吉林省长春市2026届高三质量监测（一）数学试题（含答案）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页吉林省长春市2026届高三质量监测（一）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合A=x|3<x<A．x|2<C．x|2<2．已知向量a=4,1，b=2,A．−14 B．−1 C．−3．复数2i1+A．−1 B．1 C．−124．记Sn为公比q≠1的等比数列an的前n项和，若首项a1=1A．2 B．1 C．−12 5．若cosx+π4=A．13 B．49 C．596．已知log2log3log5A．8 B．27 C．125 D．2437．如图，在平行六面体ABCD−A1B

A．−1,1,1 B．1,8．已知fx是定义在R上的奇函数，fx+fx−2A．4 B．2 C．0 D．−二、多选题9．已知函数fx=sinA．函数fx的最小正周期为B．函数fx在0C．函数fx的图象关于点πD．将函数fx的图象向左平移π10．已知抛物线y2=2pxp>0的焦点F1,0，AA．pB．若AF+BC．AND．若AF=11．已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，点P是侧面

A．平面D1B．平面D1EC．若AP=5，则点D．若点P在BB1上，则P三、填空题12．过A0,0，B1,13．若函数fx=aex−14．古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点.设椭圆M:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为F1、F2四、解答题15．已知椭圆x2a2+y(1)求椭圆的标准方程；(2)过F且倾斜角为45°的直线l与椭圆相交于A，B两点，求A16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosB=(1)求ac(2)若bsinC=2217．已知Sn为数列an的前n项和，若S2=6(1)求数列an(2)若数列bn的首项为2，且bn+1bn=18．如图，底面为锐角三角形的直棱柱ABC−A1B1C1中，AC=BC(1)当λ=34时，证明：D(2)若平面AA1C1与平面（ⅰ）求异面直线AB1与（ⅱ）已知直线CD与平面AB1C119．已知函数fx(1)求fx在x(2)若∀x∈0,π(3)证明：i=答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《吉林省长春市2026届高三质量监测（一）数学试题》参考答案题号12345678910答案BDBBCCADACACD题号11答案BC1．B【分析】直接根据交集的定义及利用数轴求两集合的交集可得.【详解】因为集合A=x|

所以A∩故选：B.2．D【分析】由向量数量积坐标运算等于0可得方程，解出即可.【详解】因为a⊥所以a⋅解得：m=故选：D3．B【分析】利用复数除法，结合复数的意义求解即得.【详解】2i所以复数2i故选：B4．B【分析】由等比数列的前n项和公式S3=a11【详解】由等比数列的前n项和公式S3所以141+q+因为q≠1,所以q=故选:B.5．C【分析】利用余弦的和角公式展开已知条件，再通过平方关系结合二倍角公式求解.【详解】依题意得：cosx化简得：cosx所以(cos因为cos2x+代入cos2x−解得：sin2故选：C.6．C【分析】根据对数的运算性质由外到内计算可得结果.【详解】因为log2log3所以log5故选：C.7．A【分析】根据空间向量的线性运算得到BD1=【详解】解：BD1=BB∴BD∴x=−1，y故选：A.8．D【分析】根据题意，由条件可得函数fx是以4为周期的周期函数，然后分别求得f【详解】由fx+f用x+2替换x，则即fx所以函数fx是以4由fx+fx−且fx是定义在R上的奇函数，则f0=令x=3，则f3+f令x=4，则f4+f所以f1则f=f故选：D9．AC【分析】A利用公式计算；B求出2x−π3的范围，结合正弦型函数性质判断；C根据【详解】对于A，最小正周期为T=对于B，当x∈0,令t=2x因为t=2x-π3在区间所以fx=sin对于C，由fπ函数fx的图象关于点π对于D，将函数fx的图象向左平移π3个单位得到因为f0+π故选：AC10．ACD【分析】对于A，根据焦点求出p；对于B，C，由抛物线的定义可判断；对于D延长AB交准线于点H，由抛物线的定义得出BE为△A【详解】对于A，因为抛物线的焦点F1,0，所以2对于B，分别过点A,B作准线的垂线，垂足为则由抛物线的定义可知AF因为M为线段AB的中点，所以点M到准线的距离为A对于C，因为AN则当A,D,N三点共线时，延长AB交准线于点H，由AF=则BE为△设BF=BE=由相似关系可知，BEp=BHHF故选：ACD11．BC【分析】建立D−xyz空间直角坐标系，易得D1F⋅D1E≠0，可判断A的真假；根据线面垂直判定面面垂直，可判断B的真假；确定点P轨迹，求轨迹长度，判断C的真假；设【详解】如图建立D−

