意可知，则，又，，所以，所以，同理，又，所以，即，显然为的斜边，则，故B错误；对于C，易知直线的斜率不为，设直线的方程为，，联立，得，易知，则，又，，所以，当且仅当时取等号，故C正确；对于D，在与中，，所以，则，即，同理，又，，所以，则.法二：对于A，对于抛物线，则，其准线方程为，焦点，则为抛物线上点到准线的距离，为抛物线上点到焦点的距离，由抛物线的定义可知，，故A正确；对于B，过点作准线的垂线，交于点，由题意可知，则，又，，所以，所以，同理，又，所以，即，显然为的斜边，则，故B错误；对于C，当直线的斜率不存在时，；当直线的斜率存在时，设直线方程为，联立，消去，得，易知，则，所以，综上，，故C正确；对于D，在与中，，所以，则，即，同理，当直线的斜率不存在时，，；所以，即；当直线的斜率存在时，，，所以，则；综上，，故D正确，故选：ACD.12．【知识点】由向量共线（平行）求参数【分析】根据平行的坐标关系计算求解.【解析】因为，所以，解得．故答案为：13．①32②/【知识点】求等差数列前n项和、等比数列通项公式的基本量计算、裂项相消法求和、累乘法求数列通项【分析】①根据一阶等比数列定义，得到，从而得到等比数列的通项公式，求出；②累乘求出，代入，再裂项求和.【解析】①由题意，数列是一阶等比数列，，所以为等比数列，其中，，公比为，所以；②，所以，所以．14．【知识点】相等向量、组合数的计算、集合新定义【分析】由题意可得中共8个元素，记为，假设中最大交集为，从而可得含的四元集合最多有个,且对在中最多出现3次，求得一个四元集中出现个二元数对，从而可得，求解即可.【解析】由题意可知共个元素，记为，假设中最大交集为，所以含的四元集合中剩下的两个元素不能相同，因为中共8个元素，则还剩下6个元素，所以中，含的四元集合最多有个,即数对在中最多出现3次，同理任何一个二元数对可在中最多出现3次，所以一个四元集中出现个二元数对，所以个四元集中共出现次，因为中最多有种不同的二元数对，每个最多出现3次，所以，解得.所以正整数的最大值为，故答案为：.解答题（本大题共5小题，共77分）15.（13分）(1)（5分）(2)（8分）【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题【分析】（1）根据点在切线上得出及导数是切线斜率列式求解参数；（2）先应用参数分离，再构造函数，应用导函数得出函数单调性进而得出最大值.（1）由题意知，即，得（3分），，解得（5分）（2）由题意知，设，（6分）设，（7分）函数在上单调递增，（8分）则当时，，单调递减（10分）当时，，单调递增，（12分）即，故的最大值为.（13分）（15分）(1)（4分）(2)（5分）(3)（6分）证明见解析【知识点】利用定义求等差数列通项公式、错位相减法求和、裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项【分析】（1）由题设利用分和结合等差数列定义即可依次求出数列的首项和通项公式；（2）由错位相减求和方法结合等比数列前n项和公式即可求解；（3）方法一：由和放缩公式结合裂项相消求和法计算求证即可得证；方法二：由数列的单调性和放缩公式得到即可计算求证.【解析】（1）由题令，则，解得，当时，（2分）所以，即因为，且是递增数列，所以所以，即是公差和首项均为2的等差数列，所以（4分）（2）设是数列的前项和，因为，所以，所以（6分）则（7分）两式相减得，即（9分）（3）方法一：（10分）所以①（11分）因为，所以②（12分）①+②得即，所以（15分）方法二：因为是递增数列，所以是递减数列所以（8分）所以（11分）所以（15分）（15分）(1)（4分）(2)（11分）（i）2（ii）证明见解析【分析】（1）取曲线上任一点，得到点与的关系，由题意得到关系式，结合的双曲线方程得到的关系式，即为曲线的方程；（2）（i）由利用导数求得曲线在点处的切线为直线方程，然后得到点坐标即可得到的面积；（ii）由（i）得，设点坐标，写出，由向量数量积得到即，由此证明，即得证.（1）取曲线上任一点，则点由双曲线上一点绕坐标原点逆时针旋转得到，则（3分），即（4分）（2）（i）设过的切线的方程为（5分）即，令，得；令，得；（7分）可设与轴的交点，与轴的交点，（9分）（ii）由的方程得，，设，过的切线的斜率（10分）（11分）同理（12分）由已知（13分）（14分）∴（15分）

（17分）(1)(2)①；②证明见解析，6个【知识点】判断数列的增减性、独立事件的乘法公式、利用全概率公式求概率【分析】（1）根据全概率公式即可求解，（2）①根据相互独立事件的概率公式即可求解，②根据以及相互独立事件的概率公式，利用作差法即可证明，由即可求解无人机最多能挑战6次挑战.（1）设事件“分配到低空任务”，则“分配到高空任务”事件“在一个阶段中成功完成任务”（1分）依题，，，（3分）（5分）所以该无人机在一个阶段任务中成功完成任务的概率为（2）①设事件“该无人机在第个阶段中成功完成任务”，则，当时，挑战显然不会终止，即，又各阶段完成任务与否相互独立，故当时，则第1、2阶段至少成功完成一次，，，同理.