对于A选项：D1(0,0,2所以D1所以D1F与对于B选项：B(2,2,所以F所以FE又DB∩DD1=D，D所以FE⊥平面BDD1所以平面D1EF对于C选项：易知AB⊥B所以点P的轨迹为点B为圆心，1为半径的14所以点P的轨迹长度为14对于D选项：设P(2m2+8+(m−

所以MN所以PD+P故选：BC.12．x−22【分析】设圆的一般方程，利用待定系数法求解.【详解】设所求圆的方程为x2+由已知A,B,解得D=所以圆的方程为x2+y故答案为：x−2213．e【分析】求出f′x代入x−2f′x【详解】因为fx所以f′所以x−2f当x≥2时，ae又函数y=1ex在[2所以a≥当x≤2时，ae又函数y=1ex在(−所以a≤综上所述：a=故答案为：e−14．53/【分析】由题意，作图，利用三角函数的性质，可设线段的表示，根据齐次方程的思想，可得答案.【详解】由题意，可作图如下：则cos∠AB即AB可设AB=3k，由AB+AF1AF2=2a则e=故答案为：5315．(1)x(2)24【分析】（1）根据条件求a,（2）将直线方程与椭圆方程联立，消去x，可得关于y的一元二次方程，利用韦达定理可得y1+y2和【详解】（1）由椭圆x2a2可设c=t，a=由右焦点F1,0，可知c=t即椭圆的标准方程为x2（2）如图：过F且倾斜角为45°的直线l的方程为x=与椭圆C:3y+1可得y1+y所以y1−y22所以y1所以AB16．(1)a(2)10【分析】（1）由平方关系求得sinB（2）由已知条件结合正弦定理求得a,c，再根据余弦定理求得【详解】（1）因为cosB=−13又△ABC的面积S所以ac（2）由正弦定理得b⋅sinC=c由余弦定理，b2=a即AC=92，又解得BD=1029，即A17．(1)a(2)T【分析】先根据等差数列的通项公式求数列Snn的通项公式，进而得到Sn=n（2）利用累乘法求数列bn的通项公式，再利用裂项相消求和法求T【详解】（1）由题意：S22=又数列Snn为等差数列，设数列Sn由S66=S22+4D所以Snn=所以Sn当n=1时，当n≥2时，an=Sn=所以an（2）因为bn所以b2b1=13，以上各式相乘，可得当n≥2时，又b1=2，所以b所以Tn=418．(1)证明见解析；(2)（ⅰ）π4；（ⅱ）λ【分析】（1）根据给定条件证明DE（2）（ⅰ）分别取AB,A1B1的中点M,【详解】（1）在直棱柱ABC−A1B1由AD=λAB1,λ=34即DE//A1B，而DE所以DE//（2）（ⅰ）分别取AB,A1B1的中点M,所以MM1⊥平面ABC，由A以点M为原点，向量MA,C

令AA1=CA=(设平面AA1C1与平面AB则n⋅CA=tm⋅AB1=由平面AA1C1与平面得|cos〈m,n〉|由△ABC是锐角三角形，得CM>AM又CE=(而0≤〈A所以异面直线AB1与CE（ⅱ）由（ⅰ）知，AD=λCD=(t−因此|cos〈C所以λ=19．(1)y(2)a(3)证明见解析【分析】（1）由导数工具求出切点处导数，由导数几何意义和直线点斜式即可得解；（2）构造函数gx=x+1lnx+1（3）利用放缩公式lnx+1【详解】（